备战中考数学压轴题专题圆的综合的经典综合题附答案解析

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图1，直角梯形OABC中，BC∥OA，OA=6，BC=2，∠BAO=45°．

（1）OC的长为；

（2）D是OA上一点，以BD为直径作⊙M，⊙M交AB于点Q．当⊙M与y轴相切时，sin∠BOQ=；

（3）如图2，动点P以每秒1个单位长度的速度，从点O沿线段OA向点A运动；同时动点D以相同的速度，从点B沿折线B﹣C﹣O向点O运动．当点P到达点A时，两点同时停止运动．过点P作直线PE∥OC，与折线O﹣B﹣A交于点E．设点P运动的时间为t （秒）．求当以B、D、E为顶点的三角形是直角三角形时点E的坐标．

【答案】（1）4；（2）3

5

；（3）点E的坐标为（1，2）、（

5

3

，

10

3

）、（4，2）．

【解析】

分析：（1）过点B作BH⊥OA于H，如图1（1），易证四边形OCBH是矩形，从而有OC=BH，只需在△AHB中运用三角函数求出BH即可．

（2）过点B作BH⊥OA于H，过点G作GF⊥OA于F，过点B作BR⊥OG于R，连接MN、DG，如图1（2），则有OH=2，BH=4，MN⊥OC．设圆的半径为r，则

MN=MB=MD=r．在Rt△BHD中运用勾股定理可求出r=2，从而得到点D与点H重合．易证△AFG∽△ADB，从而可求出AF、GF、OF、OG、OB、AB、BG．设OR=x，利用BR2=OB2﹣OR2=BG2﹣RG2可求出x，进而可求出BR．在Rt△ORB中运用三角函数就可解决问题．（3）由于△BDE的直角不确定，故需分情况讨论，可分三种情况（①∠BDE=90°，

②∠BED=90°，③∠DBE=90°）讨论，然后运用相似三角形的性质及三角函数等知识建立关于t的方程就可解决问题．

详解：（1）过点B作BH⊥OA于H，如图1（1），则有∠BHA=90°=∠COA，∴OC∥BH．∵BC∥OA，∴四边形OCBH是矩形，∴OC=BH，BC=OH．

∵OA=6，BC=2，∴AH=0A﹣OH=OA﹣BC=6﹣2=4．

∵∠BHA=90°，∠BAO=45°，

∴tan∠BAH=BH

HA

=1，∴BH=HA=4，∴OC=BH=4．

故答案为4．

（2）过点B作BH⊥OA于H，过点G作GF⊥OA于F，过点B作BR⊥OG于R，连接MN、DG，如图1（2）．

由（1）得：OH =2，BH =4．

∵OC 与⊙M 相切于N ，∴MN ⊥OC ．

设圆的半径为r ，则MN =MB =MD =r ．

∵BC ⊥OC ，OA ⊥OC ，∴BC ∥MN ∥OA ．

∵BM =DM ，∴CN =ON ，∴MN =

12（BC +OD ），∴OD =2r ﹣2，∴DH =OD OH -=24r -．

在Rt △BHD 中，∵∠BHD =90°，∴BD 2=BH 2+DH 2，∴（2r ）2=42+（2r ﹣4）2．

解得：r =2，∴DH =0，即点D 与点H 重合，∴BD ⊥0A ，BD =AD ．

∵BD 是⊙M 的直径，∴∠BGD =90°，即DG ⊥AB ，∴BG =AG ．

∵GF ⊥OA ，BD ⊥OA ，∴GF ∥BD ，∴△AFG ∽△ADB ， ∴AF AD =GF BD =AG AB =12，∴AF =12AD =2，GF =12

BD =2，∴OF =4，

∴OG

同理可得：OB AB ，∴BG =

12AB ．

设OR =x ，则RG x ．

∵BR ⊥OG ，∴∠BRO =∠BRG =90°，∴BR 2=OB 2﹣OR 2=BG 2﹣RG 2，

∴（

2﹣x 2=（）2﹣（x ）2．

解得：x =5，∴BR 2=OB 2﹣OR 2=（2﹣（5）2=365，∴BR =5

．

在Rt △ORB 中，sin ∠BOR =BR OB

35． 故答案为35

． （3）①当∠BDE =90°时，点D 在直线PE 上，如图2．

此时DP =OC =4，BD +OP =BD +CD =BC =2，BD =t ，OP =t ． 则有2t =2．

解得：t =1．则OP =CD =DB =1．

∵DE ∥OC ，∴△BDE ∽△BCO ，∴

DE OC =BD BC =12

，∴DE =2，∴EP =2， ∴点E 的坐标为（1，2）．

②当∠BED =90°时，如图3．

∵∠DBE =OBC ，∠DEB =∠BCO =90°，∴△DBE ∽△OBC ，

∴BE

BC =2DB BE OB ∴，∴BE =5

t ． ∵PE ∥OC ，∴∠OEP =∠BOC ．

∵∠OPE =∠BCO =90°，∴△OPE ∽△BCO ，

∴OE

OB =

25

OP

BC

∴

，=

2

t

，∴OE=5t．

∵OE+BE=OB=255

，∴t+5

t=25．

解得：t=5

3

，∴OP=

5

3

，OE=

55

，∴PE=22

OE OP

-=

10

3

，

∴点E的坐标为（510

33

，）．

③当∠DBE=90°时，如图4．

此时PE=PA=6﹣t，OD=OC+BC﹣t=6﹣t．

则有OD=PE，EA=22

PE PA

+=2（6﹣t）=62﹣2?t，∴BE=BA﹣EA=42﹣（62﹣2t）=2t﹣22．

∵PE∥OD，OD=PE，∠DOP=90°，∴四边形ODEP是矩形，∴DE=OP=t，DE∥OP，∴∠BED=∠BAO=45°．

在Rt△DBE中，cos∠BED=BE

DE

=

2

，∴DE=2BE，

∴t=22

（t﹣22）=2t﹣4．

解得：t=4，∴OP=4，PE=6﹣4=2，∴点E的坐标为（4，2）．

综上所述：当以B、D、E为顶点的三角形是直角三角形时点E的坐标为（1，2）、

（510

33

，）、（4，2）．

点睛：本题考查了圆周角定理、切线的性质、相似三角形的判定与性质、三角函数的定义、平行线分线段成比例、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，还考查了分类讨论的数