人教B版(2019)高中数学必修第一册第二章《均值不等式及其应用》第2课时课件

情境与问题
复习：上节课我们一起学习了均值不等式，请同学们回顾一下 均值不等式的内容，以及我们利用均值不等式可以解决什么样 的问题？
如果a，b都是正数，那么 a b ≥ ab ，当且仅当a＝b时，等号成 2
立．利用均值不等式可以求最值、解决实际应用问题等．
问题：我们利用均值不等式还能解决什么问题呢？பைடு நூலகம்
新知探究
例3 已知a，b∈R，求证： （1）（a＋b）2≥4ab； （2）2（a2＋b2）≥（a＋b）2．
证明：（2）因为a2＋b2≥2ab，两边同时加上a2＋b2，得 2（a2＋b2）≥a2＋b2＋2ab，
即2（a2＋b2）≥（a＋b）2．
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证明： （3）注意到a2十x2≥2ax，b2＋y2≥2by，两式相加即可得到．
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新知探究
方法总结：利用均值不等式证明不等式的两种题型：（1）无附加条 件的不等式的证明．其解题思路：观察待证不等式的结构形式，若 不能直接使用均值不等式，则结合左、右两边的结构特征，进行拆 项、变形、配凑等，使之达到使用均值不等式的条件．（2）有附加 条件的不等式的证明．观察已知条件与待证不等式之间的关系，恰 当地使用已知条件，条件的巧妙代换是一种较为重要的变形．
归纳小结
回顾本节课，你有什么收获？ （1）均值不等式有哪些变形？如何证明？ （2）如何利用均值不等式及其变形证明不等式？
利用均值不等式证明不等式的注意点： （1）多次使用均值不等式时，要注意等号能否成立． （2）累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用． （3）对不能直接使用均值不等式的证明可重新组合，达到使用均值不等式的条件．
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新知探究
例4 （1）已知a，b，cR，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca； （2）已知a，b，c为正实数，求证： a2b2 b2c2 c2a2 ≥abc； abc （3）已知a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，求证：ax＋by≤1．
新知探究
例3 已知a，b∈R，求证： （1）（a＋b）2≥4ab； （2）2（a2＋b2）≥（a＋b）2．
证明：（1）因为a2＋b2≥2ab，两边同时加上2ab，得 a2＋b2＋2ab≥4ab，
即（a＋b）2≥4ab；
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再见
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新知探究
问题2 我们利用均值不等式可以证明不等式，可以直接利 用 a b ≥ ab（a，b都是正数），也可使用a＋b≥ 2 ab ．
2 你还有哪些变形呢？
(a b)2 ≥ 4ab ，ab ≤ ( a b)2． 2
新知探究
例1
已知ab＞0，求证：ba
a b
≥2，并推导出等号成立的条件．
证明：因为ab＞0，所以 b 0 ，a 0 ， ab
新知探究
例4 （1）已知a，b，cR，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca； （2）已知a，b，c为正实数，求证： a2b2 b2c2 c2a2 ≥abc； abc （3）已知a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，求证：ax＋by≤1．
证明： （2）注意到a2b2＋b2c2≥2ab2c，b2c2＋c2a2≥2bc2a， c2a2＋a2b2≥2ca2b即可；
根据均值不等式，得 b a ≥ 2 b a 2 ，即 b a ≥ 2 ，
ab
ab
ab
当且仅当 b a ，即a2＝b2时，等号成立． ab
因为ab＞0，所以等号成立的条件是a＝b．
新知探究
例2 已知a，b是实数，求证：a2＋b2≥2ab． 并说明等号成立的条件．
证明：因为a2＋b2－2ab＝（a－b）2≥0， 所以a2＋b2－2ab≥0，即a2＋b2≥2ab． 等号成立时，当且仅当（a－b）2＝0，即a＝b．
2.2.4 均值不等式及其应用
第2课时
整体概览
问题1 阅读课本第71~75页，回答下列问题： （1）本节将要研究哪类问题？ （2）本节研究的起点是什么？目标是什么？
（1）本节将要研究均值不等式及其应用．（2）起点是不等式的性质 以及比较法，目标是知道均值不等式，会证明均值不等式定理，会用 均值不等式解决简单的最大（小）问题．进一步提升数学运算、逻辑 推理等素养．
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新知探究
（a＋b）2≥4ab以及2（a2＋b2）≥（a＋b）2都是均值不等式的变形，
又其中2（a2＋b2）≥（a＋b）2又常变形为 a2 b2 ≥ ( a b )2 ．
2
2
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作业布置
作业：教科书P76练习B 3．
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新知探究
例2的结论也是经常要用的．不难看出，均值不等式与例5的结论既 有联系，又有区别． 区别在于例2中去掉了a，b是正数的条件，联系在于均值不等式可以 看成例2结论的一种特殊情况． 假设图中直角三角形的直角边分别为a，b，则显然图中大正方形的 面积大于四个直角三角形的面积之和，即a2＋b2≥2ab， 当且仅当小正方形的面积为0即a＝b时取等号．
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新知探究
例4 （1）已知a，b，cR，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca； （2）已知a，b，c为正实数，求证： a2b2 b2c2 c2a2 ≥abc； abc （3）已知a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，求证：ax＋by≤1．
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新知探究
【探索与研究】用Excel或其他计算机软件，完成下列数学 实验： （1）任取多组三个正教a，b，c，计算 a b c 和 3 abc 运后，比较它
3 们的大小，总结出一般规律；
（2）对四个正数、五个正数做同样的实验，总结出普遍规律．
一般地，a1 a2 n
等号成立．
an ≥ n a1a2
an ，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，
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证明： （1）由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca， 三个不等式相加即能得证；
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作业布置
补 已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：（1＋1 ）（1＋1 ）≥9．
a
b
因为a＞0，b＞0，a＋b＝1，
所以 1 1 ＝1 a b ＝ 2 b．
a
a
a
同理 1 1 ＝ 2 a．
b
b
故 (1 1 )(1 1) ＝ (2 b )(2 a ) ＝ 5 2( b a ) ≥ 5 4 ＝ 9．
ab
ab
ab
所以
(1
1 a
)(1
1 b
)
≥
9
，当且仅当a＝b＝
1 2
时取等号．
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