一维非定常对流扩散方程非均匀网格上的高精度紧致差分格式

一维非定常对流扩散方程非均匀网格上的高精度紧致差分格式黄雪芳;郭锐;葛永斌【摘要】A high accuracy compact finite difference scheme with non-uniform grids is pro-posed to solve unsteady convection diffusion equations, which are used to describe boundary layer problems or locally large gradient problems, etc. The new method starts from the dis-cretization of the steady convection diffusion equation. Firstly, the spatial derivatives are discretized by using the Taylor series expansion on non-uniform grids. Then, the second order backward Eulerian difference formula is used to discretize the temporal derivative term. The three-level full implicit compact difference scheme on non-uniform grids for solving the one-dimensional unsteady convection diffusion equation is derived. The new scheme has the second order accuracy in time and the third to fourth order accuracy in space and is unconditionally stable. Finally, some numerical experiments are conducted to demonstrate the high accuracy and the advantages in solving boundary layer problems or locally large gradient problems.%本文在非均匀网格上给出了求解非定常对流扩散方程的一种高精度紧致差分格式，特别适合边界层和大梯度等问题的求解。

从稳态对流扩散方程入手，首先，基于非均匀网格上的泰勒级数展开对空间导数项进行离散，然后对时间项采用二阶向后欧拉差分公式，从而得到一维非定常对流扩散方程在非均匀网格上的三层全隐式紧致差分格式。

新格式在时间具有二阶精度，空间具有三到四阶精度，并且是无条件稳定的。

最后，通过数值实验验证了本文格式的精确性，以及在处理诸如边界层和大梯度问题上的优势。

【期刊名称】《工程数学学报》【年(卷),期】2014(000)003【总页数】10页(P371-380)【关键词】非定常对流扩散方程;非均匀网格;高精度紧致格式;全隐式;边界层【作者】黄雪芳;郭锐;葛永斌【作者单位】宁夏大学数学计算机学院，银川750021;宁夏大学数学计算机学院，银川 750021;宁夏大学数学计算机学院，银川 750021【正文语种】中文【中图分类】O241.821 引言对流扩散方程是一类重要的运动模型方程，它可以描述诸如质量、热量、能量及速度等的对流和扩散过程，由于实际问题往往比较复杂，精确解很难求出，因此研究其精确稳定的数值求解方法具有十分重要的意义．国内外已提出了很多求解该类方程的有限差分方法，田振夫和冯秀芳提出了一种数值求解对流扩散方程的指数型交替组显方法，该方法具有固有并行性，而且无条件稳定[1]；Ding和Zhang对时间项采用半离散和Padé逼近方法，对空间项利用文献[2]中的多项式紧致差分，构造了一种空间四阶和时间五阶的差分格式[3]．文献[4,5]分别利用四阶紧致差分公式和四阶紧致指数格式构造了非定常对流扩散方程的高精度紧致差分格式；Mohebbi和Dehghan采用四阶紧致有限逼近和C1连续三次样条插值方法，提出了求解一维热传导方程和对流扩散方程的高阶紧致解法[6]．这些格式都是基于均匀网格的，对于解光滑问题可以得到非常精确的计算结果，但对于大梯度问题及边界层问题，采用均匀网格的计算效果往往不理想．因此，发展高效的非均匀网格上的高精度紧致差分格式就成为有限差分方法发展的必然趋势[7-10]．对定常对流扩散方程，建立在非均匀网格上的差分格式，文献[7–9]已经有相关报道，非定常对流扩散方程在非均匀网格上的高精度紧致差分方法却鲜有报道．本文针对一维非定常对流扩散方程，对空间导数利用泰勒级数展开进行离散，以及二阶向后欧拉差分方法对时间导数进行离散，得到了求解非定常对流扩散方程在非均匀网格上的三层高精度紧致全隐差分格式．2 一维对流扩散方程高精度紧致差分格式其中u(x,t)是未知函数，a为扩散项系数，p(x,t)为对流项系数，源项f(x,t)为已知函数，假设u(x,t),p(x,t)和f(x,t)均为求解区域上关于变量x和t的足够光滑函数．将空间区域[a1,a2]剖分为N个子区间，定义空间步长xb=xi−xi−1,xf=xi+1−xi,1≤i≤N−1，当xb=xf时，网格为均匀剖分．对时间方向采用均匀网格剖分，步长用τ表示．为方便差分格式推导，首先考虑如下一维定常对流扩撒方程考虑如下一维变系数非定常对流扩散方程u,p,s均为x的函数，分别将u(xi+1),u(xi−1)在点x(i)处作泰勒展开，得(3)与(4)式相减可得(3)和(4)式分别乘xb,xf相加得定义x方向非均匀网格上的一阶和二阶中心差分算子将上述定义的差分算子代入一阶和二阶导数，则(2)式可写成如下形式其中对原方程(1)关于x求导，得到u关于x的三阶和四阶导数，代入τi，并将si用代替，略去截断误差项则(9)式变为其中考虑方程在n+1时刻的值，对利用二阶向后欧拉差分离散，即将代入(11)式，略去时间高阶项，可得其中用分别表示函数u(x,t)在点(xi,tn),(xi−1,tn),(xi+1,tn)处的近似解，将及差分算子的定义代入(13)式，化简整理可得到一维非定常对流扩散方程(1)在非均匀网格上的高精度紧致差分格式对应系数为其中n≥1．易得此格式的截断误差项由给出，时间为二阶精度，当xf=xb时，空间为四阶精度，当x f̸=xb时，空间为三阶精度，且该格式为无条件稳定的，这在后面的数值实验部分将给出数值验证．这是一个三层格式，要进行计算，除了需知道初始时刻的值外，还需知道第一时间层上的值．对此，采用向后差分处理时间导数，即用代替(12)式，并令n=0，同理可得到计算第一个时间步的差分离散格式对应系数为其中利用格式(16)完成第1个时间步的计算后，即可使用格式(14)计算第2个时间步以后的值，直到所需时刻．尽管格式(16)时间方向仅有一阶精度，但由于在计算过程中其只用于完成第一个时间步的计算，不会影响格式的整体精度．同时可以看到，在每个时间层上其对应方程组均为三对角方程组，可用追赶法进行求解．3 数值实验为验证本文格式的精确性和有效性，我们对如下三个算例进行数值求解．问题1[4]初始条件为：u(x,0)=0．边界条件为：u(0,t)=0,u(1,t)=1，其精确解由以下式子给出该问题在x=1处有跳跃边界层，对其空间区域[0,1]采用以下变换函数生成非均匀网格N为网格剖分子区间的个数，θ是角度的控制，θ=π时网格在边界处分布密集；当θ=2π时网格在区域中间分布密集．−1≤λ≤1称作伸缩变换系数，该参数可以调节网格点在某一局部区域网格点的密集程度，λ=0时网格剖分为均匀网格．对问题1，令θ=π，选取适当的变换系数λ使网格在x=1处分布密集，定义网格比η= τN2．表1和表2给出了T=1.0,η=1，Re取100和1000时，分别运用本文差分格式和Crank-Nicolson方法进行计算，得到数值解与精确解的最大绝对误差和空间收敛阶结果，其中非均匀网格分布均选取结果最好时对应的变换系数λ(算例2和算例3下同)；图1和图2给出了问题1的精确解和数值解的比较．由计算结果可以看出，本文非均匀网格在精度上优势明显，其在较少网格数下即能达到较高的计算精度，且收敛阶均能达到四阶精度．表1: 问题1在不同网格数下的最大绝对误差及收敛阶(Re=100)网格数 Crank-Nicolson格式本文格式均匀网格本文格式非均匀网格(λ=0.69)最大绝对误差Order 最大绝对误差 Order 最大绝对误差Order 20 4.353×10−1 9.774×10−2 1.120×10−3 40 1.938×10−1 1.17 1.566×10−2 2.64 4.440×10−5 4.66 805.574×10−2 1.80 1.329×10−3 3.56 2.515×10−6 4.14 160 1.213×10−2 2.20 7.767×10−5 4.10 1.615×10−7 3.96表2: 问题1在不同网格数下的最大绝对误差及收敛阶(Re=1000)网格数 Crank-Nicolson格式本文格式均匀网格本文格式非均匀网格(λ=0.93)最大绝对误差Order 最大绝对误差 Order 最大绝对误差Order 40 8.518×10−1 6.188×10−13.632×10−3 80 7.241×10−1 0.23 3.833×10−1 0.69 1.384×10−44.71 1605.171×10−1 0.49 1.512×10−1 1.34 7.432×10−6 4.22 320 2.634×10−1 0.97 3.049×10−1 2.31 4.470×10−7 4.06图1: 当Re=100,(a):N=10,λ=0.54;(b):N=40,λ=0.69时，问题1数值解和精确解的比较图2:当Re=1000,(a):N=40,λ=0.93;(b):N=100,λ=0.93时，问题1数值解和精确解的比较另外，令N=160，Re分别取100和1000时，运用本文非均匀网格差分格式计算，可得η分别取10,100,1000，最大绝对误差均与η=1时结果一致，由此也可以验证本文差分格式为无条件稳定的．问题2[6]其初始条件如下：u(x,0)=αe−cx ．√精确解为：，其边界条件由精确解给出．对此问题，令采用(17)式给出的变换函数，令θ=π．表3和表4给出了问题2在T=1,τ=2h,Re分别取100和1000时运用本文格式计算得到的平均误差结果，并与文献[6]及Crank-Nicolson格式的计算结果进行比较．计算结果表明，在相同的网格数下，本文非均匀网格格式采用合理的网格分布，可以得到较Crank-Nicolson格式，文献[6]中格式和本文均匀网格格式更为精确的计算结果．表5给出了问题2在网格剖分固定，不同时间步长下计算所得平均误差及时间收敛阶，可以看出本文差分格式时间上基本能达到二阶精度．表3:问题2的平均误差(Re=100)16 8.420×10−2 1.321×10−2 1.155×10−21.256×10−4(λ = −0.64)32 9.981×10−2 1.232×10−3 1.150×10−31.497×10−5(λ = −0.69)64 1.064×10−1 8.811×10−5 8.612×10−51.665×10−6(λ = −0.73)128 1.088×10−1 5.698×10−6 6.118×10−62.808×10−7(λ = −0.82)表4:问题2的平均误差(Re=1000)16 1.414×10−2 2.883×10−1 2.530×10−1 8.113×10−2(λ = −0.17)32 2.289×10−2 7.616×10−2 7.135×10−28.502×10−3(λ = −0.72)64 2.973×10−2 1.519×10−2 1.471×10−21.131×10−5(λ = −0.92)128 3.374×10−22.425×10−3 2.385×10−37.902×10−7(λ = −0.92)表5: 当N=2408,λ=0时，问题2在不同时间步长下的平均误差及收敛阶 8 16 6.980×10−8 1.50 3.439×10−8 2.04 1 1.980×101.413×10 1 32 1.920×10−8 1.86 1.072×10−8 1.68 1−9 −9问题3 变系数非定常对流扩散问题其精确解为：右端项f(x,t)及初边值条件均由精确解确定．随着a取值变小，该问题精确解在x=0处呈现出大梯度变化，表6给出了T=1.0,τ=时，a取10−4和10−5两种情况下采用均匀网格和非均匀网格计算得到的最大绝对误差．其中非均匀网格剖分同样采用(17)式给出的变换函数，令θ=2π，并选取相应的变换函数将区间[0,1]扩展到[−1,1]，得到区域中间密集的网格分布．图3给出了N=32时，a 取10−4和10−5时均匀网格和非均匀网格数值解与精确解的比较，可以看出，在相同网格数下，高雷诺数问题采用均匀网格格式时，其数值解在大梯度附近区域发生振荡，而非均匀网格格式与精确解吻合得很好．表6: 问题3的最大绝对误差16 4.126×10−1 7.996× 10−2(λ =0.79)5.745×10−1 1.851× 10−1(λ =0.93)32 1.763×10−1 4.876× 10−2(λ =0.77) 5.780×10−1 7.034× 10−2(λ =0.93)646.127×10−2 3.950× 10−2(λ =0.8) 3.517×10−1 4.305× 10−2(λ =0.92)图3:当N=32,(a):a=10−4,λ=0.77;(b):a=10−5,λ=0.77时，问题3数值解和精确解的比较本文提出了数值求解一维非定常对流扩散方程在非均匀网格上的高精度紧致差分格式，该格式在时间和空间上分别能达到二阶和四阶精度，在求解大梯度和边界层问题时计算效果优于均匀网格．本文格式建立在非均匀网格上，在实际的流场计算中更为实用，针对不同的问题，通过合理地调节网格疏密，可以得到更高的计算精度．最后数值实验验证了本文方法的精确性和有效性．4 结论参考文献：[1]田振夫，冯秀芳.对流扩散方程的一种新的显式方法[J].工程数学学报，2000,17(4):65-69 Tian Z F,Feng X F.A new explicit method with exponential-type for the convection-di ff usion equation[J].Chinese Journal of Engineering Mathematics,2000,17(4):65-69[2]Karaa S,Zhang J.High order ADI method for solving unsteady convection-di ff usion problems[J].Journal of ComputationalPhysics,2004,198(1):1-9[3]Ding H,Zhang Y.A new di ff erence scheme with high accuracy and absolute stability for solving convectiondi ff usion[J].Journal of Computational and Applied Mathematics,2009,230(2):600-606[4]Tian Z F,Yu P X.A high-order exponential scheme for solving 1D unsteady convection-di ff usion equations[J].Journal of Computational and Applied Mathematics,2011,235(8):2477-2491[5]葛永斌，田振夫，吴文权.含源项非定常对流扩散方程的高精度紧致隐式差分方法[J].水动力学研究与进展(A辑)，2006,21(5):619-625 Ge Y B,Tian Z F,Wu WQ.A high-order compact implicit di ff erence method for the unsteady convectiondi ff usion equation with source term[J].Journal of 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