初中数学思想方法汇总

初中数学思想方法的概念、种类 及渗透策略分析
分类讨论思想
一、分类讨论思想的意义 当我们在解决数学问题时，有时由于被研究对象的属性不同，影响了研究问题的结果， 因而需对不同属性的对象进行分类研究;或者由于在研究问题过程中出现了不同情况，因而 需对不同情况进行分类研究.通过分类讨论，常能化繁为简，更清楚地暴露事物的本质，并 增加条件， “分类讨论”,简言就是先分类，后讨论。阅读大纲和教材会发现,初中数学对分类 讨论本着先易后难、循渐进的原则,把“分类讨论思想”分两个层次,即“分类思想”和“讨 论思想” 。 分类思想在初中数学占有相当要的地位,通过教学应使学生确立类思想,学会分类方 法,而“讨论思则要求通过有关知识的传授起到潜默化的作用。 分类讨论是一种逻辑方法 , 也是一种数学思想。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性,能 训练人的思维条理性和概括性,所以在试题中占有重要的位置。 二、分类讨论的一般步骤是：明确讨论对象,确定对象的全体→确定分类标准,正确进行分类 →逐步进行讨论,获取阶段性结果→归纳小结,综合得出结论。 三、分类讨论思想的分类原则 ： 分类讨论必须遵循原则进行，在初中阶段，我们经常用到的有以下 4 大原则: (1)同一性原则 (2)互斥性原则 (3)相称性原则 (4)多层次性原则 四、七年级数学中体现分类讨论思想的知识点 上册：1、含字母式子的绝对值的化简 2、过平面内的点画直线的条数 3、线段、角的计算 4、 立体图形异面点之间的最短距离 5、数轴上两点间的距离 6、分段计费问题。下册：1、两边 分别平行的两角的关系 2、正数的平方根 3、实数的分类 4、坐标平面内点的坐标 5、P112 第 10 题 6、解字母系数的不等式 7、借助不等式（组）的正整数解讨论方案设计问题。 五、典型例题 例 1.（2011 浙江中考）解关于 x 的不等式组： a( x ? 2 )> x ? 3
（ 9 a ? x) >9a+8
例 2 已知直线 AB 上一点 C，且有 CA=3AB，则线段 CA 与线段 CB 之比为__或____。 练习：已知 A、B、C 三点在同一条直线上，且线段 AB=7cm，点 M 为线段 AB 的中点， 线段 BC=3cm，点 N 为线段 BC 的中点，求线段 MN 的长. 例 2 下列说法正确的是（ ） A、 两条线段相交有且只有一个交点。B、如果线段 AB=AC 那么点 A 是 BC 的中点。 C、 两条射线不平行就相交。D、不在同一直线上的三条线段两两相交必有三个交点。 [与角有关的分类讨论思想的应用]——角的一边不确定性引发讨论。 例 3 在同一平面上，∠AOB=70°，∠BOC=30°，射线 OM 平分∠AOB，ON 平分∠BOC，

求∠MON 的大小。 [练习] 已知∠AOB=60°,过 O 作一条射线 OC， 射线 OE 平分∠AOC?， 射线 OD 平分∠BOC， 求∠DOE 的大小 例 4 化简
x ? 5 ? 2x ? 3
练习：设 a 是有理数，求 a+
a
的值
例 5：甲、乙两人骑自行车，同时从相距 75km 的两地相向而行，甲的速度为 15km/n，乙的 速度为 10km/n，经过多少小时甲、乙两人相距 25km？
例 6：在同一图形内，画出∠AOB=60°，∠COB=50°，OD 是∠AOB 的平分线，OE 是∠ COB 的平分线，并求出∠DOE 的度数
例 7：如图，长方体的长宽高分别为 3、4、5，一只蚂蚁长方体的一个顶点 A 沿表面爬行到
B
顶点 B， 怎样爬行路线最短？如果要爬行到顶点 C 呢？说出你的理由。
A
六、练习题（菁优网期末考试题精选） 1.．阅读下列内容后，解答下列各题：几个不等于 0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决 定． 例如：考查代数式（x-1）（x-2）的值与 0 的大小 当 x＜1 时，x-1＜0，x-2＜0，∴（x-1）（x-2）＞0 当 1＜x＜2 时，x-1＞0，x-2＜0，∴（x-1）（x-2）＜0 当 x＞2 时，x-1＞0，x-2＞0，∴（x-1）（x-2）＞0 综上：当 1＜x＜2 时，（x-1）（x-2）＜0 当 x＜1 或 x＞2 时，（x-1）（x-2）＞0
C

（1）填写下表：（用“+”或“-”填入空格处） （2）由上表可知，当 x 满足时，（x+2）（x+1）（x-3）（x-4）＜0； （3）运用你发现的规律，直接写出当 x 满足时，（x-7）（x+8）（x-9）＜0． x＜-2 -2＜x＜-1 -1＜x＜3 3＜x＜4 x＞4 x+2 x+1 x-3 x-4 （ x+2 ） （ x+1 ） （ x-3 ） （ x-4 ） + + + + + + + + + + +
2． 已 知 动 点 P 以 每 秒 2cm 的 速 度 沿 图 甲 的 边 框 按 从 B ? C ? D ? E ? F ? A 的 路 径 移 动 ， 相 应 的 △ ABP 的 面 积 S 与 时 间 t 之 间 的 关 系 如 图 乙 中 的 图 象 表 示 ． 若
AB=6cm ， 试 回 答 下 列 问 题 ： （ 1 ） 图 甲 中 的 BC 长 是 多 少 ？ （ 2） 图 乙 中 的 a 是 多 少 ？ （ 3） 图 甲 中 的 图 形 面 积 的 多 少 ？ （ 4） 图 乙 中 的 b 是 多 少 ？
3． 某 学 校 计 划 购 买 若 干 台 电 脑 ， 现 从 两 家 商 场 了 解 到 同 一 种 型 号 电 脑 每 台 报 价 均 为 6000 元 ， 并 且 多 买 都 有 一 定 的 优 惠 ， 甲 商 场 的 优 惠 条 件 是 ： 第 一 台 按 原 价 收 费 ， 其 余 每 台 优 惠 25% ； 乙 商 场 优 惠 的 条 件 是 ： 每 台 优 惠 20% ． （ 1） 什 么 情 况 下 到 甲 商 场 购 买 更 优 惠 ？ （ 2） 什 么 情 况 下 到 乙 商 场 购 买 更 优 惠 ？ （ 3） 什 么 情 况 下 两 家 商 场 的 收 费 相 同 ？

4. 为 增 强 公 民 的 节 约 意 识 ，合 理 利 用 天 然 气 资 源 ，某 市 自 1 月 1 日 起 对 市 区 民 用 管道天然气价格进行调整，实行阶梯式气价，调整后的收费价格如表所示： 每月用气量 不 超 出 75m 3 的 部 分 超 出 75m 3 不 超 出 125 m3 的 部 分 超 出 125m 3 的 部 分 单价 2.5 元 /m 3 2.75 元 /m 3 3 元 /m 3
（ 1 ） 甲 用 户 1 月 份 的 用 气 量 为 145m 3 ， 应 缴 费 多 少 元 ？ （ 2 ） 乙 用 户 2 、 3 月 份 共 用 气 175m 3 （ 2 月 份 用 气 量 超 过 3 月 份 ） ， 共 缴 费 455 元 ， 乙 用 户 2、 3 月 份 的 用 气 量 各 是 多 少 ？
5 ．如 图 ，在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ，A（ a ，0 ），B（ b ，0 ），C（ -1 ，2 ），且 |2a+b+1|+ （ a+2b-4 ） 2 =0 ． （ 1） 求 a， b 的 值 ；
1 （ 2 ） 在 y 轴 上 存 在 一 点 M ， 使 △ COM 的 面 积 = 2 △ ABC 的 面 积 ， 求 点 M 的 坐 标 ．
数学建模思想
一、数学建模思想的意义 数 学 建 模 思 想 ，就 是 通 过 对 实 际 问 题 的 分 析 ，抓 住 其 本 质 ，联 想 相 应 的 知 识 ，建 立数学模型，利用数学知识解决问题的一种数学思想。 二、已学模型 1 、一 元 一 次 方 程 ； 2 、二 元 一 次 方 程 的 整 数 解 、正 整 数 解 ； 3 、二 元 一 次 方 程 组 ； 4 、不 等 式（ 组 ） ； （ 正 整 数 解 ） 5 、假 设 法 ； （ 鸡 兔 同 笼 ） 6 、用 样 本 数 据 估 计 总 体 相 应 的 数 据 。 7、 列 举 法 ； 8、 算 术 法 ； 三、方法 在 分 析 各 种 实 际 问 题 ，抓 其 本 质 的 过 程 中 ，了 解 各 类 问 题 的 生 活背 景 ，感 受

数 学 模 型 在 社 会 日 常 生 活 中 的 广 泛 应 用 ，积 累 数 学 背 景 知 识 ，体 会 数 学 阅 读 与 文 学阅读的区别（数学阅读是量的分析，文学阅读是字词的理解） ，提高阅读有数 学背景的材料的能力，培养用合适的数学模型解决问题的能力。 四、典型题目（精选于菁优网七年级期末考试试卷） 感受数学应用的广阔背景吧！经历选模、建模、解决问题的过程。 1． 根 据 图 中 给 出 的 信 息 ， 解 答 下 列 问 题 ： （ 1 ） 放 入 一 个 小 球 水 面 升 高 cm ， 放 入 一 个 大 球 水 面 升 高 cm ； （ 2 ） 如 果 要 使 水 面 上 升 到 50cm ， 应 放 入 大 球 、 小 球 各 多 少 个 ？
2 ． 某 镇 水 库 的 可 用 水 量 为 12000 万 m 3 ， 假 设 年 降 水 量 不 变 ， 能 维 持 该 镇 16 万 人 20 年 的 用 水 量 ． 为 实 施 城 镇 化 建 设 ， 新 迁 入 了 4 万 人 后 ， 水 库 只 能 够 维 持 居 民 15 年 的 用 水 量 ． （ 1） 问 ： 年 降 水 量 为 多 少 万 m3？ 每 人 年 平 均 用 水 量 多 少 m3？ （ 2 ）政 府 号 召 节 约 用 水 ，希 望 将 水 库 的 使 用 年 限 提 高 到 25 年 ．则 该 镇 居 民 人 均 每 年 需 节 约 多 少 m3 水 才 能 实 现 目 标 ？ （ 3 ）某 企 业 投 入 1000 万 元 设 备 ，每 天 能 淡 化 5000m 3 海 水 ，淡 化 率 为 70% ．每 淡 化 1m 3 海 水 所 需 的 费 用 为 1.5 元 ， 政 府 补 贴 0.3 元 ． 企 业 将 淡 化 水 以 3.2 元 /m 3 的 价 格 出 售 ， 每 年 还 需 各 项 支 出 40 万 元 ． 按 每 年 实 际 生 产 300 天 计 算 ， 该 企 业 至少几年后能收回成本（结果精确到个位）？ 3 ． 如 图 所 示 ， 在 桌 面 上 放 着 A 、 B 两 个 正 方 形 ， 共 遮 住 了 27cm 2 的 面 积 ， 若 这 两 个 正 方 形 重 叠 部 分 的 面 积 为 3cm 2 ，且 正 方 形 B 除 重 叠 部 分 外 的 面 积 是 正 方 形 A 除 重 叠 部 分 外 的 面 积 的 2倍 ， 则 正 方 形 A 的 面 积 是 ．
4 ． 如 图 ， 将 正 方 形 ABCD 的 一 角 折 叠 ， 折 痕 为 AE ， ∠ FAD 比 ∠ FAE 大 48 °，设 ∠ FAE 和 ∠ FAD 的 度 数 分 别 为 x °， y °，那 么 x ， y 所 适合的一个方程组是（ ）

5. 某 电 信 局 现 有 300 部 已 申 请 装 机 的 电 话 等 待 装 机 ． 假设每天新申请装机的电话 部数相同，该电信局每个电话装机小组每天装的电话部数也相同，那么安排 3 个 装 机 小 组 ，恰 好 30 天 可 将 需 要 装 机 的 电 话 全 部 装 完 ；如 果 安 排 5 个 装 机 小 组 ， 则 恰 好 10 天 可 将 需 要 装 机 的 电 话 全 部 装 完 ． 试 求 每 个 电 话 装 机 小 组 每 天 装 机 多 少部？每天有多少部新申请装机的电话？
6 ． 某 服 装 厂 现 有 A 种 布 料 70 米 ， B 种 布 料 52 米 ． 现 计 划 用 这 两 种 布 料 生 产 M 、 N 两 种 型 号 的 时 装 共 80 套 ，已 知 做 一 套 M 型 号 时 装 需 用 A 种 布 料 0.6 米 ，B 种 布 料 0.9 米 ；做 一 套 N 型 号 时 装 需 用 A 种 布 料 1.1 米 ， B 种 布 料 0.4 米 ．本 着 最 大 限 度 使 用 现 有 布 料 的 原 则 ，请 你 设 计 这 两 种 型 号 时 装 的 生 产 方 案（ 即 两 种 型 号 时 装分别计划生产的套数） ，有几种？请写出来．
7．如图，在 3×3 的方阵图中，填写了一些数和代数式（其中每个代数式都表示一个数） ， 使得每行的 3 个数、每列的 3 个数、斜对角的 3 个数之和均相等． （1）求 x，y 的值； （2）在备用图中完成此方阵图． 3 4 3 4 x -2 2y-x y c a b -2
8． 为 极 大 地 满 足 人 民 生 活 的 需 求 ， 丰 富 市 场 供 应 ， 我 区 农 村 温 棚 设 施 农 业 迅 速 发 展 ，温 棚 种 植 面 积 在 不 断 扩 大 ．在 耕 地 上 培 成 一 行 一 行 的 矩 形 土 埂 ，按 顺 序 间 隔 种 植 不 同 农 作 物 的 方 法 叫 分 垄 间 隔 套 种 ．科 学 研 究 表 明 ：在 塑 料 温 棚 中 分 垄 间

隔套种高、矮不同的蔬菜和水果（同一种紧挨在一起种植不超过两垄） ，可增加 它们的光合作用，提高单位面积的产量和经济效益． 现 有 一 个 种 植 总 面 积 为 540m 2 的 矩 形 塑 料 温 棚 ， 分 垄 间 隔 套 种 草 莓 和 西 红 柿 共 24 垄 ，种 植 的 草 莓 或 西 红 柿 单 种 农 作 物 的 总 垄 数 不 低 于 10 垄 ，又 不 超 过 14 垄（ 垄 数 为正整数） ，它们的占地面积、产量、利润分别如下： 占 地 面 积 （ m /垄 ） 西红柿 草莓 30 15
2
产 量 （ 千 克 /垄 ） 160 50
利 润 （ 元 /千 克 ） 1.1 1.6
（ 1） 若设草莓共种植了 x 垄， 通过计算说明共有几种种植方案？分别是哪几种？ （ 2） 在 这 几 种 种 植 方 案 中 ， 哪 种 方 案 获 得 的 利 润 最 大 ？ 最 大 利 润 是 多 少 ？
9. 在 有 16 支 球 队 参 赛 的 足 球 甲 级 联 赛 中 ， 每 两 支 球 队 之 间 一 个 赛 季 要 进 行 2 场 比 赛 ， 每 支 球 队 一 个 赛 季 要 踢 满 30 场 球 赛 ． 比 赛 规 则 规 定 ： 胜 一 场 得 3 分 ， 平 一场得 1 分，负一场得 0 分．赛季结束，积分排第 1 的获得冠军，?积分排第 15 和 第 16 名 的 球 队 降 级 （ 下 赛 季 参 加 乙 级 联 赛 ） ． 某 赛 季 第 27 轮 比 赛 结 束 时 ， 部 分 球 队 的 积 分 排 名 如 下 表 ． 各 队 末 赛 的 3 场 比 赛 中 ， A、 B、 C、 D 四 队 的 比 赛 全 部 在 这 四 个 队 之 间 进 行 ． （ 1 ） 第 27 轮 比 赛 结 束 时 ， 乙 队 负 了 7 场 ， 求 乙 队 此 时 胜 、 平 各 多 少 场 ？ （ 2） 第 27 轮 比 赛 结 束 时 ， 甲队的负场数比乙队多， 球队 积分 排名 则甲队的胜、平、负场数各是多少？ （ 3 ）若 最 后 3 场 比 赛 A 队 得 5 分 ，B 队 一 场 未 负 得 甲 队 42 1 3 分，则 A 队是否降级？为什么？ 乙队 40 2 ? A队 B队 C队 D队 ? 16 16 16 16 ? 13 13 13 13
10 ． 一 支 部 队 行 军 两 天 ， 共 进 行 78km ， 这 支 部 队 第 一 天 的 平 均 速 度 每 小 时 比 第

二 天 快 1.5km ，如 果 第 一 天 行 军 4 小 时 ，第 二 天 行 军 5 小 时 ，那 么 这 两 天 每 天 的 平均速度各是多少？ 11 ．某 饮 料 厂 有 甲 ，乙 两 条 饮 料 灌 装 生 产 线 ，根 据 市 场 需 求 ，计 划 平 均 每 天 灌 装 饮 料 700 箱 ． 如果两条生产线同时工作， 则完成一天的生产任务需要工作 7 小时； 如 果 两 条 生 产 线 同 时 工 作 2.5 小 时 后 ，再 由 乙 生 产 线 单 独 工 作 ，则 完 成 一 天 的 生 产 任 务 还 需 10 小 时 ． （ 1） 求 甲 、 乙 两 条 灌 装 生 产 线 每 小 时 各 灌 装 多 少 箱 饮 料 ？ （ 2 ） 已 知 甲 灌 装 生 产 线 工 作 1 小 时 的 成 本 费 用 为 550 元 ， 乙 灌 装 生 产 线 工 作 1 小 时 的 成 本 费 用 为 495 元 ， 如 果 每 天 用 于 灌 装 生 产 线 的 成 本 费 用 不 得 超 过 7370 元，那么甲灌装生产线每天至少工作多少小时？
12 ． 如 图 ， 在 大 长 方 形 ABCD 中 ， 放 入 六 个 相 同 的 小 长 方 形 ， 则 图 中 阴 影 部 分 面 积 （ 单 位 ： cm 2 ） 为 （ A ． 16 B ． 44 ） C ． 96 D ． 140
13 ． 根 据 如 图 所 给 信 息 ， 回 答 下 列 问 题 ： （ 1） 分 别 求 出 桌 子 和 椅 子 的 单 价 是 多 少 ？ （ 2 ）学 校 根 据 实 际 情 况 ，要 求 购 买 桌 椅 总 费 用 不 超 过 1000 元 ，并 且 购 买 桌 子 的
5 数量是椅子数量的 2 ，求该校本次购买桌子和椅子共有哪几种方案？
（ 3） 厂家为了搞促销活动， 推 出 凡 一 次 性 购 买 桌 子 和 椅 子 的 数 量 共 28 张 以 上 （含 28 张 ） ， 可 享 受 八 折 优 惠 ， 请 问 该 校 在 满 足 （ 2 ） 的 条 件 下 ， 最 多 能 购 买 多 少 张 桌子？多少张椅子？总费用是多少元？

14 ．有 一 个 两 位 数 ，个 位 上 的 数 字 与 十 位 上 的 数 字 之 和 为 6 ，把 个 位 上 的 数 字 与 十 位 上 的 数 字 调 换 位 置 后 ， 得 到 新 的 两 位 数 比 原 数 大 18 ， 原 来 的 两 位 数 是 ．
平面直角坐标系------数形结合思想的平台
一、数形结合思想的意义 数 学 研 究 的 对 象 ，是 现 实 世 界 中 的 数 量 关 系（ 简 称“ 数 ”） 和 空 间 形 式（ 简 称“ 形 ”） ，而“ 数 ” 和“ 形 ”是 相 互 联 系 、 相 互 渗 透 、相 互 转 化 的 ，正 如 著 名 数 学 家 华 罗 庚 所 说 ：“ 数 缺 形 时 少 直 观 ，形 少 数 时 难 入 微 ，数 形 结 合 百 般 好 ，隔 离 分 家 万 事 休 。”数 形 结 合 ，主 要 指 的 是 数 与 形 之 间 的 一 一 对 应 关 系 。数 形 结 合 思 想 方 法 就 是 把 抽 象 严 谨 的 数 学 语 言 、数 量 关 系 与 直 观 表 意 的 几 何 图 形 、位 置 关 系 结 合 起 来 ，通 过“ 以 形 助 数 ”，给 抽 象 的 问 题 以 形 象 化 的 原 型 ，从 而 给 人 们 以 形 象 思 维 的 启 示 ；反 过 来 ， “ 以 数 助 形 ”，则 对 直 观 问 题 以 数 理 推 证 和 精 确 刻 划 ， 从 而 起 到 把 握 数 学 本 质 的 目 的 。从“ 以 数 助 形 ”的 角 度 来 看“ 数 形 结 合 ”思 想 主 要 有 以 下 两 个 结 合 点 ：（ 1 ）利 用 数 轴 、平 面 直 角 坐 标 系 把 几 何 问 题 进 行 代 数 化 ； （ 2） 利 用 面 积 、 距 离 、 角 度 等 几 何 量 来 解 决 几 何 问 题 ， 例 如 ： 利 用 勾 股 定 理 证 明直角、利用线段比例证明相似等。 在 初 中 数 学 教 学 中 ，数 形 结 合 的 思 想 方 法 应 用 广 泛 ，常 见 的 有 判 断 有 理 数 大 小 的 关 系 、代 数 式 变 换 、解 方 程 及 解 不 等 式 、列 方 程 解 应 用 题 ，函 数 及 其 图 像 、平 面 几何问题、数据统计及简单的三角函数等方面。 二、有关论述 三、基础知识点 1. 平 面 直 角 坐 标 系 的 定 义 ； 2. 坐 标 平 面 内 点 的 坐 标 的 定 义 ； 3. 各 象 限 内 及 坐 标 轴 上 点 的 坐 标 的 特 征 ； 4. 一 三 （ 二 四 ） 象 限 角 平 分 线 上 的 坐 标 特 点 ； 5. 与 坐 标 轴 平 行 的 直 线 上 的 点 的 坐 标 的 特 征 ； 6. 一 维 、 二 维 坐 标 ； 7、 点 的 坐 标 与 点 到 坐 标 轴 的 距 离 之 间 的 关 系 ， 8、 坐 标 平 面 内 线 段 长 度 与 线 段 两 端 点 坐 标 之 间 的 关 系 ； 9、 面 积 割 补 法 ； 10 、 绝 对 值 的 性 质 ； 11 、 图 形 面 积 公 式 ； 12 、 平 移 的 性 质 ； 四、基本思想方法 1、 思 想 ： 数 形 结 合 思 想 、 分 类 讨 论 思 想 、 方 程 思 想 、 算 术 法 。 2、 方 法 ： 画 示 意 图 、 平 移 。 五、典型例题

例 1 、两 只 小 虫 A 、B 躺 在 数 轴 上 睡 大 觉 ，已 知 它 们 之 间 的 距 离 为 10 个 单 位 长 度 ， 其 中 小 虫 A 躺 在 数 +4 对 应 的 点 上 ， 小 虫 B 所 在 的 位 置 绝 对 值 大 于 6 ， 则 小 虫 B 所在的位置表示的数是。 例 2 、 如 图 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， A(2 ， 3) ， B （ 5 ， 3) ， C （ 2,5 ） 是 三 角 形 的 三 个 顶 点 ， 求 BC 的 长 。
例 3 ：小 明 每 天 早 上 要 在 7 ： 50 之 前 赶 到 距 家 1000 米 的 学 校 上 学 。小 明 以 80 米 /分 的 速 度 出 发 ， 5 分 后 ， 小 明 的 爸 爸 发 现 他 忘 了 带 语 文 书 。 于 是 ， 爸 爸 立 即 以 180 米 / 分 的 速 度 去 追 小 明 ， 并 且 在 途 中 追 他 。 （ 1） 爸 爸 追 上 小 明 用 了 多 长 时 间 ？ （ 2） 追 上 小 明 时 ， 距 离 学 校 还 有 多 远 ？ 列方程解应用题的难点是如何根据题意寻找等量关系列出方程，教学时要 突 破 这 一 难 点 ，往 往 就 要 根 据 题 意 画 出 相 应 的 示 意 图 ．这 里 隐 含 着 数 形 结 合 的 思 想 方 法 ，不 论 是 行 程 问 题 、追 击 问 题 ，还 是 工 程 问 题 、浓 度 问 题 等 ，只 有 依 据 题 意 画 出 相 应 的 示 意 图 ，才 能 帮 助 初 一 学 生 迅 速 找 出 等 量 关 系 列 出 方 程 ，从 而 突 破 难点。
例 4：有一十字路口，甲从路口出发向南直行，乙从路口以西 1500 米处向东直行，已知甲、 乙同时出发，10 分钟后两人第一次距十字路口的距离相等，40 分钟后两人再次距十字路口 距离相等，求甲、乙两人的速度。（注：数形结合）
六、典型题目（精选自菁优网七下期末考试题） 1． 如 图 ， 数 轴 上 A， B 两 点 表 示 的 数 分 别 是 1和 ，点 A 关于点 B 的对称点是 的坐
点 C， 则 点 C 所 表 示 的 数 是 ． 在 x 轴 上 ， 到 原 点 距 离 为

标． 2. （ 1 ）请 在 下 面 的 网 格 中 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 ，使 得 A ，B 两 点 的 坐 标 分 别 为（ 4 ， 1 ） ， （ 1 ， -2 ） ； （ 2 ） 在 （ 1 ） 的 条 件 下 ， 过 点 B 作 x 轴 的 垂 线 ， 垂 足 为 点 M ， 在 BM 的 延 长 线 上 截 取 MC=BM ． ①写出点 C 的坐标； ② 平 移 线 段 AB 使 点 A 移 动 到 点 C ， 画 出 平 移 后 的 线 段 CD ， 并 写 出 点 D 的 坐 标 ． （注：本题训练坐标平面内点的坐标与线段长度的关系，请尝试总结出公式)
3 ． 已 知 直 角 坐 标 平 面 内 两 点 A （ -2 ， -3 ） 、 B （ 3 ， -3 ） ， 将 点 B 向 上 平 移 5 个 单 位 到 达 点 C， 求 ： （ 1） A、 B 两 点 间 的 距 离 ； （ 2） 写 出 点 C 的 坐 标 ； （ 3 ） 四 边 形 OABC 的 面 积 ．
4 ．在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ，四 边 形 ABCD 的 顶 点 坐 标 分 别 为 A（ 1 ，0 ），B（ 5 ，0 ）， C （ 3 ， 3 ） ， D （ 2 ， 4 ） ， 求 四 边 形 ABCD 的 面 积

5 ． 计 算 图 中 四 边 形 ABOD 的 面 积 ．
6 ． 已 知 点 A （ -4 ， -1 ） ， B （ 2 ， -1 ） （ 1 ）在 y 轴 上 找 一 点 C ，使 之 满 足 S △ A B C =12 ．求 点 C 的 坐 标（ 写 必 要 的 步 骤 ）； （ 2 ）在 直 角 坐 标 系 中 找 一 点 C ，能 满 足 S △ A B C =12 的 点 C 有 多 少 个 ？ 这 些 点 有 什 么特征？
7． 如 图 ， 每 个 小 正 方 形 的 边 长 为 单 位 长 度 1． （ 1 ） 写 出 多 边 形 ABCDEF 各 个 顶 点 A 、 B 、 C 、 D 、 E 、 F 的 坐 标 ， 说 出 各 点 到 两 坐 标轴的距离；并总结坐标平面内的点到坐标轴距离公式。 （ 2） 点 C 与 E 的 坐 标 什 么 关 系 ？ （ 3 ） 直 线 CE 与 两 坐 标 轴 有 怎 样 的 位 置 关 系 ？ （ 4） 你 能 求 出 图 中 哪 些 线 段 的 长 度 ？ （ 总 结 公 式 ） 哪 些 图 形 的 面 积 ？

8 ． 如 图 ， 在 △ ABC 中 ， 已 知 点 A （ 0 ， 3 ） ， B （ -2 ， -3 ） ， C （ 3 ， -5 ） ． （ 1 ） 在 给 出 的 平 面 直 角 坐 标 系 中 画 出 △ ABC ； （ 2 ） 将 △ ABC 向 左 平 移 4 个 单 位 ， 作 出 平 移 后 的 △ A ′ B ′ C ′ ； （ 3） 点 B′ 到 x、 y 轴 的 距 离 分 别 是 多 少 ？
9 ． 如 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， O 为 坐 标 原 点 ， 已 知 点 A （ 0 ， a ） ， B（ b ， b ） ， C （ c ， a ） ， 其 中 a ， b 满 足 关 系 式 |a-4|+ （ b-2 ） 2 =0 ， c=a+b ． （ 1） 求 A、 B、 C 三 点 的 坐 标 ， 并 在 坐 标 系 中 描 出 各 点 ； （ 2 ） 在 坐 标 轴 上 是 否 存 在 点 Q ， 使 △ COQ 得 面 积 与 △ ABC 的 面 积 相 等 ？ 若 存 在 ， 求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由； （ 3 ） 如 果 在 第 四 象 限 内 有 一 点 P （ 2 ， m ） ， 请 用 含 m 的 代 数 式 表 示 四 边 形 BCPO 的面积．

10 ． 如 图 所 示 ， 长 方 形 ABCD 在 坐 标 平 面 内 ， 点 A 的 坐 标 是 A （ AB 、 CD 与 x 轴 平 行 ， 边 AD ， BC 与 y 轴 平 行 ， AB=4 ， AD=2 ． （ 1） 求 B、 C、 D 三 点 的 坐 标 ； （ 2） 怎 样 平 移 ， 才 能 使 A 点 与 原 点 重 合 ？
， 1） ， 且 边
11 ． 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 若 点 M （ 1 ， 3 ） 与 点 N （ x ， 3 ） 之 间 的 距 离 是 5 ， 则 x 的值是． 11 ． 如 图 ， △ OAB 的 顶 点 B 的 坐 标 为 （ 4 ， 0 ） ， 把 △ OAB 沿 x 轴 向 右 平 移 得 到 △ CDE ． 如 果 CB=1 ， 那 么 OE 的 长 为 ．
12. 如 图 ， A 、 B 两 点 同 时 从 原 点 O 出 发 ，点 A 以 每 秒 x 个 单 位 长 度 沿 x 轴 的 负 方 向运动，点 B 以每秒 y 个单位长度沿 y 轴的正方向运动． （ 1 ） 若 |x+2y-5|+|2x-y|=0 ， 试 分 别 求 出 1 秒 钟 后 A 、 B 两 点 的 坐 标 ；

（ 2 ） 设 ∠ BAO 的 邻 补 角 和 ∠ ABO 的 邻 补 角 的 平 分 线 相 交 于 点 P ， 问 ： 点 A、 B 在 运 动 的 过 程 中 ， ∠ P 的 大 小 是 否 会 发 生 变 化 ？ 若 不 发 生 变 化 ， 请 求出其值；若发生变化，请说明理由；
（ 3 ） 如 图 ， 延 长 BA 至 E ， 在 ∠ ABO 的 内 部 作 射 线 BF 交 x 轴 于 点 C ， 若 ∠ EAC 、 ∠ FCA 、∠ ABC 的 平 分 线 相 交 于 点 G ，过 点 G 作 BE 的 垂 线 ，垂 足 为 H ， 试 问 ∠ AGH 和 ∠ BGC 的 大 小 关 系 如 何 ？ 请 写 出 你 的 结 论 并 说 明 理 由 ．
13 ．如 图 ，是 用 四 张 相 同 的 长 方 形 纸 片 拼 成 的 图 形 ，请 利 用 图 中 空 白 部 分 的 面 积 的 不 同 表 示 方 法 ， 写 出 一 个 关 于 a、 b 的 恒 等 式 ．
14 ． 已 知 关 于 x 的 不 等 式 组
3x+m＜ 0
x＞ ?5 的 所 有 整 数 解 的 和 为 -9 ， 求 m 的 取 值 范 围 ．

15 ．小 明 和 小 斌 到 郊 外 旅 游 ，小 明 骑 自 行 车 ，小 斌 骑 电 动 车 ，同 时 出 发 沿 相 同 路
线前往 ． 如 图 ， l1， l2 分 别 表 示 小 明 和 小 斌 前 往 目的地所走的路程 S 与所用的时间 t 的关系． （ 1） 他 们 中 谁 先 到 目 的 地 ？ 早 到 多 少 时 间 ？ （ 2） 小 明 和 小 斌 的 速 度 分 别 是 多 少 ？ （ 3） 当 他 们 中 第 一 人 到 达 目 的 地 时 ， 另 一 人 还 差 几 千 米 到 达 目 的 地 ？
16 ．“ 龟 兔 赛 跑 ”：龟 跑 得 慢 ，但 坚 持 不 懈 ；而 兔 跑 得 快 ，看 不 起 龟 ，中 途 睡 觉 ， 醒 来 龟 已 到 终 点 ．下 列 哪 个 图 象 能 大 致 表 示“ 龟 兔 赛 跑 ”中 路 程 s 与 时 间 t 的 关 系（ ）
A．
B．
C．
D．
17 ． 如图， 是一辆汽车的速度随时间变化的图象， 请你根据图象提供的信息填空： （ 1） 汽 车 在 整 个 行 驶 过 程 中 ， 最 高 速 度 是 千 米 /时 ； （ 2） 汽 车 第 二 次 减 速 行 驶 的 “ 时 间 段 ” 是 ；

（ 3 ） 汽 车 出 发 后 ， 8 分 钟 到 10 分 钟 之 间 的 运 动 情 况 如 何 ？ ．
18 ．某 人 骑 自 行 车 沿 直 线 旅 行 ，先 前 进 了 akm ，休 息 了 一 段 时 间 后 又 按 原 路 返 回 bkm （ b ＜ a ） ， 再 前 进 ckm ， 则 此 人 离 出 发 点 的 距 离 s 与 时 间 t 的 关 系 示 意 图 是 （ ）
A．
B．
C．
D．
19 ．如 图 1 ，在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ，四 边 形 OBCD 各 个 顶 点 的 坐 标 分 别 是 O （ 0 ，0 ）， B （ 2 ， 6 ） ， C （ 8 ， 9 ） ， D （ 10 ， 0 ） ； （ 1 ） 三 角 形 BCD 的 面 积 = （ 2 ） 将 点 C 平 移 ， 平 移 后 的 坐 标 为 C ′ （ 2 ， 8+m ） ； ① 若 S △ B D C ′ =32 ， 求 m 的 值 ； ② 当 C ′ 在 第 四 象 限 时 ，作 ∠ C ′ OD 的 平 分 线 OM ， OM 交 于 C ′ C 于 M ，作 ∠ C ′ CD 的 平 分 线 CN ， CN 交 OD 于 N ， OM 与 CN 相 交 于 点 P （ 如 图 2 ） ， 求 ∠P ∠ OC ′ C + ∠ ODC 的值．

折叠与平移
一、基础知识 1、 本 质 折叠与平移都是图形与变换的内容。其中有些折叠是将要学习的轴对称 的 一 部 分 ，平 移 是 全 等 变 换 的 一 部 分 。它 们 在 培 养 学 生 的 动 手 能 力 、空 间 想 象 能 力方面有较大的作用。 2、 折 叠 的 性 质 ； 3、 平 移 的 定 义 ； 4、 平 移 的 性 质 ； 5、 坐 标 平 面 内 平 移 与 坐 标 的 关 系 。 1 、如 图 a ， ABCD 是 长 方 形 纸 带 ，∠ DEF=23 °，将 纸 带 沿 EF 折 叠 成 图 b ，再 沿 BF 折 叠 成 图 c ， 则 图 c 中 的 ∠ CFE 的 度 数 是 ．
2 ．如 图 ，将 边 长 为 5 个 单 位 的 等 边 △ ABC 沿 边 BC 向 右 平 移 4 个 单 位 得 到 △ A ′ B ′ C ′ ， 则 四 边 形 AA ′ C ′ B 的 周 长 为 （ A ． 22 B ． 23 ） C ． 24 D ． 25
3 ． 如 图 ， 在 四 边 形 纸 片 ABCD 中 ， AD ∥ BC ， AB ∥ CD ， 将 纸 片 折 叠 ， 点 A 、 D 分 别 落 在 A ′ 、D ′ 处 ，且 A ′ D ′ 经 过 点 B ，EF 为 折 痕 ，若 ∠ D ′ FC=86 °时 ，∠ A ′ EB= （ ） B ． 74 ° C ． 86 ° D ． 146 °
A ． 120 °
4 ．如 图 ，在 长 方 形 草 地 内 修 建了宽为 2 米的道路，则草地面积为（ ）

A ． 140 米 2
B ． 144 米 2
C ． 148 米 2
5 ．如 图 ：将 四 边 形 ABCD 进 行 平 移 后 ，使 点 A 的 对 应 点 为 点 A ′ ，请 你 画 出 平 移 后 所 得 的 四 边 形 A′ B′ C′ D′ （ 画 图 工 具 不 限 ） ．
练 习 ．在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ，平 行 四 边 形 ABCD 的 顶 点 A ，B ，D 的 坐 标 分 别 是（ 0 ， 0） ， （ 5， 0） ， （ 2， 3） ， 则 顶 点 C 的 坐 标 是 （ A． （ 3， 7） B． （ 5， 3） ） D． （ 8， 2） C． （ 7， 3）
6. 如 图 ，在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， ABOC 是 平 行 四 边 形 ．已 知 A 、 B 两 点 的 坐 标 分 别 为 A（ ， ） ， B （ -2 ,0 ）
（ 1） 求 C 点 的 坐 标 ； （ 2） 将 平 行 四 边 形 向 右 平 移 个单位长度，再向下平移 个单位长度，所
得四边形 的四个顶点的坐标是多少？并画出大致位置． （ 3 ） 求 平 行 四 边 形 ABOC 的 面 积 ．
7 ．如 图 ，将 △ ABC 沿 CB 边 向 右 平 移 得 到 △ DFE ，DE 交 AB 于 点 G ．已 知 ∠ A ：∠ C ： ∠ ABC=1 ： 2 ： 3 ， AB=9cm ， BF=5cm ， AG=5cm ， 则 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 为 cm 2 ．

8． 如 图 所 示 ， 甲 、 乙 是 两 张 画 有 图 形 的 透 明 胶 片 ， 把 其 中 一 张 向 右 平 移 到 另 一 张上，形成的图形是（ ）
A．
B．
C．
9 ．如 图 是 一 张 长 方 形 纸 片 ABCD ，小 明 想 通 过 折 叠 这 个 长 方 形 纸 片 使 顶 点 C 落 在 边 AD 上 ， 他 想 通 过 探 究 的 方 法 找 到 折 痕 BF ， 再 通 过 实 践 操 作 沿 探 究 得 到 的 BF 折 叠 ， 看 顶 点 C 是 否 能 落 在 AD 上 ？ 他 手 边 的 工 具 有 圆 规 ， 刻 度 尺 和 量 角 器 ． 你 能替他设计一种方案吗？写出你的设计方案．
归纳与猜想
一、题型 1、 规 律 探 索 题 2、 新 定 义 题 3、 程 序 设 计 题 4、 阅 读 理 解 型 试 题 5、 操 作 性 试 题 二、典型试题 1． 一 个 自 然 数 的 立 方 ， 可 以 分 裂 成 若 干 个 连 续 奇 数 的 和 ． 例 如 ： 23， 33和 43分 别 可 以 按 如 图 所 示 的 方 式 “ 分 裂 ” 成 2 个 、 3 个 和 4 个 连 续 奇 数 的 和 ， 即 2 3 =3+5 ； 3 3 =7+9+11 ； 4 3 =13+15+17+19 ； ? ； 若 6 3 也 按 照 此 规 律 来 进 行 “ 分 裂 ” ， 则 63“ 分 裂 ” 出 的 奇 数 中 ， 最 大 的 奇 数 是 ．