第二章第4节

机——电——液
电-----机------------液 机 液
电感----质量 电感 质量-----------------流感 质量 流感 电阻----粘性阻尼系数 电阻 粘性阻尼系数-----流阻 粘性阻尼系数 流阻 电容----弹簧刚度 电容 弹簧刚度-----------流容 弹簧刚度 流容
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显然将图(a)与图 中的阻性元件除去不会影响微分方 显然将图 与图(b)中的阻性元件除去不会影响微分方 与图 程的阶数。但是采用此方法辨别系统微分方程阶数时， 程的阶数。但是采用此方法辨别系统微分方程阶数时，一 定要注意每一弹性元件、每一惯性元件是否是独立的。 定要注意每一弹性元件、每一惯性元件是否是独立的。例 如将(a)图系统的阻性元件除去， 如将 图系统的阻性元件除去，则两个弹簧实质上只起一 图系统的阻性元件除去 个弹簧的作用，因此系统由三阶降为二阶。 个弹簧的作用，因此系统由三阶降为二阶。 y(t) k1 k2 (a)
惯性或感性储能元件 耗能元件 储能元件
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每当系统中增加一个储能元件时，其内部就 增加一层能量的交换，即增多一层信息的交换， 增加一层能量的交换，即增多一层信息的交换，一 般讲来系统的微分方程将增高一阶。 般讲来系统的微分方程将增高一阶。 表中， ①如P59表中，第一、二栏的系统都 只有一个容 表中 第一、 (弹)性元件，所以系统是一阶的，而第三栏的系统 弹 性元件 所以系统是一阶的， 性元件， 有两个容(弹 性元件 所以系统是二阶的。 性元件， 有两个容 弹)性元件，所以系统是二阶的。 表中第四栏的系统， ② P59表中第四栏的系统，它们虽各有两个容 弹) 表中第四栏的系统 它们虽各有两个容(弹 性元件，但独立的却各只有一个， 性元件，但独立的却各只有一个，所以还是一阶 的。
m − −L
(a) (b)
k ωn = m c ζ = 2 km
2
1 ω = LC R ζ = 2 L
2 n
k − −1 / C c − −R
C
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显然，这两个系统为相似系统。这种相似称为力 显然，这两个系统为相似系统。这种相似称为力—— 电压相似。 电压相似。 对于液压系统，当考虑了流体的惯性、 对于液压系统，当考虑了流体的惯性、流体所受阻力 及流体与系统的弹性， 流感、流阻、 及流体与系统的弹性，并定义出流感、流阻、流容等 物理量后，就可得到与质量、粘性阻尼系数、 物理量后，就可得到与质量、粘性阻尼系数、弹簧刚度或 与电感、电阻及电容相似的液压系统的特征物理量。 与电感、电阻及电容相似的液压系统的特征物理量。
2.5
相似原理
从以上对系统的传递函数的研究中可知， 从以上对系统的传递函数的研究中可知，对于不 同的物理系统(环节 可用形式相同的微分方程与传递函 同的物理系统 环节)可用形式相同的微分方程与传递函 环节 数来描述，即可以用形式相同的数学模型来描述。 数来描述，即可以用形式相同的数学模型来描述。例 如对于一阶惯性环节，第2.2节就列举了机电等方面的 如对于一阶惯性环节， 节就列举了机电等方面的 例子。 例子。一般称能用形式相同的数学模型来描述的物理 系统(环节 为相似系统环节 系统 环节)为相似系统环节，称在微分方程或传递函数 环节 为相似系统环节， 中占相同位置的物理量为相似量。所以这里讲的“ 中占相同位置的物理量为相似量。所以这里讲的“相 而言的。 似”，只是就数学形式而不是就物理实质而言的。
电-----机------------液 机 液
电感----质量 电感 质量-----------------流感 质量 流感 电阻----粘性阻尼系数 电阻 粘性阻尼系数-----流阻 粘性阻尼系数 流阻 电容----弹簧刚度 电容 弹簧刚度-----------流容 弹簧刚度 流容
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R 、 L 、 C串联电路 串联电路
( LCs 2 + RCs + 1) X o ( s ) = X i ( s )
X o ( s) ωn G( s) = = 2 X i ( s ) s + 2ζω n s + ω n 2
2
1 = LC R ζ = 2 L
2 ωn
C
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由于相似系统(环节 的数学模型在形式上相同 因此， 由于相似系统 环节)的数学模型在形式上相同。因此， 环节 的数学模型在形式上相同。 可以用相同的数学方法对相似系统加以研究； 可以用相同的数学方法对相似系统加以研究；可以通过一 种物理系统去研究另一种相似的物理系统。 种物理系统去研究另一种相似的物理系统。特别是现代电 环节)的 气、电子技术的发展，为采用相似原理对不同系统(环节 的 电子技术的发展，为采用相似原理对不同系统 环节 研究提供了良好条件。 研究提供了良好条件。在专用模拟机或通用模拟机上可以 采用相似的电网络代替所要研究的系统(环节 采用相似的电网络代替所要研究的系统 环节) ，来进行电 环节 模拟的计算与研究；在数字计算机上， 模拟的计算与研究；在数字计算机上，采用数字仿真技术 进行研究，其效果是良好的，应大力加以发展。 进行研究，其效果是良好的，应大力加以发展。 在机械工程中，常常使用机械、电气、 在机械工程中，常常使用机械、电气、液压系统或它们 的联合系统，下面就它们的相似性作一些讨论。 的联合系统，下面就它们的相似性作一些讨论。
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惯性或感性储能元件 耗能元件 储能元件
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最后应指出， 机械、电气、液压系统中， 最后应指出，在机械、电气、液压系统中， 系统中 阻尼、电阻、流阻都是耗能元件； 质量、 阻尼、电阻、流阻都是耗能元件；而质量、电感 、 弹簧、电容、流容都是储能元件 都是储能元件， 流感 与弹簧、电容、流容都是储能元件，前三者 可称为惯性或感性储能元件 后三者可称为弹性或 惯性或感性储能元件， 可称为惯性或感性储能元件，后三者可称为弹性或 容性储能元件。 容性储能元件。
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例如： 例如：图示系统
y(t) k1 k2 (a) k1 c1 k2 y(t) f(t) c f(t) 图(a)三阶微分方程表示 三阶微分方程表示 图(b)四阶微分方程表示 四阶微分方程表示
m
m1
(b)
c2
m2
不是绝 对的！！ 对的！！
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c
m
f(t)
实际中的机械、电气、 实际中的机械、电气、液压系统或它们混和的系统是 复杂的， 复杂的，往往不能凭表面上的储能元件的个数来决定系统 微分方程的阶数，然而本段所讲的概念是十分有意义的， 微分方程的阶数，然而本段所讲的概念是十分有意义的， 也是有助于列写系统微分方程的。 也是有助于列写系统微分方程的。
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例：
R
1 G( s) = 1 + Ts K
C
xiห้องสมุดไป่ตู้t)
ui(t) i
(a)
uo(t)
(b)
c
xo(t)
duo (t ) (t RC + uo ( t ) = ui ( t ) dt
Uo ( s) 1 G( s) = = U i ( s ) 1 + RCs
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d 2 y( t ) dy( t ) R m +c + Ky( t ) = F ( t ) L dt dt 2
d 2 x o (t ) dxo (t ) 1 1 L t = +R + xo (xi)(t) xi(t)) i (t 2 dt C C dt
C
xo(t)
R 、 L 、 C串联电路 串联电路
(cs + K ) X o ( s ) = KX i ( s )
X o ( s) K 1 G( s) = = = X i ( s ) cs + K 1 + (c / K )s
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1/C − −K R − −第 3 页/13 c
R
L C
xi(t)
i(t)
xo(t)
R 、 L 、 C串联电路 串联电路
di ( t ) Ri ( t ) + L + x o (t ) = x i (t ) dt
1 xo (t ) = ∫ i ( t )dt C
R
L C
xi(t)
i(t)
xo(t)
d 2 x o (t ) dxo (t ) LC + RC + x o ( t ) = x i (t ) 2 dt dt
1 K ⋅ Y ( s) 1 K m G( s) = = = F ( s ) ms 2 + cs + K s 2 + c s + K m m 令：ω n
2
k c = ,ζ = m 2 km
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则
A0ω n 2 Y ( s) G( s) = = 5 ( s) 第 F 页/13 s 2 + 2ζω s 机电汽车工程学院 + ω n2 n
(a)
(b)
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dy( t ) d 2 y( t ) F (t ) − C − Ky ( t ) = m dt dt 2 m d 2 y( t ) dt 2 dy( t ) +C + Ky ( t ) = F ( t ) dt
( ms 2 + cs + K )Y ( s ) = F ( s )