无刻度直尺作图(PDF版)

% ( #* '*#*
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面积为 ""#*
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图!
图(
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&如图)根据矩形对角线互相平分的性质构造矩形",*+则,+ 与"* 的交点为即点%!
图)
例!!如图"# 是半圆的直径$ 是圆外一点连接$"$# 分别交半圆于点,*用无刻度直尺在 ""#$ 中作出"# 边上的高!
图(
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'如图)根据正方形弦图模型构造"$"- 则 #"".# $-%"#垂足为'即可得""#$ 的高线
$' !
(如图*根据网格中线段的等量关系作$/'图$)#同&可得#/ 的中点为点(则根据等腰三源自文库形 三线合一此时$( 平分&"$#!
(与角有关的作图
图*
!*+$角可通过作直角三角形的角平分线得到! ""#$角通过格点形成的直角或两个*+$角之和得到! #等角可通过构造全等三角形或作垂直平分线得到! $(倍角可通过圆周角定理得到或利用等腰三角形外角性质作得! 例如如图在由边长都为!的小正方形组成的网格中用无刻度直尺完成作图
!!!!
分析!!根据菱形四边相等和矩形图对!角线相等的性质已知条图件( 中有中点即可想到运用中位线的性 质作图(根据正方形与菱形都有的对称性即可作图!
解答 例$!如图在,&%网格中点"#$ 均在格点上请在图中用无刻度直尺找到一点%使得"# 是 &%"$ 的角平分线并简要说明点% 是如何找到的!
%在图!图(上以"# 为边作出""#$ 和""#*使其面积为%
如图 用无刻度直尺在 中的 的 边上找到一点 使得 & (
% ""#* "*
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1"#%* ' !(1""#* !
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作法 如图 若 则 面积为 如图 若 边上的高为 则 图!
图(
% ! "#')#$'* ""#$
如图在 $! )"#$* 中",'$,用无刻度直尺完成作图 !在图中作出&*", 的角平分线 (在图中作出&",$ 的角平分线! %!请在如图所示的等边三角形网格中用无刻度直尺过点% 作线段"# 的平行线并简要说明作法和 理由!
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第!章!图形操作
如图在 !!&! %&%网格中""#$ 的三个顶点都在格点上用无刻度直尺在""#$ 内部网格上找一点*
不包括边界使得

1"#$* ' (!1""#$ !
如图在 '! %&%网格中四边形"#$* 的顶点在格点上用无刻度直尺在边"# 上作一点.使得
&".*' &#.$!
如图在 (! %&%网格中""#$ 的三个顶点都在格点上用无刻度直尺作出&#0" 的角平分线!
如图在 )! ""#$ 中"#'"$,* 是""#$ 的中位线用无刻度直尺作出&#"$ 的角平分线!
!!
!"!!无刻度直尺作图
!"几何图形中的无刻度直尺作图
一般根据已知的几何图形的性质解决问题!比如已知图形是圆那么与角有关的会用到圆周角定理与
垂直或中点有关的会用到垂径定理当已知中有切线切点条件时通常要连接圆心和切点!
#"网格中的无刻度直尺作图
!与线有关的作图
!平行线可利用平行四边形的性质或全等三角形的性质作得!
例'!(#!"天津如图在每个小正方形的边长为!的网格中""#$ 的顶点" 在格点上# 是小正
方形边的中点 经过点 &"#$'+#$&#"$')#$
"#
的圆的圆心在边"$
上!请用无刻度直尺在如图所
示的网格中找出一个点%使其满足&%"$'&%#$'&%$#并简要说明点% 的位置是如何找到的!
作出 的中线 & ""#$
$&
作出 的高线 ' ""#$
$'
作出 ( ""$# 的角平分线$(!
作法% 如图!在网格中找到点%)*使得"$)%# ""*#或根据平行四边形的性质在网格 中可以找到点%使得#%'"$#%$"$此时$%$"#!方法不唯一
&如图(根据矩形的性质构造矩形"+#,对角图线!的交点即为"# 的中点&即可得""#$的中线$&!
则 所以 ()*$$*&#$0*&#!")* "*0!% "*&! $*0!
设 的延长线与 交于点 则 #$*&!#")*# 0!
*&
, ",0*%
所以 又因为 所 ",$* $*$,# $*0!#")*#
$*-0#%)*
以 综上点 $,&!#")*# , 即为题中所求点-#
进阶训练
作法%如图!使得线段"# 是直角边为!和)的直角三角形的斜边再利用正方形对角线平分直角 即可到*+$角!
图!
"!
!!&如图(通过构造全等三角形可得点*!
第!章!图形操作
'如图)根据垂直平分线的性质或通过构造图全(等三角形确定格点,使得', 为""#$ 的外接圆 利用圆周角定理可得&$,#'(&$"#再利用轴对称确定其他满足条件的点,!
相交得圆心*$& 与网格线相交于点%连接%* 并延长交
圆于点0连接0! 并延长与点&* 的连线&* 相交于点-
连接 则点 满足 $- - $-$!#$-&!#$-!&#
!!!
提示!!图根!据平行四边形对角线互图相"平分以及中位
线的性质可得菱形'"()
连接 " $! 交&% 于点*延长$' 交%! 于点+连接 提示!以$ 为顶点的直角三角形与圆交于'" 两点
+* 并延长交$& 于点,连接!, 交&% 于点"根据正方则可以确定圆心* 的位置#由题意可得$& 与网格的交点%
形的性质可得$'!" 即为所求菱形#
为$& 的中点则%* 垂直平分$&将%* 延长交圆于点0
例$!如图#
后可得 $*$&# $*&$#')*$$*%# $0*!# $&*!#
!!!
图!
图(
!!!如图六个完全相同的小矩形"# 是其中一个小矩形的对角线请在大矩形中用无刻度直尺完成 作图
!如图!作出一个*+$的角使" 或# 是这个角的顶点且"# 为这个角的一边 (如图(作出线段"# 的垂直平分线!
!!!
图!
图(
如图在 !#! ""#$ 中 点 "#'"$ " 在以#$ 为直径的半圆内用无刻度直尺以#$ 为边作出一个*+$ 的圆周角!
分析!首先确定圆心的位置再根据垂径定理以及全等三角形的性质作图! 解答
%!
!!(#!"浙江金华如图在,&%网格中""#$ 的顶点均在格点上试按要求作出线段,+,+ 均 为格点各作出一条即可!
!!!
!!!
图 平分 !,+ #$
图(,+%"$
图),+ 垂直平分#$
如图 #! '0 为""#$ 的外接圆直线2与'0 相切于点%且2$#$用无刻度直尺在圆中作出&#"$ 的平分线!
"中线可利用矩形的对角线互相平分的性质作得!
#垂线可以通过构造"#$的角或利用弦图模型作得!
$角平分线可根据等腰三角形三线合一或菱形对角线互相平分以及构造全等作得!
例如如图在%&%网格中""#$ 的三个顶点都在格点上用无刻度直尺完成作图
%作出线段"# 的平行线$%且点% 在格点上

提示!连接$%&' 交于点(可知点( 为"$&! 的取格点,连接&,可得到与网格的交点+根据平行线分
$高垂'#心!"例所即#以为!连所!接求如!#(图并!延菱长形交'$"&()于即点为"所则求!""为如$&图"边菱上形的'线#!&段!可例成得所'比到以!例与+如可"网图得格与!取!的+%圆交#与的!点'(网交"格此点根线即时据为的.平"点交&行!/点+四##'边'&"形的取连性格接质点'"可'得与连+$接!"
例&!如图在由边长都为!的小正方形组成的%&%网格中"#$* 均为格点若) 为线段$* 上
一点且满足
1"#$)
'
!)1四边形"#$*
请用无刻度直尺在网格中作出满足条件的线段#)并简要说明是怎么作
出的点)!
分析!通过已知可以得到四边形"#$* 的面积从而确定"#$) 的面积则可根据面积值作图! 解答
如图 &#! #
!!!
提示图!"如'"图&!$!构造'&'!"图'则''""垂平直分平&分!&!如图"
构造正方形后利用弦图模型可得'"&$!如图'构造菱形
则 垂直平分 &'!" '"
&!#
提示!构造矩形后对角线的交点即为$&$! 的中点
'"再根据平行线间的距离处处相等则'" 与网格的交点
作出 使得 槡 且点 均为格点 % ""#$ "#' !#"$'*&"$#'*+$ "#$

作出 使得 且点 为格点 & &"*$ &"*$'&"#$ *

作出 使得 且点 为格点 ' &$,# &$,#'(&$"# ,

作出 使得 且点 在 边上 ( &$,# &$,#'(&$"# , "$ !
(!

第!章!图形操作
!"!!无刻度直尺作图
例题讲解 例!!如图!" 即为所求#
提示!利用全等三角形作出直角$$&!则."$&! #$ 所以."$%! #%从而确定点%得到四边形$&!%#
例&!如图#
提示 根据题意可得 所以 !
.四边形$&!% #&
."&!/
#
& '
*!如图在由边长都为!的小正方形组成的网格中"# 是网格中的两个格点请用无刻度直尺分别按 下列要求作图
!!!
图!
图(
'!
!如图!在网格中找出格点%3使得"%$#3并且满足#"3%'
( )
(如图(请在线段"# 上找出点% 使得 #"%%'()!
!+!如图在矩形"#$* 中, 为"* 的中点只用无刻度直尺完成作图 如图 在 ! ! #$ 上找点+使得+ 是#$ 的中点 如图 连接 在 ( ( "$ "$ 上取两点%3使得%3 是"$ 的三等分点!
分析!已知图形是圆和三角形要作出高时必然会与直径所对圆周角为直角以及三角形的高线有关 所以根据圆周角定理及三角形垂心定义即可作图!
解答 例#!用无刻度直尺按要求作出菱形! !如图!在矩形"#$* 中,+ 分别是边"#"* 的中点以,+ 为边作出一个菱形 (如图(在正方形"#$* 中, 是对角线#* 上任意一点#,(*,以", 为边作出一个菱形!
提示!连接-* 并延长交(* 于点%根据垂径定理可 知-% 平分弦&! 所对的弧则$% 即为$&$! 的平分线#
作 则 再利用弦图或 如图 提示 ! &%#$! $&$!#$%&$
!#! #
构造全等三角形作$& 的垂直平分线'"则与&% 的交点即
为点-#
例%!如图#
图 平分 !'" &!
!"!#
参考答案
提示!在格点上找到点0使得点- 为$0 的中点根 据等边三角形以及菱形的性质可得&0 与网格的交点! 为 &0 的中点根据中位线性质则直线-! 与线段$& 平行#
$!
分析!可通过作平行线垂直平分线或菱形等方法作出与&#"$ 相等的角! 解答
第!章!图形操作
例%!如图在由边长都为!的小正方形组成的网格中"# 是网格中的两个格点请用无刻度直尺作
出以"#
为边的四边形"#$*
使其面积为 且
" &"#$'"#$!
分析!首先构造直角再根据面积构造四边形! 解答
(如图*根据矩形对角线的性质找到"# 的中图)点0再根据正方形的弦图模型得到"# 的垂直平分 线.- 则与"$ 的交点即为点,!
)与面积有关的作图
图*
!面积为常数可根据底边和高的值解决作法不唯一!
"三角形面积相等可利用中线的性质或平行线间距离处处相等解决!
例如如图在由边长都为!的小正方形组成的网格中"# 两点都在格点上用无刻度直尺完成作图
即为点%#
如图 '#! #
图 平分 !'" &!
!!
图"'"&$!
如图 即为所求 ##! $%
#
图''" 垂直平分&!
提示!取格点'使得&'#&!根据对顶角性质可得 $$(% # $&('再根据三线合一的性质可得$&(!
# $$(%#
(#!如图*% 即为所求#
提示!取格点!则*!#$#*&连接&!与网格交于