6.0数值分析方法
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如右图所示，一级荷载的迭代过 程。其不足之处是当非线性斜率 较小，尤其接近理想塑性情况时， 收敛速率很慢甚至不收敛。
有限元法求解岩石力学问题的步骤
1.确定计算模型 根据对称性、材料性质和关心部位的边界尺寸等确定计 算模型。 如对于一圆拱形隧道，若其受力、几何形状及材料性质 均对称于y轴，则可取其1/2作为研究对象，而外边界可根 据隧道的跨度和高度确定。通常外边界左右取跨度的3~5 倍，上下取高度的3~5倍。在所取范围之外可认为不受开 挖等施工因素的影响，即在这些边界处可忽略开挖等施 工所引起的应力和位移。同时，保证模型不出现刚体位 移及转动。
岩石力学中的有限元法特点
非线性分析 非线性分析包括几何非线性和材料非线性两种。几何非 线性具有非线性的几何关系，而材料非线性具有非线性 的应力应变方程。岩石力学问题大多是非线性问题。对 于非线性问题，必须经过线性处理，才能进行有限元分 析。
常用线性化处理方法：
变刚度法 常刚度法
岩石力学中的有限元法特点
6.1 概述
离散元是康德尔以刚性离散单元为基本单元，根据牛顿第二 定律，提出的一种动态分析方法，既能模拟块体受力后的运动， 又能模拟块体本身的受力变形，20世80年代引入我国，在边坡、 隧道、采矿等方面有重要应用 流形方法是由石要华等人近期（1992、1996）发展的一种新 的数值分析方法。这种方法以拓扑流形和微分流形为基础，在 分析域内建立可相互重叠、相交的数学覆盖和覆盖材料全域的 物理覆盖，在第一物理覆盖上建立独立的位移函数，将所有覆 盖上的独立覆盖函数加权求和，即可得到总体位移函数。然后 根据总势能总小原理，建立可以用于处理包括非连续和连续介 质的耦合问题，小变形、大位移、大变形等多种问题的求解格 式。它是一种具有一般形式的通用数值分析方法，有限元法和 不连续变形分析法DDA都可看作是它的特例。
理论分析和科学试验的特点，数值模拟 / 仿真已经 不再局限于科学计算，正广泛被用在科学研究，工 程与生产领域。
6.1 概述
解析方法的障碍
岩体是地质结构体，非均质、非连续、非线性、以
及复杂的加卸载条件和边界条件，
岩石力学问题通常无法用解析方法简单求解
数值方法的优势
数值方法适用范围广，
能模拟岩体的复杂结构和力学特性，
6.1 概述
共同特点： 将带有边值条件的常微分方程或偏微分方程离散为线 性代数方程组，采用适当的求解方法解方程组，获得 基本未知量，进而根据几何方程和本构方程，求出研 究范围内的其他未知量。 但是对于岩石力学与工程问题，还应重视随工程活动 和时间变化岩体及加固结构中的节理、裂隙等各种不 连续面及其扩展过程和自然环境变化过程的数值仿真 模拟。与此同时，应根据实际岩体的赋存环境和工程 因素影响情况，确定用于数值分析的计算力学参数。 主要介绍有限元、有限差分和离散元
法中位移法应用范围最广。
6.2 有限元法
计算等效节点力
物体离散化后，假定力是通过节点从一个单元 传
递到另一个单元。但是，对于实际的连续体，力 是从单元的公共边传递到另一个单元中去的。因
而，这种作用在单元边界上的表面力、体积力和
集中力都需要等效的移到节点上去，也就是用等 效的节点力来代 替所有作用在单元上得力。
有限差分：差分代替微分
6.3 有限差分法
设f(x,y)为弹性体内某一个连续函数， 在邻近点0处，函数f可以展开为泰勒 级数：
1 2 f f f f 0 ( x x0 ) 2 2! x 0 x 1 3 f 3 3! x 3 ( x x ) 0 0 2 ( x x0 ) 0
物体离散化
将某个工程结构离散为由各种 单元组成的计算模型，这一步 称作单元剖分。 离散后单元于单元之间利用单 元的节点相互连接起来；单元 节点的设置、性质、数目等应 视问题的性质，描述变形形态 的需要和计算进度而定。 用有限元分析计算所获得的结 果只是近似的。如果划分单元 数目非常多而又合理，则所获 得的结果就与实际情况相符合。
有限元法求解岩石力学问题的步骤
4.建立单元刚度矩阵，并进行坐标转换。 5.形成总体刚度矩阵。 6.荷载等效移置，确定节点力列阵。
7.列出有限元基本方程，并根据已知位移对方程进行修正。
8.求解总体方程，可获得节点位移。 9.利用几何关系和物理方程计算单元的应变和应力。 10.绘制计算结果图，以便直观了解分析结果，给出定量 的评价，利用有限元法计算结果画出破坏区，应力和位 移等值线、应力场和位移场矢量图及所需要某一载面的 应力分布曲线和位移分布曲线等。
6.3 有限差分法
有限差分法主要思想是将待解决问题的基本方程组和 边界条件（一般为微分方程）近似的改用差分方程 （代数方程）来表示，由有一定规则的空间离散点的 处场变量（应力、位移）的代数表达式代替。
有限差分法和有限元法都产生一组待解决的方程组， 但两者产生方程组的方式不一样
有限元： 插值函数
目前，世界各地的研究机构和大学发展了一批规模较小 但使用灵活、价格较低的专用或通用有限元分析软件， 主要有 德国的ASKA、 英国的PAFEC、
法国的SYSTUS、
美 国 的 ABQUS 、 ADINA 、 ANSYS 、 BERSAFE 、 BOSOR 、 COSMOS 、 ELAS 、 MARC 和 STARDYNE
四面体10结点位移单元 二次位移 线性应变
方程来建立力和位移的方程式，
从而导出单元刚 度矩阵，这 是有限元法的基本步骤之一。
六面体20结点位移单元 二次位移 线性应变
6.2 有限元法
选择位移模式
位移法：选择节点位移作为基本未 知量称为位移法； 力 法：选择节点力作为基本未 知量时称为力法； 混合法：取一部分节点力和一部分节点位移作为基本 未知量时称为混合法。 位移法易于实现计算自动化，所以，在有限单元
快广泛的应用于求解热传导、电磁场、流体力 学等连续性问题。
由于其灵活处理边界、模拟非线性，广泛应用
于岩石工程领域
6.2 有限元法
— — —
有限元法分析计算的基本思想：
物体离散化 单元特性分析 选择位移模式
分析单元的力学性质
计算等效节点力 单元组集
求解未知节点位移
6.2 有限元法
第六章 岩石力学数值分析方法简介 6.1 概述
6.2 有限元法
6.3 有限差分法 6.4 离散元法
6.1 概述
数值计算是人类认识世界的新手段。自理论分析与 科学实验之后，数值模拟已成为人类认识世界最重要 的手段。 它主要用来解决以下两类问题：不可能进ຫໍສະໝຸດ Baidu实验的
问题，进行实验代价太大的问题。同时它又融和了
变刚度法 分段线性化增量法。把总荷载 划分为若干增量，逐级施加荷 载增量并每次改变刚度矩阵进 行求解。 下图可称为一阶自校正法，它 是在每一级增量之后，考虑对 过量应力作一次较正，然后施 加下一级增量进行计算。
岩石力学中的有限元法特点
常刚度法 如初应力法和初应变法，
初应力法也可采用增量加载，在 每级计算时所用的总刚度矩阵不 变，只根据过量等效结点力进行 迭代运算
有限元法求解岩石力学问题的步骤
计算参数确定： a.根据实验确定。实验室确定的力学参数不能直接采用， 通常需要进行折减。 b.现场实验和实测参数。由现场获得的参数一般也需进 行数学上的处理之后才可使用。
c.利用量测位移进行反分析确定。
有限元法求解岩石力学问题的步骤
2.划分单元 根据上面所确定的模型，在比较规则的区域划分四 边形单元，复杂区域可选择任意四边形和三角形单 元。划分时不能出现同一单元跨过两种材料，避免 出现钝角。对于断层、节理应划分为岩体的“节理 单元”。单元编号时，应使同一单元的编号的最大 差值为最小。应力集中的区域和重点研究的区域单 元应密集些。 3.选择位移函数。 依据单元类型，选择对应的位移插值函数，相同类 型单元取同一插值函数。
6.2 有限元法
单元组集
利用结构力的平衡条件和边界条件把各个单元按原来 的结构重新连接起来，形成整体的有限元方程
求解未知节点位移
可以根据方程组的具体特点来选择合适的 计算方法。
[ K ]{U } {P}
[ K ] 总体刚度矩阵； {U } 总体位移列阵；
{P} 总体荷载列阵
6.2 有限元法
6.1 概述
有限元基于最小总势能变分原理，能方便处理各种 非线性问题，灵活模拟岩土工程中复杂的施工过程， 在岩石力学领域应用最为广泛 边界元法以表述拜特(Betti)互等定理的积分方程为基 础，建立了直接法的基本方程，而基于叠加原理建 立了间接法的总体方程；因其前处理工作量少、能 有效模型拟远场效应而普遍应用于无界域或半无界 域问题的求解 有限差分法是将问题的基本方程和边界条件以简单、 直观的差分形式表述，更易在实际工程中应用。尤 以FLAC程序为代表
等公司的产品。
6.2 有限元法
6.2 有限元法
双边缺口试件损伤局部化 现象的Abaqus数值模拟
A
B
6.2 有限元法
64万单元的三维隧道模型并行有限元分析
岩石力学中的有限元法特点
节理单元
自然岩体具有各种结构面，如节理、断层等。在进行有 限元分析中，对那些与工程结构尺寸相当或更大尺寸的 断层和节理，应采用“节理单元”。国内外提出多种节 理单元，其中古德曼（Goodman）节理单元是提出最早、 应用最广泛的一种。
分析各种边值问题和施工过程 对工程进行预测和预报
6.1 概述
主要用于研究岩土工程活动和自然环境变化过程中岩 体及其加固结构的力学行为和工程活动对周围环境的 影响。 常用方法:有限元、边界元法、有限差分法、加权余 量法、离散元法、刚体元法、不连续变形分析方法、 流形方法。
前四种基于连续介质力学方法，后三种基于非连续介 质力学方法
2
2 f x 2 2 f x 2
0 0
2
联立求解得差分公式：
f f f 1 3 2h x 0 2 f x 2 f1 f 3 2 f 0 h2 0
在结点3和1处，x分别等于x0-h及x0+h， 即x-x0分别等于-h和h。将其代入上式得
f h f 3 f 0 h x 0 2 f h f1 f 0 h x 0 2
2
2 f x 2 2 f x 2
有限元模拟施工过程
开挖 Open-cut
6.1 概述
求解流程
求解控制 表格
前处理
区域离散 力学参数
计 算 机 求 解
图像
曲 线
后处理
载荷位移
变形大小
边界条件
应力分布
编程实现
6.2 有限元法
有限单元法是随着电子计算机的发展而迅速发 展起来的一种现代计算方法。它是 50 年代首先 在连续体力学领域 -- 飞机结构静、动态特性分 析中应用的一种有效的数值分析方法，随后很
h3 3 f 6 x 3 0 h3 3 f 6 x 3 0
0 0
2
6.3 有限差分法
假定h充分小，可以略去三次幂或更次幂的 各项，上式可简化为：
f h f 3 f 0 h x 0 2 f h f1 f 0 h x 0 2
6.2 有限元法
分析单元的力学性质
三角形6结点 位移单元 二次位移 线性应变 四边形 位移单元 二次位移 线性应变
根据 单元的材料性质、形状、 尺寸、节点数目、位置及其含 义等，找出单元节点力和节点
位移的关系式，这是单元分析
中的关键一步。此时需要应用 弹性力学中的几何方程和物理
岩石力学中的有限元法特点
无拉力分析 岩石的“不抗拉”特性可看作是塑性性态的一种表现。 若略去很低的抗拉强度，按照无拉力模型所得到的解答 将是在任一点都不存在拉应力的无拉力平衡状态。如果 不能获得这样的平衡状态，则表明这一系统是不安全的。 必须考虑适当的加固措施。这种考虑岩石不抗拉特性的 非线性分析，习惯上称为“无拉力”分析。
有限元法求解岩石力学问题的步骤
1.确定计算模型 根据对称性、材料性质和关心部位的边界尺寸等确定计 算模型。 如对于一圆拱形隧道，若其受力、几何形状及材料性质 均对称于y轴，则可取其1/2作为研究对象，而外边界可根 据隧道的跨度和高度确定。通常外边界左右取跨度的3~5 倍，上下取高度的3~5倍。在所取范围之外可认为不受开 挖等施工因素的影响，即在这些边界处可忽略开挖等施 工所引起的应力和位移。同时，保证模型不出现刚体位 移及转动。
岩石力学中的有限元法特点
非线性分析 非线性分析包括几何非线性和材料非线性两种。几何非 线性具有非线性的几何关系，而材料非线性具有非线性 的应力应变方程。岩石力学问题大多是非线性问题。对 于非线性问题，必须经过线性处理，才能进行有限元分 析。
常用线性化处理方法：
变刚度法 常刚度法
岩石力学中的有限元法特点
6.1 概述
离散元是康德尔以刚性离散单元为基本单元，根据牛顿第二 定律，提出的一种动态分析方法，既能模拟块体受力后的运动， 又能模拟块体本身的受力变形，20世80年代引入我国，在边坡、 隧道、采矿等方面有重要应用 流形方法是由石要华等人近期（1992、1996）发展的一种新 的数值分析方法。这种方法以拓扑流形和微分流形为基础，在 分析域内建立可相互重叠、相交的数学覆盖和覆盖材料全域的 物理覆盖，在第一物理覆盖上建立独立的位移函数，将所有覆 盖上的独立覆盖函数加权求和，即可得到总体位移函数。然后 根据总势能总小原理，建立可以用于处理包括非连续和连续介 质的耦合问题，小变形、大位移、大变形等多种问题的求解格 式。它是一种具有一般形式的通用数值分析方法，有限元法和 不连续变形分析法DDA都可看作是它的特例。
理论分析和科学试验的特点，数值模拟 / 仿真已经 不再局限于科学计算，正广泛被用在科学研究，工 程与生产领域。
6.1 概述
解析方法的障碍
岩体是地质结构体，非均质、非连续、非线性、以
及复杂的加卸载条件和边界条件，
岩石力学问题通常无法用解析方法简单求解
数值方法的优势
数值方法适用范围广，
能模拟岩体的复杂结构和力学特性，
6.1 概述
共同特点： 将带有边值条件的常微分方程或偏微分方程离散为线 性代数方程组，采用适当的求解方法解方程组，获得 基本未知量，进而根据几何方程和本构方程，求出研 究范围内的其他未知量。 但是对于岩石力学与工程问题，还应重视随工程活动 和时间变化岩体及加固结构中的节理、裂隙等各种不 连续面及其扩展过程和自然环境变化过程的数值仿真 模拟。与此同时，应根据实际岩体的赋存环境和工程 因素影响情况，确定用于数值分析的计算力学参数。 主要介绍有限元、有限差分和离散元
法中位移法应用范围最广。
6.2 有限元法
计算等效节点力
物体离散化后，假定力是通过节点从一个单元 传
递到另一个单元。但是，对于实际的连续体，力 是从单元的公共边传递到另一个单元中去的。因
而，这种作用在单元边界上的表面力、体积力和
集中力都需要等效的移到节点上去，也就是用等 效的节点力来代 替所有作用在单元上得力。
有限差分：差分代替微分
6.3 有限差分法
设f(x,y)为弹性体内某一个连续函数， 在邻近点0处，函数f可以展开为泰勒 级数：
1 2 f f f f 0 ( x x0 ) 2 2! x 0 x 1 3 f 3 3! x 3 ( x x ) 0 0 2 ( x x0 ) 0
物体离散化
将某个工程结构离散为由各种 单元组成的计算模型，这一步 称作单元剖分。 离散后单元于单元之间利用单 元的节点相互连接起来；单元 节点的设置、性质、数目等应 视问题的性质，描述变形形态 的需要和计算进度而定。 用有限元分析计算所获得的结 果只是近似的。如果划分单元 数目非常多而又合理，则所获 得的结果就与实际情况相符合。
有限元法求解岩石力学问题的步骤
4.建立单元刚度矩阵，并进行坐标转换。 5.形成总体刚度矩阵。 6.荷载等效移置，确定节点力列阵。
7.列出有限元基本方程，并根据已知位移对方程进行修正。
8.求解总体方程，可获得节点位移。 9.利用几何关系和物理方程计算单元的应变和应力。 10.绘制计算结果图，以便直观了解分析结果，给出定量 的评价，利用有限元法计算结果画出破坏区，应力和位 移等值线、应力场和位移场矢量图及所需要某一载面的 应力分布曲线和位移分布曲线等。
6.3 有限差分法
有限差分法主要思想是将待解决问题的基本方程组和 边界条件（一般为微分方程）近似的改用差分方程 （代数方程）来表示，由有一定规则的空间离散点的 处场变量（应力、位移）的代数表达式代替。
有限差分法和有限元法都产生一组待解决的方程组， 但两者产生方程组的方式不一样
有限元： 插值函数
目前，世界各地的研究机构和大学发展了一批规模较小 但使用灵活、价格较低的专用或通用有限元分析软件， 主要有 德国的ASKA、 英国的PAFEC、
法国的SYSTUS、
美 国 的 ABQUS 、 ADINA 、 ANSYS 、 BERSAFE 、 BOSOR 、 COSMOS 、 ELAS 、 MARC 和 STARDYNE
四面体10结点位移单元 二次位移 线性应变
方程来建立力和位移的方程式，
从而导出单元刚 度矩阵，这 是有限元法的基本步骤之一。
六面体20结点位移单元 二次位移 线性应变
6.2 有限元法
选择位移模式
位移法：选择节点位移作为基本未 知量称为位移法； 力 法：选择节点力作为基本未 知量时称为力法； 混合法：取一部分节点力和一部分节点位移作为基本 未知量时称为混合法。 位移法易于实现计算自动化，所以，在有限单元
快广泛的应用于求解热传导、电磁场、流体力 学等连续性问题。
由于其灵活处理边界、模拟非线性，广泛应用
于岩石工程领域
6.2 有限元法
— — —
有限元法分析计算的基本思想：
物体离散化 单元特性分析 选择位移模式
分析单元的力学性质
计算等效节点力 单元组集
求解未知节点位移
6.2 有限元法
第六章 岩石力学数值分析方法简介 6.1 概述
6.2 有限元法
6.3 有限差分法 6.4 离散元法
6.1 概述
数值计算是人类认识世界的新手段。自理论分析与 科学实验之后，数值模拟已成为人类认识世界最重要 的手段。 它主要用来解决以下两类问题：不可能进ຫໍສະໝຸດ Baidu实验的
问题，进行实验代价太大的问题。同时它又融和了
变刚度法 分段线性化增量法。把总荷载 划分为若干增量，逐级施加荷 载增量并每次改变刚度矩阵进 行求解。 下图可称为一阶自校正法，它 是在每一级增量之后，考虑对 过量应力作一次较正，然后施 加下一级增量进行计算。
岩石力学中的有限元法特点
常刚度法 如初应力法和初应变法，
初应力法也可采用增量加载，在 每级计算时所用的总刚度矩阵不 变，只根据过量等效结点力进行 迭代运算
有限元法求解岩石力学问题的步骤
计算参数确定： a.根据实验确定。实验室确定的力学参数不能直接采用， 通常需要进行折减。 b.现场实验和实测参数。由现场获得的参数一般也需进 行数学上的处理之后才可使用。
c.利用量测位移进行反分析确定。
有限元法求解岩石力学问题的步骤
2.划分单元 根据上面所确定的模型，在比较规则的区域划分四 边形单元，复杂区域可选择任意四边形和三角形单 元。划分时不能出现同一单元跨过两种材料，避免 出现钝角。对于断层、节理应划分为岩体的“节理 单元”。单元编号时，应使同一单元的编号的最大 差值为最小。应力集中的区域和重点研究的区域单 元应密集些。 3.选择位移函数。 依据单元类型，选择对应的位移插值函数，相同类 型单元取同一插值函数。
6.2 有限元法
单元组集
利用结构力的平衡条件和边界条件把各个单元按原来 的结构重新连接起来，形成整体的有限元方程
求解未知节点位移
可以根据方程组的具体特点来选择合适的 计算方法。
[ K ]{U } {P}
[ K ] 总体刚度矩阵； {U } 总体位移列阵；
{P} 总体荷载列阵
6.2 有限元法
6.1 概述
有限元基于最小总势能变分原理，能方便处理各种 非线性问题，灵活模拟岩土工程中复杂的施工过程， 在岩石力学领域应用最为广泛 边界元法以表述拜特(Betti)互等定理的积分方程为基 础，建立了直接法的基本方程，而基于叠加原理建 立了间接法的总体方程；因其前处理工作量少、能 有效模型拟远场效应而普遍应用于无界域或半无界 域问题的求解 有限差分法是将问题的基本方程和边界条件以简单、 直观的差分形式表述，更易在实际工程中应用。尤 以FLAC程序为代表
等公司的产品。
6.2 有限元法
6.2 有限元法
双边缺口试件损伤局部化 现象的Abaqus数值模拟
A
B
6.2 有限元法
64万单元的三维隧道模型并行有限元分析
岩石力学中的有限元法特点
节理单元
自然岩体具有各种结构面，如节理、断层等。在进行有 限元分析中，对那些与工程结构尺寸相当或更大尺寸的 断层和节理，应采用“节理单元”。国内外提出多种节 理单元，其中古德曼（Goodman）节理单元是提出最早、 应用最广泛的一种。
分析各种边值问题和施工过程 对工程进行预测和预报
6.1 概述
主要用于研究岩土工程活动和自然环境变化过程中岩 体及其加固结构的力学行为和工程活动对周围环境的 影响。 常用方法:有限元、边界元法、有限差分法、加权余 量法、离散元法、刚体元法、不连续变形分析方法、 流形方法。
前四种基于连续介质力学方法，后三种基于非连续介 质力学方法
2
2 f x 2 2 f x 2
0 0
2
联立求解得差分公式：
f f f 1 3 2h x 0 2 f x 2 f1 f 3 2 f 0 h2 0
在结点3和1处，x分别等于x0-h及x0+h， 即x-x0分别等于-h和h。将其代入上式得
f h f 3 f 0 h x 0 2 f h f1 f 0 h x 0 2
2
2 f x 2 2 f x 2
有限元模拟施工过程
开挖 Open-cut
6.1 概述
求解流程
求解控制 表格
前处理
区域离散 力学参数
计 算 机 求 解
图像
曲 线
后处理
载荷位移
变形大小
边界条件
应力分布
编程实现
6.2 有限元法
有限单元法是随着电子计算机的发展而迅速发 展起来的一种现代计算方法。它是 50 年代首先 在连续体力学领域 -- 飞机结构静、动态特性分 析中应用的一种有效的数值分析方法，随后很
h3 3 f 6 x 3 0 h3 3 f 6 x 3 0
0 0
2
6.3 有限差分法
假定h充分小，可以略去三次幂或更次幂的 各项，上式可简化为：
f h f 3 f 0 h x 0 2 f h f1 f 0 h x 0 2
6.2 有限元法
分析单元的力学性质
三角形6结点 位移单元 二次位移 线性应变 四边形 位移单元 二次位移 线性应变
根据 单元的材料性质、形状、 尺寸、节点数目、位置及其含 义等，找出单元节点力和节点
位移的关系式，这是单元分析
中的关键一步。此时需要应用 弹性力学中的几何方程和物理
岩石力学中的有限元法特点
无拉力分析 岩石的“不抗拉”特性可看作是塑性性态的一种表现。 若略去很低的抗拉强度，按照无拉力模型所得到的解答 将是在任一点都不存在拉应力的无拉力平衡状态。如果 不能获得这样的平衡状态，则表明这一系统是不安全的。 必须考虑适当的加固措施。这种考虑岩石不抗拉特性的 非线性分析，习惯上称为“无拉力”分析。