工程力学材料力学杆的稳定计算与校核
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HOHAI UNIVERSITY
工程中存在着很多受压杆件。
对于这些细长的压杆，其破坏并非由于强度不足，而是由 于荷载（压力）增大到一定数值后，不能保持原有直线平衡 形式而失效。
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HOHAI UNIVERSITY
1. 两端铰支细长压杆，当F力较小时，杆在力F 作用下将保持原有直线平衡形式。 此时，在其侧向施加微小干扰力使其弯曲，当 干扰力撤除后，杆仍可回复到原来的直线形式。 可见这种直线平衡形式是稳定的。
令
k2=
Fcr EI
得 w" +k2w =0
lw
M(x) Fcr x
w
x
x
w
w
Fcr
二阶常系数线性微分方程
其通解为 w =Asinkx+Bcoskx
A、B、k待定常数
6
HOHAI UNIVERSITY
w =Asinkx+Bcoskx 由杆的已知位移边界条件确定常数
x = 0，w = 0
得 B = 0，w =Asinkx
x = l，w = 0
得 Asinkl = 0
由 Asinkl=0 得 A=0（不可能）
x Fcr
l
或 sinkl = 0 即 kl = nπ (n = 0,1,2…）
k2=
Fcr EI
w
因此: Fcr =
最小的临界荷载（n=1）
n2π2EI l2
(n = 0,1,2…）
π2EI
Fcr =
l2
（Euler公式）7
3
HOHAI UNIVERSITY
稳定性问题在其它一些构件，如板、壳。一些薄壁构件中也 存在。如宽高比较小的悬臂梁，F力过大时会发生侧向失稳。
4
HOHAI UNIVERSITY
§14-2 细长压杆的临界荷载
在临界力Fcr作用下，细长压杆在微弯状态下平衡，若此时压杆 仍处在线弹性阶段，可应用梁的挠曲线近似微分方程及杆端约束
2
HOHAI UNIVERSITY
2. 当压力超过某一数值时，如作用一侧向微小干扰力使压杆 微弯，则在干扰力撤除后，杆不能回复到原来的直线平衡形 式，而在微弯状态下保持平衡。压杆原来的直线平衡形式是 不稳定的。
这种丧失原有平衡形式的现象称为丧失 稳定性，简称失稳。
压杆从稳定平衡过渡到不稳定平衡时，轴 向压力的临界值，称为临界力或临界荷载， 用Fcr表示。
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HOHAI UNIVERSITY
§14-3 欧拉公式的适用范围
一、压杆的临界应力 当压杆在临界荷载Fcr作用下，并仍处于直线形式的平衡状态时， 横截面上的正应力称为临界应力。
σcr =
Fcr A
=
π2EI (μl)2 A
i2=
I A
令 λ=
μl i
则有 σcr =
π2E λ2
λ——称为压杆的柔度（或细长比），它综合反映了压杆的几何
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HOHAI UNIVERSITY
§10-3 欧拉公式的适用范围
λP 为材料参数，不同的材料有不同的值。
如Q235钢， σP =200MPa E =200MPa
三、中小柔度杆的临界应力
λP =100
λ ≥ λP 为弹性失稳
λ < λP σcr >σP 压杆的失稳称为非弹性失稳
此时欧拉公式不再适用，工程上常以试验结果为依据的经验公 式来计算这类压杆的临界应力。如直线公式
条件求解临界力Fcr。
x
Fcr
1.两端铰支的细长压杆
设两端铰支的细长压杆在临界荷载
Fcr作用下，在xOw平面内处于微弯 状态。
l
w
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HOHAI UNIVERSITY
挠曲线近似微分方程为
x
EIw" = -M(x)
Fcr
x截面的弯矩为
M(x) = Fcr w
EIw" =-Fcr w
EIw" +Fcr w =0
公式讨论
π2EI Fcr = (μl)2
1. Fcr与抗弯刚度成EI正比，与相当长度μl的平方成反比；
2.当杆端约束在各个方向相同时（如球铰、空间固定端）， 压杆只可能在最小抗弯刚度平面内失稳，即I取Imin值；
最小抗弯刚度平面：惯性矩I为最小的 纵向平面
如矩形截面的Iy最小，xOz平面为最 小抗弯刚度平面。
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HOHAI UNIVERSITY
Euler公式的统一形式
π2EI Fcr = (μl)2
μ——长度系数 μl——相当长度
约束越强，μ越小，临界力Fcr越大。
两端铰支 一端固定一端自由
μ=1.0 μ=2.0
两端固定
μ=0.5
一端固定一端铰支
μ=0.7
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§10-2 细长压杆的临界荷载
HOHAI UNIVERSITY
w =Asinkx+Bcoskx k = π/l
压杆的挠曲线方程为
w =Asinπl x （半波正弦曲线）
x=
l 2
时
wmax= A
A是压杆中点的挠度wmax。
x Fcr
l
w
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HOHAI UNIVERSITY
2.不同杆端约束下压杆的临界力
x Fcr
AA
x Fcr
w
尺寸和杆端约束对压杆承载能力的影响。
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HOHAI UNIVERSITY
§10-3 欧拉公式的适用范围
二、欧拉公式的适用范围
推导欧拉公式时， 杆处于线弹性状态。
σcr ≤ σP
故欧拉公式的适用条件
σcr =
π2E λ2
≤ σP
√ 令 λP =
π2E
σP
√λ ≥
π2E
σP
λ ≥ λP
满足该条件的压杆称为细长压杆（或大柔度杆）。
σcr=a-b λ
a、b为与材料有关的常数，由试验确定。
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HOHAI UNIVERSITY
§10-2 细长压杆的临界荷载 27.5
3.实际工程中的压杆。其杆端约束有很多变化，要根据具体
情况选取适当的长度系数μ值。
4.实际工程中的压杆，非理想的均质直杆，荷载也总会有小的 偏心，因此其临界力比公式计算出的为小，这可以在安全系数 里考虑，故实际工程中压杆仍可按该公式计算其临界荷载。
l w
x
Bபைடு நூலகம் w
l x
w
x
x
Fcr
Fcr
A
A
l w
lw
x
x
B
B
w
w
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类比法
Fcr
l
Fcr
l 2l
Fcr
一端固定一端自由的细长压杆，长度2l范围内与两端铰支细长 压杆挠曲线形状相同。
π2EI Fcr = （2l）2
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类比法
Fcr
l
Fcr l/4 l/2 l/4
两端固定细长压杆，长度0.5l范围内与两端铰支细长 压杆挠曲线形状相同。
π2EI Fcr = (0.5l)2
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类比法
Fcr
l
Fcr 0.7l 0.3l
一端固定，另一端铰支的细长压杆，在0.7l范围内与两端铰支 细长压杆挠曲线形状相同。
Fcr =
π2EI (0.7l)2
工程中存在着很多受压杆件。
对于这些细长的压杆，其破坏并非由于强度不足，而是由 于荷载（压力）增大到一定数值后，不能保持原有直线平衡 形式而失效。
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1. 两端铰支细长压杆，当F力较小时，杆在力F 作用下将保持原有直线平衡形式。 此时，在其侧向施加微小干扰力使其弯曲，当 干扰力撤除后，杆仍可回复到原来的直线形式。 可见这种直线平衡形式是稳定的。
令
k2=
Fcr EI
得 w" +k2w =0
lw
M(x) Fcr x
w
x
x
w
w
Fcr
二阶常系数线性微分方程
其通解为 w =Asinkx+Bcoskx
A、B、k待定常数
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w =Asinkx+Bcoskx 由杆的已知位移边界条件确定常数
x = 0，w = 0
得 B = 0，w =Asinkx
x = l，w = 0
得 Asinkl = 0
由 Asinkl=0 得 A=0（不可能）
x Fcr
l
或 sinkl = 0 即 kl = nπ (n = 0,1,2…）
k2=
Fcr EI
w
因此: Fcr =
最小的临界荷载（n=1）
n2π2EI l2
(n = 0,1,2…）
π2EI
Fcr =
l2
（Euler公式）7
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稳定性问题在其它一些构件，如板、壳。一些薄壁构件中也 存在。如宽高比较小的悬臂梁，F力过大时会发生侧向失稳。
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§14-2 细长压杆的临界荷载
在临界力Fcr作用下，细长压杆在微弯状态下平衡，若此时压杆 仍处在线弹性阶段，可应用梁的挠曲线近似微分方程及杆端约束
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2. 当压力超过某一数值时，如作用一侧向微小干扰力使压杆 微弯，则在干扰力撤除后，杆不能回复到原来的直线平衡形 式，而在微弯状态下保持平衡。压杆原来的直线平衡形式是 不稳定的。
这种丧失原有平衡形式的现象称为丧失 稳定性，简称失稳。
压杆从稳定平衡过渡到不稳定平衡时，轴 向压力的临界值，称为临界力或临界荷载， 用Fcr表示。
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HOHAI UNIVERSITY
§14-3 欧拉公式的适用范围
一、压杆的临界应力 当压杆在临界荷载Fcr作用下，并仍处于直线形式的平衡状态时， 横截面上的正应力称为临界应力。
σcr =
Fcr A
=
π2EI (μl)2 A
i2=
I A
令 λ=
μl i
则有 σcr =
π2E λ2
λ——称为压杆的柔度（或细长比），它综合反映了压杆的几何
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§10-3 欧拉公式的适用范围
λP 为材料参数，不同的材料有不同的值。
如Q235钢， σP =200MPa E =200MPa
三、中小柔度杆的临界应力
λP =100
λ ≥ λP 为弹性失稳
λ < λP σcr >σP 压杆的失稳称为非弹性失稳
此时欧拉公式不再适用，工程上常以试验结果为依据的经验公 式来计算这类压杆的临界应力。如直线公式
条件求解临界力Fcr。
x
Fcr
1.两端铰支的细长压杆
设两端铰支的细长压杆在临界荷载
Fcr作用下，在xOw平面内处于微弯 状态。
l
w
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挠曲线近似微分方程为
x
EIw" = -M(x)
Fcr
x截面的弯矩为
M(x) = Fcr w
EIw" =-Fcr w
EIw" +Fcr w =0
公式讨论
π2EI Fcr = (μl)2
1. Fcr与抗弯刚度成EI正比，与相当长度μl的平方成反比；
2.当杆端约束在各个方向相同时（如球铰、空间固定端）， 压杆只可能在最小抗弯刚度平面内失稳，即I取Imin值；
最小抗弯刚度平面：惯性矩I为最小的 纵向平面
如矩形截面的Iy最小，xOz平面为最 小抗弯刚度平面。
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Euler公式的统一形式
π2EI Fcr = (μl)2
μ——长度系数 μl——相当长度
约束越强，μ越小，临界力Fcr越大。
两端铰支 一端固定一端自由
μ=1.0 μ=2.0
两端固定
μ=0.5
一端固定一端铰支
μ=0.7
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§10-2 细长压杆的临界荷载
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w =Asinkx+Bcoskx k = π/l
压杆的挠曲线方程为
w =Asinπl x （半波正弦曲线）
x=
l 2
时
wmax= A
A是压杆中点的挠度wmax。
x Fcr
l
w
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2.不同杆端约束下压杆的临界力
x Fcr
AA
x Fcr
w
尺寸和杆端约束对压杆承载能力的影响。
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§10-3 欧拉公式的适用范围
二、欧拉公式的适用范围
推导欧拉公式时， 杆处于线弹性状态。
σcr ≤ σP
故欧拉公式的适用条件
σcr =
π2E λ2
≤ σP
√ 令 λP =
π2E
σP
√λ ≥
π2E
σP
λ ≥ λP
满足该条件的压杆称为细长压杆（或大柔度杆）。
σcr=a-b λ
a、b为与材料有关的常数，由试验确定。
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§10-2 细长压杆的临界荷载 27.5
3.实际工程中的压杆。其杆端约束有很多变化，要根据具体
情况选取适当的长度系数μ值。
4.实际工程中的压杆，非理想的均质直杆，荷载也总会有小的 偏心，因此其临界力比公式计算出的为小，这可以在安全系数 里考虑，故实际工程中压杆仍可按该公式计算其临界荷载。
l w
x
Bபைடு நூலகம் w
l x
w
x
x
Fcr
Fcr
A
A
l w
lw
x
x
B
B
w
w
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类比法
Fcr
l
Fcr
l 2l
Fcr
一端固定一端自由的细长压杆，长度2l范围内与两端铰支细长 压杆挠曲线形状相同。
π2EI Fcr = （2l）2
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类比法
Fcr
l
Fcr l/4 l/2 l/4
两端固定细长压杆，长度0.5l范围内与两端铰支细长 压杆挠曲线形状相同。
π2EI Fcr = (0.5l)2
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类比法
Fcr
l
Fcr 0.7l 0.3l
一端固定，另一端铰支的细长压杆，在0.7l范围内与两端铰支 细长压杆挠曲线形状相同。
Fcr =
π2EI (0.7l)2