初中数学思想方法

初中数学思想方法

1、数形结合思想

“数”和“形”是数学教学中既有区别又有联系的两个对象。数形结合思想是将抽象的数量关系与直观的图形结合起来，通过“形”来直观地表达“数”，或是通过“数”来精确地确定“形”。在数学教学中，突出数形结合思想，将抽象的数量关系形象化，具有直观性强、易理解、易接受；将直观图形数量化，转化成数学运算，常会降低难度，并对知识的理解更加深刻明了，有利于学生从不同的侧面加深对问题的认识和理解，提供解决问题的方法，也有利于培养学生将实际问题转化为数学问题的能力。

能运用代数、三角比知识通过数量关系的讨论去处理几何图形的问题；能运用几何、三角比知识通过对图形性质的研究去解决数量关系的问题。能将抽象的数学语言与直观的图形符号结合起来，把抽象思维与形象思维结合起来；会用代数的方法去研究几何问题，会根据图形的性质及几何知识去处理代数问题。

①已知二次函数c bx ax y ++=2

的图象如图所示，则

0___42,0____,0___,0___ac b c b a - ②如果关于x 的方程05322=++m x x 有且只有一个大于1的实数根，求m 的

取值范围。 ③二次函数c bx ax y ++=2如图

（1）试确定c 的符号及a 、b 、ac b 42-的符号 （2）试确定a+b+c 、a-b+c 的符号

2、转化（化归）思想

“转化”的思想是一种最基本的数学思想。数学解题过程的实质就是转化过程，具体的说，就是把“新知识”转化为“旧知识”，把“未知”转化为“已知”，把“抽象”转化为“具体”，把“复杂问题”转化为“简单问题”，把“高次”转化为“低次”，在不断的相互转化中使问题得到解决。

可运用联想类比实现转化、利用“换元”、“添线”、消元法，配方法，进行构造变形实现转化、数形结合，实现转化。一般转化为特殊，有些代数问题，通过构造图形，化抽象为具体，借助直观启发思维，转化为易解的几何问题。有些不易解决的几何题通过辅助线转化为代数三角的知识来证明，有些结构比较复杂的问题，可以简化题中某一条件，甚至暂时撇开不顾，先考虑一个简化的问题，这种简化题对于证明原题常常能起到引路的作用。把实际问题转化为数学问题。结合解题进行化归思想方法的训练的做法：a 、化繁为简；b 、化高维为低维；c 、化抽象为具体；d 、化非规范性问题为规范性问题；e 、化数为形；f 、化实际问题为数学问题；g 、化综合为单一；h 、化一般为特殊，有加减法的转化，乘除法的转化，乘方与开方的转化，添辅助线，设辅助元等等都是实现转化的具体手段。因此，首先要认识到常用的很多数学方法实质就是转化的方法

①数轴上的点与实数的一一对应的关系。②平面上的点与有序实数对的一一对应的关系。③函数式与图像之间的关系。④线段（角）的和、差、倍、分等问题，充分利用数来反映形。 ⑤解三角形，求角度和边长，引入了三角函数，这是用代数方法解决何问题。⑥“圆”这一章中，贺的定义，点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系等都是化为数量关系来处理的。⑦统计初步中统计的第二种方法是绘制统计图表，用这些图表的反映数据的分情况，发展趋势

等。实际上就是通过“形”来反映数据扮布情况，发展趋势等。实际上就是通过“形”来反映数的特征，这是数形结合思想在实际中的直接应用。

①若a ＜b ＜0，则下列结论中正确的是（ ）

（A ）a ＋b ＜－a ＋b ＜a －b ＜－a －b

（B ）a ＋b ＜a －b ＜－a ＋b ＜－a －b

（C ）－a －b ＜a －b ＜－a ＋b ＜a ＋b

（D ）－a －b ＜a ＋b ＜－a ＋b ＜a －b

②已知O 是△ABC 的内心，OD ⊥BC 于D ，且AB ·AC ＝2BD ·DC 。求证：∠A ＝90°。 ③解方程：23x x +=

④已知在平面直角坐标系内，O 为坐标原点，A 、B 是x 轴正半袖上的两点，点A 在点B 的左

侧，如图。二次函数

2(0)y ax bx c a =++≠的图象经过点A 、B ，与y 轴相交于点C 。

(1)a 、c 的符号之间有何关系?

(2)如果线段OC 的长度是线段OA 、OB 长度的比例中项，试证a 、c 互为倒数；

(3)在(2)的条件下，如果b=－4，AB=34求a 、c 的值。

3、分类讨论思想

分类讨论思想是指对一个问题出现的情况进行全面分析思考，将其区分为不同种类，克服思维的片面性，防止漏解。即根据题目的要求，将条件分为不重复、不遗漏的几种情况，并逐一列出它们的解答。从整体上看，中学数学分代数、几何两大类，然后采用不同方法进行研究，就是分类思想的体现，从具体内容上看，初中数学中实数的分类、三角形的分类、方程的分类等等，学生要按不同的情况去对同一对象进行分类，掌握好分类的方法原则，形成分类的思想。

当面临的问题不宜用一种方法处理或同一种形式叙述时，就把问题按照一定的原则或标准分为若干类，然后逐类进行讨论，再把这几类的结论汇总，得出问题的答案，这种解决问题的思想方法就是分类讨论的思想方法。

分类讨论的思想方法的实质是把问题“分而治之，各个击破”。其一般规则及步骤是：

（1）确定同一分类标准；（2）恰当地对全体对象进行分类，按照标准对分类做到“既不重复又不遗漏”；（3）逐类讨论，按一定的层次讨论，逐级进行；（4）综合概括小节，归纳得出结论。

1．解关于x 的方程0)2(222=++-+x x k x x

2．已知关于x 的方程x2-(k+2)x+2k=0。

（1） 求证：无论k 取何实数值，方程总有实数根；

（2） 若等腰△ABC 的一边长a=1,另两边长b, c 恰好是这个方程的两个根，求△ABC 的周

长。

3．已知AB 为⊙O 的直径，D 为直径AB 上一动点（D 不与点A, B 重合），过D 作CD ⊥AB 交⊙O 于C ，过C 作⊙O 的切线PC ，交⊙O 的切线AM 于P ，连PB 交CD 于E 。

（1） 请根据D 点的不同位置画出符合题意的图形；

（2） 猜想CE 与DE 的数量关系，并就D 点的某一位置证明你的结论；

如果⊙O 的半径为1，设点D 与圆心O 的距离为m ，试求PC 的长（可用m 的代数式表示）。

4、方程思想

分析问题中的数量关系,寻找已知量与未知量之间的相等关系。通过适当设元, 利用已