初二数学：直角三角形(1)
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A
．
解：在等腰直角三角形ABC中，∠B=∠C=45°.
∵AD⊥BC,
B
∴∠CAD+∠C=90°(根据什么？)
D
C
∴∠CAD=90°−∠C= 90°−45 °=45 °= ∠C
∴AD=DC
同理，AD=BD.
∴ AD＝BD＝CD
C
C
B
DB
∵∠C=90° ∴∠A+∠B=90
直°角三角形的两
个锐角互余。
∠A=∠B=45°
A
D
1
E 2
C B
讨论：请观察图中的∆ABC， 这个三角形有什么特点？j =5.03 厘米
A
j' = 5.03 厘米
B
C
定义：两条直角边相等的直角三角形
叫做等腰直角三角形。
讨论：等腰直角三角形的两个锐角
各是多少度呢？
结论：等腰直角三角形的两个锐角
都是45゜.
例２如图：在等腰直角三角形ABC中，AD 是斜边BC上的高，求证：AD＝BD＝CD．
CD AD BD CD 1 AB
2
等腰直角三角形斜边上的高
等于斜边的一半。
已知：如图，D是RtΔABC斜边AB上的一点， BD=CD.求证：AD=CD.
A
D
B
C
直角三角形的性质2： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 B
数学语言表述为： D
∵在Rt△ABC中,
CD是斜边AB上的中线
C
∠A= 30°
∴ BC 1 AB
2
在直角三角形中，30°角所对的 直角边等于斜边的一半。
证明方法二：
延长BC到D，使CD等于BC,连结AD
∵BC=DC，∠ACB=∠ACD，AC=AC
∴△ACB≌△ACD(SAS)
∴∠ BAC=∠DAC=300，AB=AD
∴∠BAD=600
A
∴△ABD是等边三角形
∠ABC的平分线交AC于D，过C作BD的垂线交
BD的延长线于E，交BA的延长线于F，请说明：
（1） △BCF是等腰三角形；
（2） △ABD≌ △ACF;
F
（3） BD=2CE
A
E
D
B
C
☆★☆★
☆★☆★
已知等腰Rt△ABC中，∠BAC=90 ° ，
BE平分∠ABC,EC⊥BE 请说明：
（1） △BCF是等腰三角形；
上
5cm
2、的如中图线，的在长R为t△_A__B_C__中，CD是斜边AB上的中
线，∠CDA=80°，则∠A50=°_____ ∠4B0=°_____
D
B
C
3、在Rt△ABC中,BD是斜边AC上的中
线,∠A=30°.
(1)∠C=_6__0_°__∠ABD=3_0_°_
C
__
60°
60°
D
(∠2B) D△BCD=C__是__什__么三角形？ A
进行等量代换。
及时巩固
1、如图，∠ABC＝∠ADC＝90 ° ，E是AC的中点， EF⊥BD于F．试说明F是DB的中点．
Ａ
Ｅ
Ｂ
Ｆ
Ｄ
Ｃ
变式题：如图，已知AD、BE分别是△ABC的BC、 AC边上的高，F是DE的中点，G是AB的中点， 则FG⊥DE，请说明理由。
C
E
F
D
A
G
B
练一练：
1、已知Rt△ABC中，斜边AB=10cm，则斜边
1
∴CD=BD=AD= AB
2
数学语言表述为：
∵ ∠ACB= 90゜
ＣＤ是ＡＢ边上的中线．
∴ＣＤ＝ 1 ＡＢ
（直角三角2形斜边上的中线等于斜边的一半．Ａ）
ＤD
B Ｂ
CＣ
例3、如图，已知AD⊥BD，AC⊥BC，E
为AB的中点，试判断DE与CE是否相等，
并说明理由。 D
C
A
E
B
说明两条线段相等，有时还可以通过第三条线段
直角三角形的定义：
有一个内角是直角的三角形
叫直角三角形． A
直
斜边
角
边
C
直角边
B
“直角三角形ABC”用符号“＿R＿t△＿AB＿C＿”表示。
广告牌的支架
电线杆的固定装置 楼梯的侧面
猜想：直角三角形的两个锐角有什么关系？
A
C
B
猜想：1、直角三角形的两个锐角互余。
☞
对猜想说明：
已知：在△ABC中，∠C＝ 90゜ 说明：∠A＋∠B＝90 ゜
说明：在△ABC中
∵∠A+∠B+∠C=180゜(三角形内角和定理）
∠C= 90゜（已知）
B
∴∠A+∠B+90゜=180゜（等量代换）
∴∠A+∠B=180゜－90゜= 90゜
即∠A+∠B=90゜
结论：直角三角形的两 A
C
个锐角互余。
例1：如图，CD是Ｒt△ABC斜边上的高。
（1）图中有几个直角三角形？
∴AB=BD=2BC
B
CD
及时巩固:
1.如图：在Rt△ABC中∠A=300,AB+BC=12cm
则AB=_８____cm
Ｂ
３００
Ｃ
2.如图:△ABC是等边三角形，
AD⊥BC,DE⊥AB,若AB=8cm,
BD=＿４＿ｃ＿ｍ， BE=２___ｃ_ ｍ
E
B
Ａ A
DC
☆★☆★
☆★☆★
.如图，已知等腰Rt△ABC中，∠BAC=90 ，
B
∠CBD等=_边__三__角形
(3) 此时BC与AC有什么关系？ BC 1 AC 2
例4、一名滑雪运动员沿着倾斜角为30°
的斜坡，从A滑行至B。已知AB＝200m，问这 名滑雪运动员的高度下降了多少m？
A
D
30°
B
C
解：如图，作Rt△ABC的斜边上的中线CD，则
11
CD=AD= 2 AB= 2 ×200=100m
A
C
∴CD＝AD＝BD＝ 1 AB 2
（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
已知：如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线 A
求证：CD= 1 AB 2
(D') D
B
C
证明：过点C作射线，交AB于D',使∠BCD'=∠B, 则∠D'CA=∠A(等角的余角相等） ∴BD'=CD'=AD', ∴D'即AB的中点D,
（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
A
∵∠B=300
∴∠A=900－∠B=900－300=600
D
(直角三角形的两个锐角互余)
30°
∴△ADC是等边三角形 B
Cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(有一个角是600的等腰三角形是等边三角形)
∴AC=AD=100(m)
答:这名滑雪运动员的高度下降了100m.
B
A
30o
∵ 在Rt△ABC中
（2） △ABD≌ △ACF;
（3） BD=2CE
F
A
1 2
B
3E
4
D
C
☆★☆★
☆★☆★
已知等腰Rt△ABC中，∠BAC=90 ° ，
C
Rt△ABC、 Rt△ACD、Rt△BCD
12
B
D
（2）图中有几对互余的角？
∠A与∠B、 ∠A与∠1、 ∠1与∠2、 ∠B与∠2
（3）图中有几对相等的角？
∠1=∠ B、 ∠2=∠A
及时巩固
1.在△MNP中, ∠MNP=45度,H是 高MQ和高NR的交点,求证：HN=MP.
M
R H
P
Q
N
2.已知AD,BC平行, ∠A=90度,DE垂直CE, ∠1= ∠2, △ADE与△BEC全等吗?
．
解：在等腰直角三角形ABC中，∠B=∠C=45°.
∵AD⊥BC,
B
∴∠CAD+∠C=90°(根据什么？)
D
C
∴∠CAD=90°−∠C= 90°−45 °=45 °= ∠C
∴AD=DC
同理，AD=BD.
∴ AD＝BD＝CD
C
C
B
DB
∵∠C=90° ∴∠A+∠B=90
直°角三角形的两
个锐角互余。
∠A=∠B=45°
A
D
1
E 2
C B
讨论：请观察图中的∆ABC， 这个三角形有什么特点？j =5.03 厘米
A
j' = 5.03 厘米
B
C
定义：两条直角边相等的直角三角形
叫做等腰直角三角形。
讨论：等腰直角三角形的两个锐角
各是多少度呢？
结论：等腰直角三角形的两个锐角
都是45゜.
例２如图：在等腰直角三角形ABC中，AD 是斜边BC上的高，求证：AD＝BD＝CD．
CD AD BD CD 1 AB
2
等腰直角三角形斜边上的高
等于斜边的一半。
已知：如图，D是RtΔABC斜边AB上的一点， BD=CD.求证：AD=CD.
A
D
B
C
直角三角形的性质2： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 B
数学语言表述为： D
∵在Rt△ABC中,
CD是斜边AB上的中线
C
∠A= 30°
∴ BC 1 AB
2
在直角三角形中，30°角所对的 直角边等于斜边的一半。
证明方法二：
延长BC到D，使CD等于BC,连结AD
∵BC=DC，∠ACB=∠ACD，AC=AC
∴△ACB≌△ACD(SAS)
∴∠ BAC=∠DAC=300，AB=AD
∴∠BAD=600
A
∴△ABD是等边三角形
∠ABC的平分线交AC于D，过C作BD的垂线交
BD的延长线于E，交BA的延长线于F，请说明：
（1） △BCF是等腰三角形；
（2） △ABD≌ △ACF;
F
（3） BD=2CE
A
E
D
B
C
☆★☆★
☆★☆★
已知等腰Rt△ABC中，∠BAC=90 ° ，
BE平分∠ABC,EC⊥BE 请说明：
（1） △BCF是等腰三角形；
上
5cm
2、的如中图线，的在长R为t△_A__B_C__中，CD是斜边AB上的中
线，∠CDA=80°，则∠A50=°_____ ∠4B0=°_____
D
B
C
3、在Rt△ABC中,BD是斜边AC上的中
线,∠A=30°.
(1)∠C=_6__0_°__∠ABD=3_0_°_
C
__
60°
60°
D
(∠2B) D△BCD=C__是__什__么三角形？ A
进行等量代换。
及时巩固
1、如图，∠ABC＝∠ADC＝90 ° ，E是AC的中点， EF⊥BD于F．试说明F是DB的中点．
Ａ
Ｅ
Ｂ
Ｆ
Ｄ
Ｃ
变式题：如图，已知AD、BE分别是△ABC的BC、 AC边上的高，F是DE的中点，G是AB的中点， 则FG⊥DE，请说明理由。
C
E
F
D
A
G
B
练一练：
1、已知Rt△ABC中，斜边AB=10cm，则斜边
1
∴CD=BD=AD= AB
2
数学语言表述为：
∵ ∠ACB= 90゜
ＣＤ是ＡＢ边上的中线．
∴ＣＤ＝ 1 ＡＢ
（直角三角2形斜边上的中线等于斜边的一半．Ａ）
ＤD
B Ｂ
CＣ
例3、如图，已知AD⊥BD，AC⊥BC，E
为AB的中点，试判断DE与CE是否相等，
并说明理由。 D
C
A
E
B
说明两条线段相等，有时还可以通过第三条线段
直角三角形的定义：
有一个内角是直角的三角形
叫直角三角形． A
直
斜边
角
边
C
直角边
B
“直角三角形ABC”用符号“＿R＿t△＿AB＿C＿”表示。
广告牌的支架
电线杆的固定装置 楼梯的侧面
猜想：直角三角形的两个锐角有什么关系？
A
C
B
猜想：1、直角三角形的两个锐角互余。
☞
对猜想说明：
已知：在△ABC中，∠C＝ 90゜ 说明：∠A＋∠B＝90 ゜
说明：在△ABC中
∵∠A+∠B+∠C=180゜(三角形内角和定理）
∠C= 90゜（已知）
B
∴∠A+∠B+90゜=180゜（等量代换）
∴∠A+∠B=180゜－90゜= 90゜
即∠A+∠B=90゜
结论：直角三角形的两 A
C
个锐角互余。
例1：如图，CD是Ｒt△ABC斜边上的高。
（1）图中有几个直角三角形？
∴AB=BD=2BC
B
CD
及时巩固:
1.如图：在Rt△ABC中∠A=300,AB+BC=12cm
则AB=_８____cm
Ｂ
３００
Ｃ
2.如图:△ABC是等边三角形，
AD⊥BC,DE⊥AB,若AB=8cm,
BD=＿４＿ｃ＿ｍ， BE=２___ｃ_ ｍ
E
B
Ａ A
DC
☆★☆★
☆★☆★
.如图，已知等腰Rt△ABC中，∠BAC=90 ，
B
∠CBD等=_边__三__角形
(3) 此时BC与AC有什么关系？ BC 1 AC 2
例4、一名滑雪运动员沿着倾斜角为30°
的斜坡，从A滑行至B。已知AB＝200m，问这 名滑雪运动员的高度下降了多少m？
A
D
30°
B
C
解：如图，作Rt△ABC的斜边上的中线CD，则
11
CD=AD= 2 AB= 2 ×200=100m
A
C
∴CD＝AD＝BD＝ 1 AB 2
（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
已知：如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线 A
求证：CD= 1 AB 2
(D') D
B
C
证明：过点C作射线，交AB于D',使∠BCD'=∠B, 则∠D'CA=∠A(等角的余角相等） ∴BD'=CD'=AD', ∴D'即AB的中点D,
（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
A
∵∠B=300
∴∠A=900－∠B=900－300=600
D
(直角三角形的两个锐角互余)
30°
∴△ADC是等边三角形 B
Cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(有一个角是600的等腰三角形是等边三角形)
∴AC=AD=100(m)
答:这名滑雪运动员的高度下降了100m.
B
A
30o
∵ 在Rt△ABC中
（2） △ABD≌ △ACF;
（3） BD=2CE
F
A
1 2
B
3E
4
D
C
☆★☆★
☆★☆★
已知等腰Rt△ABC中，∠BAC=90 ° ，
C
Rt△ABC、 Rt△ACD、Rt△BCD
12
B
D
（2）图中有几对互余的角？
∠A与∠B、 ∠A与∠1、 ∠1与∠2、 ∠B与∠2
（3）图中有几对相等的角？
∠1=∠ B、 ∠2=∠A
及时巩固
1.在△MNP中, ∠MNP=45度,H是 高MQ和高NR的交点,求证：HN=MP.
M
R H
P
Q
N
2.已知AD,BC平行, ∠A=90度,DE垂直CE, ∠1= ∠2, △ADE与△BEC全等吗?