计数原理-二项式定理

二项式定理

知识点

1•二项式定理：

(a b)n C ：a n C ；a n 1b L

C ：a n r b r L C ；b n (n N ),

2. 基本概念：

① 二项式展开式：右边的多项式叫做

(a b)n 的二项展开式。

② 二项式系数：展开式中各项的系数 C n r (r 0,1,2, ,n). ③ 项数：共(r 1)项，是关于a 与b 的齐次多项式

④ 通项：展开式中的第 r 1项C ：a n r b r 叫做二项式展开式的通项。用 T r 1 C ；a n r b r 表示。

3. 注意关键点：

①项数：展开式中总共有 (n 1)项。

② 顺序：注意正确选择 a ,b ,其顺序不能更改。(a b)n 与(b a)n 是不同的。

③ 指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幕排列。b 的指数从0逐项减到n ，是升幕排列。各项的次数和等

于n .

④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数， 二项式系数依次是

4. 常用的结论:

④ 奇数项的系数和与偶数项的系数和:

b 的系数 (包括二项式系数)。

C n , C n , C n ,

, C n ,

, C n

-项的系数是a

与

令 a 1,b x, (1 x)n C 0 C ：x C ：x 2 L C ；x r L C ；x n (n N 令 a 1,b x, (1 x)n C 0 C ；x CnX 2 L

c ；x r

L

n n n

(1) C n

X (n

5. 性质:

①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即 k

k 1

• • • C n

②二项式系数和：令 a b 1,则二项式系数的和为

Cn c n

Cn c n L

C ： 2n

,

1

变形式c n c

L C ； L

C ： 2n

③奇数项的二项式系数和 =偶数项的二项式系数和: 在二项式定理中，令 a 1,b 1，则 C° C 1 Cn C 3

1)n C ； (1 1)n

从而得到：C

0 C

C ：

Cn r

c n c ； L

2r 1

C n

大值。

⑥系数的最大项：求（a bx ）n 展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别

题型一二项式定理的逆用；

【例 1 】c n Cn 6 C ； 62 L Cn 6n 1 ________________ .

【过关练习】

题型二 利用通项公式求x n 的系数;

【例1】在二项式（4 1 3 x 2）n 的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有x 3的项的系数?

【过关练习】

求（x 2 士）9展开式中x 9的系数?

(a n

x) C °a n 0 x

(x a) C °a 0 n x

令x 1, 则a o a 1 令x 1,

则a o a 1 ① ②得 ,a

0 a 2

① ②得 ,a 1 a 3

C ：a n 1x C ：ax n 1 a 2 a 2 a 3L

a 3 2 n 2 2 C n a x 2 2 n 2 C n a x a n (a L a n (a 1) n 0 n L C n a x n n 0 L C n a x 1)n n a 0 a 1x 1

a n x n L ①

② 2 a 2x 2 a 2x n L a n X 1 a 1x a 0 a 4L a n （

■^卫 宜」£（奇数项的系数和） 2

a 5L a n

偶数项的系数和）

2

⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幕指数

n

n 是偶数时，则中间一项的二项式系数 C?取得最大值。

如果二项式的幕指数 n 是奇数时，则中间两项的二项式系数 n 1 n 1

C ^ , cF 同时取得最

为A L A 2,

, A n 1，设第r 1项系数最大，应有

A r 1 A r 1

A ，从而解出r 来。

A r 2

c n

2

3

3C n

9C n L

3n 1C ；

题型三利用通项公式求常数项;

2 1 10

【例1】求二项式（x 2..X）的展开式中的常数项? 【过关练习】

求二项式（2x

1 6

）6的展开式中的常数项?

题型四利用通项公式，再讨论而确定有理数项;

【例i】求二项式（；X 3 X）9展开式中的有理项？

题型五奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和;

【过关练习】

若（3 1 5 b n的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024，求它的中间项。

题型六最大系数，最大项；

1

【例1】已知（2x）n，若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项2

式系数最大项的系数是多少？

【过关练习】

在（a b）2n的展开式中，二项式系数最大的项是多少?

256，求n.