特殊分式方程的几种特殊解法

特殊分式方程的几种特殊解法

解分式方程最常用的方法是去分母法，把分式方程化为整式方程，以之求解的过程，但在一些具体方程中，若用去分母的方法，其未知数的次数会增大，运算复杂，计算量加大，易出现错误，因此要善于观察具体方程的特点，对一些特分

式方程，采用特殊方法，会简化解题过程。

一. 比例法

例1. 解方程x x a b a b b -+=-+≠110()

分式：观察方程，形如：

A B D C =的形式，可根据比例“两外项之积等于两内项之积”而直接求解。

解：原方程化为

()()()()x a b a b x -+=-+11

整理得22bx a = b x a b ≠∴=0， 例2. 解方程：23313222--=-+x x x x

解：原方程化为

()()()()23223231-+=--x x x x 整理得137x =，

∴=x 713 经检验

x =713是原方程的根。

二. 换元法

例3. 解方程y y y y -+-+-=324830

分析：本题若移项，形如A B D C =，如果用比例法则去分母后方程变为

324702y y ++=，对一元二次方程我们还不能求解。因此，经观察发现483423y y y y +-=⋅+-，其中y y +-23与y y -+32互为倒数关系，可利用换元法简便求解。

解：设y y A -+=32，则原方程变形为 A A -=40 整理得A 24= ∴=±A 2

当A =2时，y y -+=322，解得y 17=-；

当A =-2时，y y -+=-332，解得

y 213=- 经检验，

y y 12713=-=-，都是原方程的解。

例4. 解方程组 32511442x y x y y x x y --+=--+=-⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪()()

分析：方程（1），（2）中都含有11x y

x y -+，，因此可运用换元法， 设11x y a x y b +=-=， 则方程组变形为

32544b a b a -=+=⎧⎨⎩ 解这个二元一次方程组，求出a 、b 的值，代入11x y

x y +-和中，即可解出x ，y 的值。

三. 倒数法

例5. 已知：x x x x +=+=1212122，求____________。

分析：已知条件中，x ，1x 互为倒数212

212=+，其中212，互为倒数关系，利用此关系，可有下面解法。 解：

x x +=+1212， ∴==

∴+=+=x x x x 21

2

141441422，或

例6. 解方程：

21323221174x x x x -+++-= 分析：方程的左边两项为倒数之和，因此可用倒数法简化求解，

设

213232211x x y x x y -+=+-=，则 解：原方程变形为

y y +=+1414 ∴==y y 414或 当y =4时，则21324x x -+=， 解之得

x 1910=- 当

y x x =-+=14213214时，则， 解之得x 265= 经检验

x x 1291065=-=，是原方程的根。

四局部通分法：

例1.

解方程：

x x x x x x x x -----=-----34456778 分析：该方程的特点是等号两边各是两个分式，相邻两个分式的分子与分子，分母与分母及每个分式的分子与分母都顺序相差1，象这类通常采取局部通分法。

解：方程两边分别通分并化简，得： 145178()()()()x x x x --=

--

去分母得：()()()()x x x x --=--4578

解之得：x ＝6

经检验：x ＝6是原分式方程的根。

点拨：此题如果用常规法，将出现四次项且比较繁，而采用局部通分法，就有明显的优越性。

但有的时候采用这种方法前需要考虑适当移项，组合后再进行局部通分。

3. 拆项裂项法：

例3. 解方程：12442212x x x x ++-+-= 分析：这道题虽然可用通分去分母的常规解法，但若将第二项拆项、裂项，则更简捷。

解：原方程拆项，变形为： ()()()()12222222221x x x x x x ++++-+---=

裂项为： 122222221x x x x ++-++--=

五 凑合法：

例4. 解方程：x x x x 4143412

+-=--- 分析：观察此方程的两个分式的分母是互为相反数，考虑移项后易于运算合并，能使运算过程简化。

解：部分移项得：

x x x x 4143412=--+---

∴x x x x 4143412=------

∴x 412=

∴x ＝2 经检验：x ＝2是原分式方程的根。

6. 构造法：

例5. 解方程：x x x x 221103++

+= 分析：此方程在形式上有很明显的特征，可以构造为型的方程x x k k +

=+11 来求解，而不用常规解法。

解：原方程可化为：

x x x x 221313+++=+

∴或x x x x 22313+=+=

解之得：，x x 12341132121621,,=-±=-± 经检验：，均是原分式方程的根。x x 12

341132121621,,=-±=-±

6. 比例法：

例6. 解方程：2562582422

2222x x x x x x x x +-+-=++++ 分析：由于方程两边分子、分母未知数的对应项系数相等，因此可以利用这样的恒等变形，即若，则有的性质，可使分母化为常数，从而简化a b c d a b a b c d c d

=+-=+- 运算。

解：应用上述性质，可将方程变形为：

()()()()()()()()

2562582562582422242222222222x x x x x x x x x

x x x x x x x +-++-+--+-=+++++++-++