最短路径算法

算法的思想 (2)

算法的描述 (2)

算法的举例 (2)

A*算法 (2)

原理简介 (2)

详细内容 (2)

A*算法误区 (17)

A*算法总结(Summary of the A* Method) (17)

F LOYD算法 (17)

定义 (17)

核心思路 (18)

算法过程 (18)

优缺点分析 (18)

J OHNSON算法 (23)

Johnson算法要求 (23)

Johnson算法结构要求 (23)

Johnson算法数据结构 (23)

Johnson算法的内容 (23)

Johnson算法源程序 (23)

D IJKSTRA算法 (27)

算法简介 (27)

算法描述 (27)

复杂度分析 (27)

算法实现 (28)

测试样例 (30)

算法应用的实例 (34)

算法的思想

设图中有n个结点，设置一个集会u，存放已经求出最短路径的结点（初始时u中的元素是源点），v-u是尚未确定最短路径的顶点的集合。每次从v-u集合中找这样一个结点best_j：best_j是u集合中结点的邻接点，到源点的距离最短（等于到父结点的距离加上父结点到源点的距离）。然后把该best_j置入u集合中，直到u=v。

算法的描述

最短路经计算分静态最短路计算和动态最短路计算。

静态路径最短路径算法是外界环境不变，计算最短路径。主要有Dijkstra算法，A*算法。动态路径最短路是外界环境不断发生变化，即不能计算预测的情况下计算最短路。典型的有D*算法。

算法的举例

A*算法

原理简介

A*（A-Star)算法是一种静态路网中求解最短路最有效的方法。

公式表示为：f(n)=g(n)+h(n),

其中f(n) 是节点n从初始点到目标点的估价函数，g(n) 是在状态空间中从初始节点到n节点的实际代价，h(n)是从n到目标节点最佳路径的估计代价。

保证找到最短路径（最优解的）条件，关键在于估价函数h(n)的选取：

估价值h(n)<= n到目标节点的距离实际值，这种情况下，搜索的点数多，搜索范围大，效率低。但能得到最优解。

如果估价值>实际值, 搜索的点数少，搜索范围小，效率高，但不能保证得到最优解。

估价值与实际值越接近，估价函数取得就越好。

例如对于几何路网来说，可以取两节点间欧几理德距离（直线距离）做为估价值，即f=g(n)+sqrt((dx-nx)*(dx-nx)+(dy-ny)*(dy-ny))；这样估价函数f在g值一定的情况下，会或多或少的受估价值h的制约，节点距目标点近，h值小，f值相对就小，能保证最短路的搜索向终点的方向进行。明显优于Dijstra算法的毫无无方向的向四周搜索。

conditions of heuristic

Optimistic (must be less than or equal to the real cost)

As close to the real cost as possible

详细内容

初始A*算法

主要搜索过程：

创建两个表，OPEN表保存所有已生成而未考察的节点，CLOSED表中记录已访问过的节点。遍历当前节点的各个节点，将n节点放入CLOSE中，取n节点的子节点X,->算X的

估价值->

While(OPEN!=NULL)

{

从OPEN表中取估价值f最小的节点n;

if(n节点==目标节点) break;

else

{

if(X in OPEN) 比较两个X的估价值f //注意是同一个节点的两个不同路径的估价值

if( X的估价值小于OPEN表的估价值)

更新OPEN表中的估价值; //取最小路径的估价值

if(X in CLOSE) 比较两个X的估价值//注意是同一个节点的两个不同路径的估价值if( X的估价值小于CLOSE表的估价值)

更新CLOSE表中的估价值; 把X节点放入OPEN //取最小路径的估价值

if(X not in both)

求X的估价值;

并将X插入OPEN表中; //还没有排序

}

将n节点插入CLOSE表中;

按照估价值将OPEN表中的节点排序; //实际上是比较OPEN表内节点f的大小，从最小路径的节点向下进行。

启发式搜索其实有很多的算法，比如：局部择优搜索法、最好优先搜索法等等。当然A*也是。这些算法都使用了启发函数，但在具体的选取最佳搜索节点时的策略不同。象局部择优搜索法，就是在搜索的过程中选取“最佳节点”后舍弃其他的兄弟节点，父亲节点，而一直得搜索下去。这种搜索的结果很明显，由于舍弃了其他的节点，可能也把最好的节点都舍弃了，因为求解的最佳节点只是在该阶段的最佳并不一定是全局的最佳。最好优先就聪明多了，他在搜索时，便没有舍弃节点（除非该节点是死节点），在每一步的估价中都把当前的节点和以前的节点的估价值比较得到一个“最佳的节点”。这样可以有效的防止“最佳节点”的丢失。那么A*算法又是一种什么样的算法呢？其实A*算法也是一种最好优先的算法。只不过要加上一些约束条件罢了。由于在一些问题求解时，我们希望能够求解出状态空间搜索的最短路径，也就是用最快的方法求解问题，A*就是干这种事情的！

我们先下个定义，如果一个估价函数可以找出最短的路径，我们称之为可采纳性。A*算法是一个可采纳的最好优先算法。A*算法的估价函数可表示为：

f'(n) = g'(n) + h'(n)

这里，f'(n)是估价函数，g'(n)是起点到终点的最短路径值，h'(n)是n到目标的最断路经的启发值。由于这个f'(n)其实是无法预先知道的，所以我们用前面的估价函数f(n)做近似。g(n)代替g'(n)，但g(n)>=g'(n)才可（大多数情况下都是满足的，可以不用考虑），h(n)代替h'(n)，但h(n)<=h'(n)才可（这一点特别的重要）。可以证明应用这样的估价函数是可以找到最短路径的，也就是可采纳的。我们说应用这种估价函数的最好优先算法就是A*算法。

举一个例子，其实广度优先算法就是A*算法的特例。其中g(n)是节点所在的层数，h(n)=0，这种h(n)肯定小于h'(n)，所以由前述可知广度优先算法是一种可采纳的。当然它是一种最臭的A*算法。

再说一个问题，就是有关h(n)启发函数的信息性。h(n)的信息性通俗点说其实就是在估计一个节点的值时的约束条件，如果信息越多或约束条件越多则排除的节点就越多，估价函数越好或说这个算法越好。这就是为什么广度优先算法的那么臭的原因了，谁叫它的h(n)=0，