数项级数的收敛判别法

思考题：若正项级数 an收敛，则下列级数的敛散性
(1)
an
n1 1 an
【证明】
n 1
(2) an
n1 n
(3) an2 n 1
(1)
由 an 1 an
an 1 0
an，由于正项级数 an收敛，则由
n1
比较判别法，可知
an 收敛；
n1 1 an
(2) 由
an 1 [( n2
an
)2
1 n2
n 1
n 1
且un n , (n 1, 2,3,L ) 那么
（1）如果
n
收敛，则
u
n
收敛。
（2）如果
n1
u n 发散，则
n 1
n
发散。
s s 证: 设
显然由
n 1
n和
n
分别表示
n 1
un n
n n
un
和 n1
n 1
n
的部分和，
s (1) n收敛 n有界 n 1
n有界
n 1
u
n也收敛.
例 1 考察级数
1 1 1 1
n1 1 2n 1 2 1 22
1 2n
的收敛性.
证明:这是一个正项级数，其部分和为:
sn
1
1
2
1
1 22
1
1 2
n
1 2
1 22
1 2n
1
1 2n
1
故{sn}有界，所以原级数收敛.
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定理1(比较判别法)设 un与 n 是两个正项级数，
s
(2) un 发散 n 1
n 无界
n 无界
n 也发散.
n 1
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推论1 如果把定理2中的条件"un vn (n 1,2,L )"改为 "un kvn (其中,k 0,n N, N为某一个自然数)", 则结论仍成立.
例2 判定p-级数 (常数 p>0)
定理 正项级数 un 收敛 sn有界.
n 1
证:
“”
u
n收敛
sn
收敛
sn
有界.
n 1
“” sn有界,又sn 是一个单调上升数列
lim n
sn
存在
un 收敛.
n 1
注:由定理1可知,如果正项级数un发散,则它的部分和
n1
Sn (n ), 即 un .
n1
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§2 数项级数的收敛判别法
1.正项级数的收敛判别法 2.交错级数的收敛判别法 3.绝对收敛与条件收敛 4.任意项级数的收敛判别法
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前面所讲的常数项级数中，各项均可是 正数，负数或零。正项级数是其中一种特殊 情况。如果级数中各项是由正数或零组成， 这就称该级数为正项级数。同理也有负项级 数。而负项级数每一项都乘以后即变成正项 级数，两者有着一些相仿的性质，正项级数 在级数中占有很重要的地位。很多级数的敛 散性讨论都会转为正项级数的敛散性.
推论2 设un为正项级数,如果存在p 1, n1
使得un
1 np
(n
1, 2,),则级数
n1
un收敛;
如果un
1 n
(n
1, 2,),
则级数发散.
例4 判断下列级数的敛散性
1
(1)
n1 (2n 1) 2n
n 1
(2) n1 n2 1
(3)
1
n2 (ln n)
1
(4)
n2
ห้องสมุดไป่ตู้
(ln
n)n
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(2) 当 l 0时，若 vn 收敛,则 un 收敛;
(1)
因为2n
1
n，所以un
(2n
1 1) 2n
1 n 2n
1 2n2
由于
1 ，根据比较判别法可知
1 收敛；
n1 2n2
n1 2n2
(2)
因vn
n 1 n2 1
n 2n2
1 ，而
2n
n1
1 发散， 2n
所以
n 1发散；
n1 n2 1
(3) 因为当n 2时，有ln n n,所以 1 1
由此可得结论，p级数 n1n1p
当 p 1时发散，p>1时收敛.
1 8p
)
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例 2 证明级数
1 是发散的.
n1 n(n 1)
证明 1 1 , n(n 1) n 1
而级数
1 发散,
n1 n 1
级数
1 发散.
n1 n(n 1)
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ln n n
而级数
1发散
1 也发散；
n2 n
n2 (ln n)
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(4) 因为e2 8，于是 ln 8 2，
故当n 8时，ln n 2 1 1 ln n 2
于是得
un
1 (ln n)n
1 2n
(n 8,9,L )
由于级数
1 收敛，
2n
np
n 1
2p 3p
4p 5p 6p 7p
( 1 1 ) .
8p
15p
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它的各项均不大于级数
1
(
1 2p
1 2p
)
(
1 4p
1 4p
1 4p
1 4p
)
(
1 8p
的对应项.
后一级数是几何级数，公比q
1 2 p1
1,
所以此级数收敛.
1 np
n 1
收敛.
]
1 2
(an
1 n2
)，由于
n1
an收敛，
n1
1 收敛；则
n2
n1
an 收敛； n
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(3) 由正项级数 an收敛， n1
则 lim n
an
0
N，当n
N时，an
1
an2
an
由比较判别法，可知 an2收敛；
n1
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n8
根据比较判别法可知
1 收敛
n8 (ln n)n
再由性质可知
1 也收敛
n2 (ln n)n
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定理2（比较审敛法的极限形式）
设 un 与 vn 都是正项级数,如果
n1
n1
lim un n vn
l,
则(1) 当 0 l 时,二级数有相同的敛散性;
1 np
n1
1
1 2p
1 3p
L
1 np
L
的敛散性.
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解：(1)设p 1时,
1 np
1, n
由比较判别法知
,
调和级数
1是发散的
n1 n
;
p
级数
n1
1 np
也发散
.
(2)当p 1时，
1 1 ( 1 1 ) ( 1 1 1 1 )
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一、正项级数的收敛判别法
我们先讨论一类特殊的数项级数，即各项都是正数或
零的级数，这种级数称为正项级数.
定义 设级数
un,un 0,n 1,2, 为正项级数.
n1
显然,正项级数的部分和{sn}数列是单调增加的，
即
s1 s2 s3 sn
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