【数学】数学圆的综合的专项培优练习题附答案解析
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一、圆的综合真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.如图,⊙O是△ABC的外接圆,点E为△ABC内切圆的圆心,连接AE的延长线交BC于点F,交⊙O于点D;连接BD,过点D作直线DM,使∠BDM=∠DAC.
(1)求证:直线DM是⊙O的切线;
(2)若DF=2,且AF=4,求BD和DE的长.
【答案】(1)证明见解析(2)23
【解析】
【分析】
(1)根据垂径定理的推论即可得到OD⊥BC,再根据∠BDM=∠DBC,即可判定BC∥DM,进而得到OD⊥DM,据此可得直线DM是⊙O的切线;
(2)根据三角形内心的定义以及圆周角定理,得到∠BED=∠EBD,即可得出DB=DE,再判定△DBF∽△DAB,即可得到DB2=DF•DA,据此解答即可.
【详解】
(1)如图所示,连接OD.
∵点E是△ABC的内心,∴∠BAD=∠CAD,∴BD CD
=,∴OD⊥BC.
又∵∠BDM=∠DAC,∠DAC=∠DBC,∴∠BDM=∠DBC,∴BC∥DM,∴OD⊥DM.
又∵OD为⊙O半径,∴直线DM是⊙O的切线.
(2)连接BE.∵E为内心,∴∠ABE=∠CBE.
∵∠BAD=∠CAD,∠DBC=∠CAD,∴∠BAD=∠DBC,∴∠BAE+∠ABE=∠CBE+∠DBC,即
∠BED=∠DBE,∴BD=DE.
又∵∠BDF=∠ADB(公共角),∴△DBF∽△DAB,∴DF DB
DB DA
=,即DB2=DF•DA.
∵DF=2,AF=4,∴DA=DF+AF=6,∴DB2=DF•DA=12,∴DB=DE=23.
【点睛】
本题主要考查了三角形的内心与外心,圆周角定理以及垂径定理的综合应用,解题时注意:平分弦所对一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧;三角形的内心到三角形三边的距离相等;三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角.
2.在⊙O 中,点C是AB上的一个动点(不与点A,B重合),∠ACB=120°,点I是∠ABC的内心,CI的延长线交⊙O于点D,连结AD,BD.
(1)求证:AD=BD.
(2)猜想线段AB与DI的数量关系,并说明理由.
(3)若⊙O的半径为2,点E,F是AB的三等分点,当点C从点E运动到点F时,求点I 随之运动形成的路径长.
23
【答案】(1)证明见解析;(2)AB=DI,理由见解析(3
【解析】
分析:(1)根据内心的定义可得CI平分∠ACB,可得出角相等,再根据圆周角定理,可证得结论;
(2)根据∠ACB=120°,∠ACD=∠BCD,可求出∠BAD的度数,再根据AD=BD,可证得
△ABD是等边三角形,再根据内心的定义及三角形的外角性质,证明∠BID=∠IBD,得出
ID=BD,再根据AB=BD,即可证得结论;
(3)连接DO,延长DO根据题意可知点I随之运动形成的图形式以D为圆心,DI1为半径的弧,根据已知及圆周角定理、解直角三角形,可求出AD的长,再根据点E,F是弧AB ⌢的三等分点,△ABD是等边三角形,可证得∠DAI1=∠AI1D,然后利用弧长的公式可求出点I 随之运动形成的路径长.
详解:(1)证明:∵点I是∠ABC的内心
∴CI平分∠ACB
∴∠ACD=∠BCD
∴弧AD=弧BD
∴AD=BD
(2)AB=DI
理由:∵∠ACB=120°,∠ACD=∠BCD
∴∠BCD=×120°=60°
∵弧BD=弧BD
∴∠DAB=∠BCD=60°
∵AD=BD
∴△ABD是等边三角形,
∴AB=BD,∠ABD=∠C
∵I是△ABC的内心
∴BI平分∠ABC
∴∠CBI=∠ABI
∵∠BID=∠C+∠CBI,∠IBD=∠ABI+∠ABD
∴∠BID=∠IBD
∴ID=BD
∵AB=BD
∴AB=DI
(3)解:如图,连接DO,延长DO根据题意可知点I随之运动形成的图形式以D为圆心,DI1为半径的弧
∵∠ACB=120°,弧AD=弧BD
∴∠AED=∠ACB=×120°=60°
∵圆的半径为2,DE是直径
∴DE=4,∠EAD=90°
∴AD=sin ∠AED×DE=×4=2
∵点E ,F 是 弧AB ⌢的三等分点,△ABD 是等边三角形, ∴∠ADB=60°
∴弧AB 的度数为120°, ∴弧AM 、弧BF 的度数都为为40° ∴∠ADM=20°=∠FAB ∴∠DAI 1=∠FAB+∠DAB=80°
∴∠AI 1D=180°-∠ADM-∠DAI 1=180°-20°-80°=80° ∴∠DAI 1=∠AI 1D ∴AD=I 1D=2
∴弧I 1I 2的长为:
点睛:此题是一道圆的综合题,有一定的难度,熟记圆的相关性质与定理,并对圆中的弦、弧、圆心角、圆周角等进行灵活转化是解题关键,注意数形结合思想的渗透.
3.如图1
O ,的直径12AB P =,是弦BC 上一动点(与点B C ,不重合)30ABC ,∠=,过点P 作PD OP ⊥交O 于点D .
()1如图2,当//PD AB 时,求PD 的长;
()2如图3,当DC AC =时,延长AB 至点E ,使12
BE AB =,连接DE .
①求证:DE 是O 的切线;
②求PC 的长.
【答案】(1)262)333①见解析,②. 【解析】
分析:()1根据题意首先得出半径长,再利用锐角三角函数关系得出OP PD ,的长;
()2①首先得出
OBD 是等边三角形,进而得出ODE OFB 90∠∠==,求出答案即
可;
②首先求出CF 的长,进而利用直角三角形的性质得出PF 的长,进而得出答案.
详解:()1如图2,连接OD ,