概率论课后习题解答

习题1解答

1. 写出下列随机试验的样本空间Ω：

（1）记录一个班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）；

（2）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数；

（3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记为“正品”，不合格的记为“次品”，如连续查出了2件次品就停止检查，或检查了4件产品就停止检查，记录检查的结果；

（4）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标.

解：（1）以n 表示该班的学生人数，总成绩的可能取值为0，1，2，…，100n ，所以该试验的样本空间为

{|0,1,2,,100}i i n n

Ω==L . （2）设在生产第10件正品前共生产了k 件不合格品，样本空间为

{10|0,1,2,}k k Ω=+=L ，

或写成{10,11,12,}.Ω=L

（3）采用0表示检查到一个次品，以1表示检查到一个正品，例如0110表示第一次与第四次检查到次品，而第二次与第三次检查到的是正品，样本空间可表示为

{00,100,0100,0101,0110,1100,1010,1011,0111,1101,1110,1111}Ω=.

（3）取直角坐标系，则有22

{(,)|1}x y x y Ω=+<，若取极坐标系，则有 {(,)|01,02π}ρθρθΩ=≤<≤<.

2．设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 及其运算关系表示下列事件.

(1) A 发生而B 与C 不发生；

(2) A 、B 、C 中恰好发生一个；

(3) A 、B 、C 中至少有一个发生；

(4) A 、B 、C 中恰好有两个发生；

(5) A 、B 、C 中至少有两个发生；

(6) A 、B 、C 中有不多于一个事件发生.

解：(1)ABC 或A B C --或()A B C -U ； (2)ABC ABC ABC U U ；

(3)A B C U U 或ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC U U U U U U ；(4)ABC

ABC ABC U U .

(5)AB AC BC U U 或ABC ABC ABC ABC U U U ； (6)ABC

ABC ABC ABC U U U . 3．设样本空间{|02}x x Ω=≤≤，事件{|0.51}A x x =≤≤，{|0.8 1.6}B x x =<≤，具体写出下列事件：

(1)AB ；（2）A B -；（3）A B -；（4）A B U .

解：（1）{|0.81}AB x x =<≤；

（2）{|0.50.8}A B x x -=≤≤；

（3）{|00.50.82}A B x x x -=≤<<≤或；

（4）{|00.5 1.62}A B x x x =≤<<≤U 或.

4. 一个样本空间有三个样本点， 其对应的概率分别为2

2,,41p p p -， 求p 的值. 解：由于样本空间所有的样本点构成一个必然事件，所以 2241 1.p p p ++-=

解之得1233p p =-=-，又因为一个事件的概率总是大于0，所以

3p =-5. 已知()P A =0.3，()P B =0.5，()P A B U =0.8，求(1)()P AB ；(2)()P A B -； (3)()P AB .

解：(1)由()()()()P A B P A P B P AB =+-U 得

()()()()030.50.80P AB P A P B P A B =+-=+-=U .

(2) ()()()0.300.3P A B P A P AB -=-=-=. (3) ()1()1()10.80.2.P AB P AB P A B =-=-=-=U

6. 设()P AB =()P AB ，且()P A p =，求()P B .

解：由()P AB =()1()1()1()()()P AB P AB P A B P A P B P AB =-=-=--+U 得 ()()1P A P B +=，从而()1.P B p =-

7. 设3个事件A 、B 、C ，()0.4P A =，()0.5P B =，()0.6P C =，()0.2P AC =，()P BC =0.4且AB =Φ，求()P A B C U U .

解：

()

()()()()()()()

0.40.50.600.20.40

0.9.P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+=++---+=U U

8. 将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率. 解：依题意可知，基本事件总数为3

4个.

以,1,2,3i A i =表示事件“杯子中球的最大个数为i ”，则1A 表示每个杯子最多放一个球，共有34A 种方法，故

34136().416A P A == 2A 表示3个球中任取2个放入4个杯子中的任一个中，其余一个放入其余3个杯子中，放法总数为211

343C C C 种，故

211343239().416

C C C P A == 3A 表示3个球放入同一个杯子中，共有14C 种放法，故 14331().416

C P A ==

9. 在整数0至9中任取4个，能排成一个四位偶数的概率是多少?

解：从0至9 中任取4个数进行排列共有10×9×8×7种排法.其中有(4×9×8×7－4×8×7＋9×8×7)种能成4位偶数. 故所求概率为

4987487987411098790

P ⨯⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯==⨯⨯⨯. 10. 一部五卷的文集，按任意次序放到书架上去，试求下列事件的概率：(1)第一卷出现在旁边；(2)第一卷及第五卷出现在旁边；(3)第一卷或第五卷出现在旁边；(4)第一卷及第五卷都不出现在旁边；(5)第三卷正好在正中.

解：(1)第一卷出现在旁边，可能出现在左边或右边，剩下四卷可在剩下四个位置上任意排，所以5/2!5/!42=⨯=p .

(2)可能有第一卷出现在左边而第五卷出现右边，或者第一卷出现在右边而第五卷出现在左边，剩下三卷可在中间三人上位置上任意排，所以 10/1!5/!32=⨯=p .

(3)p P ={第一卷出现在旁边}+P{第五卷出现旁边}-P{第一卷及第五卷出现在旁边}2217551010

=+-=. (4)这里事件是(3)中事件的对立事件，所以 10/310/71=-=P .

(5)第三卷居中，其余四卷在剩下四个位置上可任意排，所以5/1!5/!41=⨯=P .

11. 把2，3，4，5诸数各写在一张小纸片上，任取其三而排成自左向右的次序，求所得数是偶数的概率.

解：末位数可能是2或4.当末位数是2(或4)时，前两位数字从剩下三个数字中选排，

所以 23342/1/2P A A =⨯=.

12. 一幢10层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上7位乘客.电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率.

解：每位乘客可在除底层外的9层中任意一层离开电梯，现有7位乘客，所以样本点总数为7

9.事件A “没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于“从9层中任取7层，各

有一位乘客离开电梯”.所以包含7

9A 个样本点，于是7799)(A A P =. 13. 某人午觉醒来,发觉表停了, 他打开收音机,想听电台报时, 设电台每正点是报时一