小波变换简介

小波分析是当前数学中一个迅速发展的新领域，它同时具有理论深刻和应用十分广泛的双重意义。

小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师J.Morlet在1974年首先提出的，通过物理的直观和信号处理的实际需要经验的建立了反演公式，当时未能得到数学家的认可。

正如1807年法国的热学工程师J.B.J.Fourier提出任一函数都能展开成三角函数的无穷级数的创新概念未能得到著名数学家grange，place 以及A.M.Legendre的认可一样。

幸运的是，早在七十年代，A.Calderon表示定理的发现、Hardy空间的原子分解和无条件基的深入研究为小波变换的诞生做了理论上的准备，而且J.O.Stromberg还构造了历史上非常类似于现在的小波基；1986年著名数学家Y.Meyer偶然构造出一个真正的小波基，并与S.Mallat合作建立了构造小波基的同样方法及其多尺度分析之后，小波分析才开始蓬勃发展起来，其中比利时女数学家I.Daubechies撰写的《小波十讲（Ten Lectures on Wavelets）》对小波的普及起了重要的推动作用。

它与Fourier变换、窗口Fourier变换（Gabor变换）相比，这是一个时间和频率的局域变换，因而能有效的从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析（Multiscale Analysis），解决了Fourier 变换不能解决的许多困难问题，从而小波变化被誉为“数学显微镜”，它是调和分析发展史上里程碑式的进展。

小波分析的应用是与小波分析的理论研究紧密地结合在一起地。

现在，它已经在科技信息产业领域取得了令人瞩目的成就。

电子信息技术是六大高新技术中重要的一个领域，它的重要方面是图象和信号处理。

现今，信号处理已经成为当代科学技术工作的重要部分，信号处理的目的就是：准确的分析、诊断、编码压缩和量化、快速传递或存储、精确地重构（或恢复）。

从数学地角度来看，信号与图象处理可以统一看作是信号处理（图象可以看作是二维信号），在小波分析地许多分析的许多应用中，都可以归结为信号处理问题。

现在，对于其性质随实践是稳定不变的信号，处理的理想工具仍然是傅立叶分析。

但是在实际应用中的绝大多数信号是非稳定的，而特别适用于非稳定信号的工具就是小波分析。

事实上小波分析的应用领域十分广泛，它包括：数学领域的许多学科；信号分析、图象处理；量子力学、理论物理；军事电子对抗与武器的智能化；计算机分类与识别；音乐与语言的人工合成；医学成像与诊断；地震勘探数据处理；大型机械的故障诊断等方面；例如，在数学方面，它已用于数值分析、构造快速数值方法、曲线曲面构造、微分方程求解、控制论等。

在信号分析方面的滤波、去噪声、压缩、传递等。

在图象处理方面的图象压缩、分类、识别与诊断，去污等。

在医学成像方面的减少B超、CT、核磁共振成像的时间，提高分辨率等。

(1)小波分析用于信号与图象压缩是小波分析应用的一个重要方面。

它的特点是压缩比高，压缩速度快，压缩后能保持信号与图象的特征不变，且在传递中可以抗干扰。

基于小波分析的压缩方法很多，比较成功的有小波包最好基方法，小波域纹理模型方法，小波变换零树压缩，小波变换向量压缩等。

(2)小波在信号分析中的应用也十分广泛。

它可以用于边界的处理与滤波、时频分析、信噪分离与提取弱信号、求分形指数、信号的识别与诊断以及多尺度边缘检测等。

(3)在工程技术等方面的应用。

包括计算机视觉、计算机图形学、曲线设计、湍流、远程宇宙的研究与生物医学方面。

小波变换的理论是近年来兴起的新的数学分支，它是继1822年法国人傅立叶提出傅立叶变换之后又一里程碑式的发展，解决了很多傅立叶变换不能解决的困难问题。

傅立叶变换虽然已经广泛地应用于信号处理领域，较好地描述了信号的频率特性，取得了很多重要的成果，但傅立叶变换却不能较好地解决突变信号与非平稳信号的问题。

小波变换可以被看作是傅立叶变换的发展，即它是空间（时间）和频率的局部变换。

与傅立叶变换一样，小波变换的基本思想是将信号展开成一族基函数之加权和，即用一族函数来表示或逼近信号或函数。

这一族函数是通过基本函数的平移和伸缩构成的。

小波变换用于图象编码的基本思想就是把图象进行多分辨率分解，分解成不同空间、不同频率的子图象，然后再对子图象进行系数编码。

系数编码是小波变换用于压缩的核心，压缩的实质是对系数的量化压缩。

根据S.Mallat的塔式分解算法，图象经过小波变换后被分割成四个频带：水平、垂直、对角线和低频，低频部分还可以继续分解。

图象经过小波变换后生成的小波图象的数据总量与原图象的数据量相等，即小波变换本身并不具有压缩功能。

之所以将它用于图象压缩，是因为生成的小波图象具有与原图象不同的特性，表现在图象的能量主要集中于低频部分，而水平、垂直和对角线部分的能量则较少；水平、垂直和对角线部分表征了原图象在水平、垂直和对角线部分的边缘信息，具有明显的方向特性。

低频部分可以称作亮度图象，水平、垂直和对角线部分可以称作细节图象。

对所得的四个子图，根据人类的视觉生理和心理特点分别作不同策略的量化和编码处理。

人眼对亮度图象部分的信息特别敏感，对这一部分的压缩应尽可能减少失真或者无失真，例如采用无失真DPCM编码；对细节图象可以采用压缩比较高的编码方案，例如矢量量化编码，DCT等。

目前比较有效的小波变换压缩方法是Shapiro提出的小波零树编码方案。