弦切角定理
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
• 学习目标： • 一、掌握定理； • 二、定理的应用。 茂租镇中学 宋先贵
切线的判定定理：经过半 径的外端并且垂直于这条 半径的直线是圆的切线．
O
l
A B
1 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切 点的半径．
根据作图,直线l是⊙O切线满足两个条件：
1.经过半径的外端； 2.与半径垂直．
应用格式(几何语言 ):
OA是⊙O的半径 OA⊥l于A
l是⊙O的切线.
观察辨析
B C B A （切点 ） m
C
A
D （切点 ）
C
B
A
A C
（切点 B A ）
D
B A （切点）
m B
C
C
. O A B
C C .O .O
A
B
A
B
顶点在圆上，并且一边和圆相交、另一边 和圆相切的角叫做
弦切角。
已知：如图，AB切⊙O于点A,AC与⊙O
相交，
即： ∠CAB是弦切角。
1.观察：在图1中，以点D为中心旋转直线DE，同时保证直 线BC与DE的交点落在圆周上.
当DE变为圆的切线时(如图2),你能发现什么现象? E E C D 图1 O A B A (C) D O
图2
B
在图1中,根据圆内接四边形的性质,有∠BCE=∠A. 在图2中,DE是切线, ∠BCE=∠A仍然成立吗?
2.猜想：△ABC是⊙O的内接三角形，CE是⊙O的切线，则∠BCE=∠A. 3.证明：分三种情况讨论． １．如图(1)，圆心O 在△ABC的边BC上. 即△ABC是Rt△. ２．如图(2),圆心O在 3．如图(3),圆心O在 △ABC的内部．即 △ABC的外部．即 △ABC为锐角三角形. △ABC为钝角三角形.
C
E
C
●
E
(2)
C
(3)
E
O A
●
(1 )
O A
D
A B P B
●
O P
B
综上所述，猜想成立.即∠BCE=∠A.
如图，由于角∠BDE是由一条弦和一条切 线组成的角，因此给它取名为弦切角.即: (C) 顶点在圆上，并且一边和圆相交、另一边 D 和圆相切的角叫做弦切角. 已知:如图,DE切⊙O于点D,DB与⊙O 相交于点B ,则:∠EDB是弦切角. A
E
O B
4.因此我们可以将上述经过证明后的猜想表述为： 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角. 应用格式:
已知:△ABD内接于⊙O ，DE切⊙O于点D,
则:∠EDB= ∠BAD.
例1:如图,AB是⊙O的直径,AC是弦,直线CE和⊙O切于点 C,AD⊥CE垂足为D.求证:AC平分∠BAD. 证明：连接BC． ∵AB是⊙O的直径, ∴ ∠ACB＝900. ∴ ∠B +∠CAB＝900. ∵AD⊥CE, ∴ ∠ADC＝900.
E C D B O A
∴ ∠ACD +∠DAC＝900.
又∵AC是弦,且直线CE和⊙O切于点 C, ∴ ∠ACD =∠B.
∴ ∠DAC=∠CAB,即AC平分∠BAD.
A
例2: 如图,AD是△ABC中 ∠BAC的平分线,经过点A 的⊙O与BC切于点D,与AB、 AC分别相交于E、F. 求证： EF∥BC. 证明：连结DF. ∵AD是∠BAC的角平分线， ∴∠BAD=∠DAC. 又∵∠EFD=∠BAD， ∴∠EFD=∠DAC. 又∵⊙O切BC于D, ∴∠FDC= ∠DAC. ∴∠FDC= ∠EFD ∴ EF∥BC
O E B
F D C
变式练习 如上图，连结DE、DF， 你能找出图中有哪些相 等的角,哪些相似三角形?
课堂练习：
1.如图，AC是⊙O的弦，BD切⊙O于C， O 4 个. 则图中弦切角有 若∠AOC=1200,则∠ ACD = 600 . B C ∠ACD, ∠ACB, ∠OCD, ∠OCB. 2.如图，直线MN切⊙O于C，AB是⊙O的直 径,若∠ BCM=400,则∠ ABC等于（ B ） A.400 B. 500 C. 450 D.600
3.已知⊙O是△ABC的内切圆,D,E,F 为切点,若∠ A: ∠ B: ∠ C=4:3:2, 则∠DEF = 500, ∠FEC= 700 . ∵A=800,B=600,C=400. ∴∠DOF=1000, ∴∠DEF=500 . ∵C=400,CE=CF. ∴∠FEC=700 . M A D
O
A
D O B C F N A
B
E
C
４.由圆外一点B引圆的切线BA,切点为A,过点B引直线BC 交圆于点C,D,若取BE=BA,求证：∠EAC=∠EAD．
证明：∵ BE=BA， ∴ ∠BAE=∠BEA． 又∵ BA圆的切线， ∴ ∠ BAC=∠ADC. B 而∵ ∠EAC=∠BAE－ ∠BAC, 且 ∠EAD=∠BEA－ ∠ADC. ∴ ∠EAC=∠EAD . C 常用模型： E A
D
△BAC∽△BDA!
5.如图,AB为⊙O的直径,BC 、CD为⊙O的切线, B 、D切点. 求证:(1) AD//OC; (2)若⊙O 的半径等于1,求AD· 的值. OC 证明:(1)∵BC 、CD是⊙O 的切线， B 、D切点 ∴ . ∠OBC=∠ODC=900. ∴Rt△OBC≌Rt△ODC. 又∵OB=OD,OC=OC. ∴ ∠BOC=∠DOC. 又∵ OA=OD, ∴ ∠OAD=∠ODA. 而∵ ∠BOD= ∠OAD+∠ODA=2 ∠OAD, 且 ∠BOD＝2 ∠BOC. ∴ ∠OAD＝∠BOC, ∴ AD//OC. (2)连接BD, ∵ ∠OAD＝∠BOC, ∴Rt△OBC∽Rt△ADB.
O A D
B
C
课堂小节：
顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的 角叫做弦切角。
弦切角定理: 弦切角的度数等于它所夹的弧度数的一半 推论: 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角
•
一般情况下，弦切角、圆周角、圆 心角都是通过它们夹的（或对的）同一 条弧（或等弧）联系起来，因此，当已 知有切线时常添线构建弦切角或添切 点处的半径应用切线的性质。
切线的判定定理：经过半 径的外端并且垂直于这条 半径的直线是圆的切线．
O
l
A B
1 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切 点的半径．
根据作图,直线l是⊙O切线满足两个条件：
1.经过半径的外端； 2.与半径垂直．
应用格式(几何语言 ):
OA是⊙O的半径 OA⊥l于A
l是⊙O的切线.
观察辨析
B C B A （切点 ） m
C
A
D （切点 ）
C
B
A
A C
（切点 B A ）
D
B A （切点）
m B
C
C
. O A B
C C .O .O
A
B
A
B
顶点在圆上，并且一边和圆相交、另一边 和圆相切的角叫做
弦切角。
已知：如图，AB切⊙O于点A,AC与⊙O
相交，
即： ∠CAB是弦切角。
1.观察：在图1中，以点D为中心旋转直线DE，同时保证直 线BC与DE的交点落在圆周上.
当DE变为圆的切线时(如图2),你能发现什么现象? E E C D 图1 O A B A (C) D O
图2
B
在图1中,根据圆内接四边形的性质,有∠BCE=∠A. 在图2中,DE是切线, ∠BCE=∠A仍然成立吗?
2.猜想：△ABC是⊙O的内接三角形，CE是⊙O的切线，则∠BCE=∠A. 3.证明：分三种情况讨论． １．如图(1)，圆心O 在△ABC的边BC上. 即△ABC是Rt△. ２．如图(2),圆心O在 3．如图(3),圆心O在 △ABC的内部．即 △ABC的外部．即 △ABC为锐角三角形. △ABC为钝角三角形.
C
E
C
●
E
(2)
C
(3)
E
O A
●
(1 )
O A
D
A B P B
●
O P
B
综上所述，猜想成立.即∠BCE=∠A.
如图，由于角∠BDE是由一条弦和一条切 线组成的角，因此给它取名为弦切角.即: (C) 顶点在圆上，并且一边和圆相交、另一边 D 和圆相切的角叫做弦切角. 已知:如图,DE切⊙O于点D,DB与⊙O 相交于点B ,则:∠EDB是弦切角. A
E
O B
4.因此我们可以将上述经过证明后的猜想表述为： 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角. 应用格式:
已知:△ABD内接于⊙O ，DE切⊙O于点D,
则:∠EDB= ∠BAD.
例1:如图,AB是⊙O的直径,AC是弦,直线CE和⊙O切于点 C,AD⊥CE垂足为D.求证:AC平分∠BAD. 证明：连接BC． ∵AB是⊙O的直径, ∴ ∠ACB＝900. ∴ ∠B +∠CAB＝900. ∵AD⊥CE, ∴ ∠ADC＝900.
E C D B O A
∴ ∠ACD +∠DAC＝900.
又∵AC是弦,且直线CE和⊙O切于点 C, ∴ ∠ACD =∠B.
∴ ∠DAC=∠CAB,即AC平分∠BAD.
A
例2: 如图,AD是△ABC中 ∠BAC的平分线,经过点A 的⊙O与BC切于点D,与AB、 AC分别相交于E、F. 求证： EF∥BC. 证明：连结DF. ∵AD是∠BAC的角平分线， ∴∠BAD=∠DAC. 又∵∠EFD=∠BAD， ∴∠EFD=∠DAC. 又∵⊙O切BC于D, ∴∠FDC= ∠DAC. ∴∠FDC= ∠EFD ∴ EF∥BC
O E B
F D C
变式练习 如上图，连结DE、DF， 你能找出图中有哪些相 等的角,哪些相似三角形?
课堂练习：
1.如图，AC是⊙O的弦，BD切⊙O于C， O 4 个. 则图中弦切角有 若∠AOC=1200,则∠ ACD = 600 . B C ∠ACD, ∠ACB, ∠OCD, ∠OCB. 2.如图，直线MN切⊙O于C，AB是⊙O的直 径,若∠ BCM=400,则∠ ABC等于（ B ） A.400 B. 500 C. 450 D.600
3.已知⊙O是△ABC的内切圆,D,E,F 为切点,若∠ A: ∠ B: ∠ C=4:3:2, 则∠DEF = 500, ∠FEC= 700 . ∵A=800,B=600,C=400. ∴∠DOF=1000, ∴∠DEF=500 . ∵C=400,CE=CF. ∴∠FEC=700 . M A D
O
A
D O B C F N A
B
E
C
４.由圆外一点B引圆的切线BA,切点为A,过点B引直线BC 交圆于点C,D,若取BE=BA,求证：∠EAC=∠EAD．
证明：∵ BE=BA， ∴ ∠BAE=∠BEA． 又∵ BA圆的切线， ∴ ∠ BAC=∠ADC. B 而∵ ∠EAC=∠BAE－ ∠BAC, 且 ∠EAD=∠BEA－ ∠ADC. ∴ ∠EAC=∠EAD . C 常用模型： E A
D
△BAC∽△BDA!
5.如图,AB为⊙O的直径,BC 、CD为⊙O的切线, B 、D切点. 求证:(1) AD//OC; (2)若⊙O 的半径等于1,求AD· 的值. OC 证明:(1)∵BC 、CD是⊙O 的切线， B 、D切点 ∴ . ∠OBC=∠ODC=900. ∴Rt△OBC≌Rt△ODC. 又∵OB=OD,OC=OC. ∴ ∠BOC=∠DOC. 又∵ OA=OD, ∴ ∠OAD=∠ODA. 而∵ ∠BOD= ∠OAD+∠ODA=2 ∠OAD, 且 ∠BOD＝2 ∠BOC. ∴ ∠OAD＝∠BOC, ∴ AD//OC. (2)连接BD, ∵ ∠OAD＝∠BOC, ∴Rt△OBC∽Rt△ADB.
O A D
B
C
课堂小节：
顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的 角叫做弦切角。
弦切角定理: 弦切角的度数等于它所夹的弧度数的一半 推论: 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角
•
一般情况下，弦切角、圆周角、圆 心角都是通过它们夹的（或对的）同一 条弧（或等弧）联系起来，因此，当已 知有切线时常添线构建弦切角或添切 点处的半径应用切线的性质。