《基本不等式》第一课的教学设计

《基本不等式》第一课的教学设计

一、背景分析：教材从基本不等式ab b a 22

2

≥+及其证明开始，再到代换得推论

ab b

a ≥+2

（0>b a ，）

，最后做一些应用。由于两个不等式都比较容易证明，所以第一节课一般多从证明方法的种数或者两个基本不等式的应用上花时间。本节课，我从基本不等式ab b a 22

2

≥+及其证明开始，不强调两个基本不等式的应用，而从元数、次数上进行推广，想使学生体会到数学猜测、判断、论证的乐趣。 二、教学目的：使学生掌握基本不等式ab b a 22

2

≥+及其证明，能代换得到推论

ab b

a ≥+2

（0>b a ，）

，并在推导的过程中，引出其它一些不等式；继续培养学生在数学上的猜测、判断、推理能力。

三、教学过程：

我们已经学了一些不等式的证明方法。今天，我们来了解一些重要的不等式。板书：基本不等式

有时候，在数学上利用一项很简单的性质可能会引发一些新的思路，产生有用的结果。 许多重要的不等式的发现是由任意实数的平方为非负得出来的。写成式子就是： 设R a ∈，则02

≥a ，当且仅当0=a 时，等号成立。①

什么叫“当且仅当”呢？拿上面的例子来说，就是：

当0=a 时，等号成立，即0=a 是等号成立的充分条件；

仅当0=a 时，等号成立，即0≠a 时，等号不成立，根据逆否命题与原命题的等价性，也就是等号成立可以得到0=a ，或说0=a 是等号成立的必要条件。

“当且仅当”就是充分必要的意思。

对于02

≥a ，我们作一些字母的代换。我们把一个实数或一个实数字母代替a ，意义并不大。我们可不可以用两个字母呢？如用实数b a ，的差b a -代替a ，式子2

)(b a -是一个关于实数b a ，的齐次二次对称的式子。进而，得0222≥+-b ab a ，即ab b a 22

2≥+.

研究等号成立的条件：当b a =时，等号成立；当b a ≠时，0)(2

>-b a ，即仅当b a =时，等号成立（注：也可以通过逆否命题：等号成立b a =⇒得到后者）。

ab b a 222≥+，当且仅当b a =时，等号成立。②

说明：作和也可以，在代数里和差是互通的，差可以写成和，和可以写成差，但这里用差更简洁。

对于二元二次齐次的不等式，只此而已。没有什么可再深入探讨的。我们把它拓广到三元二次齐次的不等式。设R c b a ∈，，，我们先仔细考察ab b a 22

2≥+中ab 2的由来，以便确定三元二次式中的关系。

由0))(()(2

2

2

≥+--=--=-b ba ab a b a b a b a ，即可看到ab 2原来是ba ab +，据此， 对于2

2

2

c b a ++与ca bc ab ++的关系，大家怎样提个猜想？

猜想2

2

2

c b a ++ca bc ab ++≥.正确吗？能证明吗？根据什么来证明呢？ 可以利用不等式②来证明。

证明： 由.

222222

2

22ca a c bc c b ab b a ≥+≥+≥+，，

将三个同向不等式相加，得2

22c b a ++ca bc ab ++≥，

什么时候取到等号？若三个不等式中有一个取不到等号，情况将怎样呢？ 当且仅当c b a ==时等号成立。

这个不等式可以作为不等式②的推论。

当然，这个不等式就是由0)()()(2

2

2

≥-+-+-a c c b b a ，展开即得2

22c b a ++ca bc ab ++≥.

222c b a ++ca bc ab ++≥，当且仅当c b a ==时等号成立。③

更多的元的二次齐次不等式呢？n 元二次齐次的一个不等式。 设R a i ∈，n i ，，， 21=，则

11322122221a a a a a a a a a a a n n n n ++++≥+++- ，当且仅当n a a a === 21时等号成立。④

这是不等式②的推广，会证明吗？怎样证明？

.

2221212322322212

221a a a a a a a a a a a a n n ≥+≥+≥+

，

，

将这n 个同向不等式相加，即得。

从证明中我们看到，这个不等式不是n 元二次齐次对称的不等式，而是n 元二次齐次轮换的不等式。（在这里解释“轮换”、“对称”的意思）

对于n 元二次齐次对称的不等式呢？ 我们举4=n 的例子。

4342324131212

4232221a a a a a a a a a a a a a a a a +++++≥+++，这个不等式虽然是四元二次齐次对称的，

但它根本不成立。如每个数取1. 关键是系数。 将系数稍作改动，就可以成立。

()()4342324131212

4232221 a a a a a a a a a a a a a a a a +++++≥+++？

猜猜看，感觉上是几呢？是

3

2

. 4

32

423422422322322412421312321212221222222a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ≥+≥+≥+≥+≥+≥+，，，，，将六个不等式相加，得证。

下面，我们来想想二元三次的不等式。 研究：))((2

2

3

3

b ab a b a b a +-+=+，

由不等式②得ab b ab a ≥+-2

2，所以当0≥+b a 时，就有2

2

3

3

)(ab b a b a ab b a +=+≥+.

在上面的研究过程中，我们可以发现不等式2

233ab b a b a +≥+成立的条件是“0≥+b a 或b a =”，等号成立的充要条件是0=+b a 或b a =.

但是不等式是为实际问题服务的。在实际应用中，b a ，多为正数，所以我们为方便起见，加强这个不等式的条件：设+

∈R b a ，.

设+

∈R b a ，，则2

2

3

3

ab b a b a +≥+，当且仅当b a =时等号成立⑤

下面想想三元三次的不等式。 设+

∈R c b a ，，，则

222222333333333)()()()(2ca a c bc c b ab b a a c c b b a c b a +++++≥+++++=++ abc ab c ca b bc a b a c a c b c b a 6222)()()(222222=⋅+⋅+⋅≥+++++=，所以

设+

∈R c b a ，，，则abc c b a 33

3

3

≥++，当且仅当c b a ==时等号成立⑥

对于abc c b a 33

3

3

-++，大家是否有印象，可以因式分解吗？留两个思考题： （1） 你能否用作差，通过因式分解的方法证明？

（2） +

∈R c b a ，，是不等式abc c b a 33

3

3

≥++成立的充分条件，那充要条件是什么呢？ 类似不等式⑥，我们来考虑4次的一个不等式：abcd d c b a 44

4

4

4

≥+++. 如同三次不等式，设+

∈R d c b a ，，，，

()

abcd cd ab d c b a d c b a 4)()(2222222224444≥+=+≥+++.

等号在22b a =且2

2d c =且cd ab =成立。

设+

∈R d c b a ，，，，则abcd d c b a 44

4

4

4

≥+++，当且仅当d c b a ===时等号成立⑦ 根据⑥、⑦，你又有什么想法？好，我们暂时不再从元数、次数上推广了。

我们回到不等式②，我们来考虑关于正数b a ，的二分之一次，即b a ，的一个不等式。

()()

b a b a ⋅≥+22

2

，即ab b a 2≥+.我们得到：

设+

∈R b a ，，则ab b a ≥+2

，当且仅当b a =时等号成立⑧

这个不等式左右两边都是一次。左边对正数b a ，求了算术平均数，右边对正数b a ，求了积的算术平方