EOF分析及其应用
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Z V X
T
南亚wk.baidu.com季风爆发前后降水量时空变化特征
分析表明，南亚夏季风的爆发主要体现在降 水的突然增加和季风雨带的快速推进上，雨 带的时空分布有突变的特点。 第1 模态——降水量的突然增加。 第2 模态——从南向北的快速推进过程。 第3模态——东西分布型态，及在季风爆发 后印度半岛降水快速增加的过程。 第4模态——印度次大陆东海岸降水的准双 周振荡型态。
Butterfly Effect
m
n
m
p
五、重要参数
第i个特征向量对X场的贡献率
i i
i 1
m
m
i
前p个特征向量对X场的贡献率
i i
i 1 i p
i 1
i
六、计算步骤
1）根据分析目的，对原始资料矩阵X作距 平或者标准化处理； 2）由X求协方差矩阵 A XX T ； 3）求实对称矩阵A的全部特征值 h、特征 向量 Vh，h=1~H（通常使用Jacobi法）；
4）将特征值作非升序排列（通常使用 沉浮法），并对特征向量序数作相应变动； 5）根据 h ,h=1~H和X总方差，求出全 部 h 、Ph , h=1~H； 6）由X及主要 Vh 求其时间系数 Z h 、 h=1~H，主要的数量由分析目的及分析对象 定； 7）输出主要计算结果。
七 经验正交函数的物理意义
EOF分析及其应用
一、引 言 经验正交函数（EOF）方法：最早由统计学家 pearson（1902）提出，由Lorenz（1956）引入气象 问题分析中。该方法以场的时间序列为分析对象， 由于对计算条件要求甚高，直到20世纪60年代后期 才在实际工作中得到广泛应用。 近30年来，出现了适合于各种分析目的的EOF分析方 法，如扩展EOF（EEOF）方法，旋转EOF（REOF）方 法，风场EOF（EOFW）方法，复变量EOF（CEOF）方 法。
其中，
v11 v 21 V v m1 v12 v 22 vm2
z11 v1m v2m z 21 Z z v mm m1
T
z12 z 22 zm2
z 1n z 2n z mn
八、时空转换问题 当 m n 时，先求出 X T X 的特征值， 然后求 XX T 的特征向量，这种方法叫时 空转换。 令 X T X 的特征值为 i ，其特征向量 为 u i ， XX T 的特征值也为 i ，其 特征向量为 v i
vi Xui
i
V v1 , v2 ,, vm
特征向量以及时间系数的分析。 vv第一特征向量（第一空间典型场）是与n 张X图平均最相似的，或者说具有与所要展开的 资料矩阵的n个样本最相似的特征。比如：若原 始资料矩阵是7月份50年实测将水场（非距平 场），则第一特征向量就可以解释为这50年的 平均场，其相应的时间系数基本对应我国大尺 度旱涝年。但当降水场由距平组成，第一特征 向量就解释为与50年夏季距平场最相似的特征 场，它指出了我国夏季经常出现的大尺度涝区 和旱区。
Z V X
T
z it
v
k 1
m
ki
x kt
Z就是时间系数矩阵，zit 第i个格点上的 第t 个时间系数。
四、误差估计和计算
ˆ X X mV p . p Z n
是拟合场. 可以证明误差
ˆ X
ˆ Q ( xit xit )2 i i
i 1 t 1 i 1 i 1
1951 - 2004 年500 hPa 7 - 8 月平均风场EOF 分解的第一特征向量 图(a)和标准化的时间权重系数(b) (图中斜直线是回归线)
盛夏500 hPa 第一时间权重系数与我国同期平均温度(a) 和月总降水量(b) 的相关系数图
图中,淡灰(灰,黑色) 是0. 05 (0. 01 ,0. 001) 信度的相对区
第1 模态——降水量的突然增加
降水量的第2 模态 -从南向北的快速推进过程
降水量的第3 模态
东西分布型态，及在季风爆发后印度半岛降水快速增加 的过程
降水量的第4 模态 印度次大陆东海岸降水的准双周振荡型态
我国盛夏500 hPa 风场的EOF 分析及 其与大尺度气候异常的关系
将东亚500 hPa 风场,温度场,降水量场进 行经验正交分解,得到它们的主要模态的 时空变化特征。结果表明东亚风场EOF 的主要模态与我国温度,降水量的EOF 的 主要模态对应,其第一EOF 模态与盛夏温 度,降水量的关系密切。
p T i
i j i j
i j i j
性 质
Zi Z
T j
z it z jt
t 1
n
0 i
i , j 1,2 , , m
三、分解方法
XX
T
VZZ V
T
T
A XX
V AV
T
T
A为实对称矩阵，根据实对称矩阵分解原理， 一定有
或者
A VV
T
V的列就是A的特征向量， 是A的 特征值组成的对角矩阵。
二、EOF分析方法原理 将某气候变量场的观测资料以矩阵形 式给出
x11 x 21 X x m1 x12 x 22 xm 2 x1n x2n x mn
m是空间点（观测站或网格点）， n是时间序列长度（观测次数）。
v j (v1 j , v2 j ,, vmj )
是第j个典型场，只是空间的函数。
第t个空间场可表示为
x1t v11 v1m v12 x 2t v 21 v 22 v 2 m z z1t z 2t mt v m 2 x mt v m1 v mm
Thank you!!!
Karl Pearson
Karl Pearson（1857～1936） 统 计学之父。 K. Pearson 1879年毕业于剑桥 大学数学系；1884年进入伦敦大 学学院 。 K. Pearson 最重要的学术成就 ，是为现代统计学打下基础。K. Pearson 在1893-1912年间写出18篇 〈在演化论上的数学贡献〉的文 章，而这门「算术」，也就是今 日的统计。许多熟悉的统计名词 如标准差，成分分析，卡方检定 都是他提出的。
1951 - 2004 年我国7 - 8 月月平均温度(a) 和月总降水量(b) 的第一 特征向量图
图b
图a
参考文献
魏凤英，《现代气候统计诊断与预测技术》，气象出版社，北京，2007; EOF在大气科学研究中的新进展；丁裕国；《气象科技》199303期 ； 近年来中国统计气象学的新进展；周家斌 黄嘉佑 ；《气象学报》 1997 年03期 ； 我国盛夏500 hPa 风场的EOF 分析及其与大尺度气候异常的关系。顾 泽， 封国林，顾骏强，施 能； 南亚夏季风爆发前后降水量时空变化特征。朱 敏，张 铭；
EOF分解的优点
1，没有固定的函数； 2，能在有限区域对不规则分布的站点进行分解； 3，展开收敛快，很容易将变量场的信息集中在几个模 态上； 4，分离出的空间结构具有一定的物理意义；
EOF方法不但用于观测资料的分析，还用 于GCM资料的分析和数值模式的设计。现在， EOF方法已作为一种基本的分析手段频繁地出 现在大气科学研究的文献中。
Lorenz，Edward Norton
混沌理论之父、MIT教授 One of the great modern science stories is the so-called "Butterfly Effect". It suggests that the weather is so sensitive to tiny changes, that something as microscopic as a butterfly flapping its wings in Brazil could set off a tornado in Texas
气象场的自然正交展开，是将X分解为时间函 数Z和空间函数V两部分,即
X VZ
或者
xit vik z kt vi1 z 1t vi 2 z 2t vip z pt
k 1 p
i 1,2, , m t 1,2, , n k 1,2,, p
含义：场中第i个格点上的第t次观测值，可以 看作是p个空间函数 vik 和时间函数 z ki 的线性组 合。
或者
xt v1 z1t v 2 z 2t v m z mt
上式表明，第t个场可以表示为m个空间 典型场，按照不同的权重线性叠加而成。V 的每一列表示一个空间典型场，由于这个场 由实际资料确定，故又叫经验正交函数。 上述分解要求满足下列两个条件：
0 v v j vki vkj k 1 1
T
南亚wk.baidu.com季风爆发前后降水量时空变化特征
分析表明，南亚夏季风的爆发主要体现在降 水的突然增加和季风雨带的快速推进上，雨 带的时空分布有突变的特点。 第1 模态——降水量的突然增加。 第2 模态——从南向北的快速推进过程。 第3模态——东西分布型态，及在季风爆发 后印度半岛降水快速增加的过程。 第4模态——印度次大陆东海岸降水的准双 周振荡型态。
Butterfly Effect
m
n
m
p
五、重要参数
第i个特征向量对X场的贡献率
i i
i 1
m
m
i
前p个特征向量对X场的贡献率
i i
i 1 i p
i 1
i
六、计算步骤
1）根据分析目的，对原始资料矩阵X作距 平或者标准化处理； 2）由X求协方差矩阵 A XX T ； 3）求实对称矩阵A的全部特征值 h、特征 向量 Vh，h=1~H（通常使用Jacobi法）；
4）将特征值作非升序排列（通常使用 沉浮法），并对特征向量序数作相应变动； 5）根据 h ,h=1~H和X总方差，求出全 部 h 、Ph , h=1~H； 6）由X及主要 Vh 求其时间系数 Z h 、 h=1~H，主要的数量由分析目的及分析对象 定； 7）输出主要计算结果。
七 经验正交函数的物理意义
EOF分析及其应用
一、引 言 经验正交函数（EOF）方法：最早由统计学家 pearson（1902）提出，由Lorenz（1956）引入气象 问题分析中。该方法以场的时间序列为分析对象， 由于对计算条件要求甚高，直到20世纪60年代后期 才在实际工作中得到广泛应用。 近30年来，出现了适合于各种分析目的的EOF分析方 法，如扩展EOF（EEOF）方法，旋转EOF（REOF）方 法，风场EOF（EOFW）方法，复变量EOF（CEOF）方 法。
其中，
v11 v 21 V v m1 v12 v 22 vm2
z11 v1m v2m z 21 Z z v mm m1
T
z12 z 22 zm2
z 1n z 2n z mn
八、时空转换问题 当 m n 时，先求出 X T X 的特征值， 然后求 XX T 的特征向量，这种方法叫时 空转换。 令 X T X 的特征值为 i ，其特征向量 为 u i ， XX T 的特征值也为 i ，其 特征向量为 v i
vi Xui
i
V v1 , v2 ,, vm
特征向量以及时间系数的分析。 vv第一特征向量（第一空间典型场）是与n 张X图平均最相似的，或者说具有与所要展开的 资料矩阵的n个样本最相似的特征。比如：若原 始资料矩阵是7月份50年实测将水场（非距平 场），则第一特征向量就可以解释为这50年的 平均场，其相应的时间系数基本对应我国大尺 度旱涝年。但当降水场由距平组成，第一特征 向量就解释为与50年夏季距平场最相似的特征 场，它指出了我国夏季经常出现的大尺度涝区 和旱区。
Z V X
T
z it
v
k 1
m
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x kt
Z就是时间系数矩阵，zit 第i个格点上的 第t 个时间系数。
四、误差估计和计算
ˆ X X mV p . p Z n
是拟合场. 可以证明误差
ˆ X
ˆ Q ( xit xit )2 i i
i 1 t 1 i 1 i 1
1951 - 2004 年500 hPa 7 - 8 月平均风场EOF 分解的第一特征向量 图(a)和标准化的时间权重系数(b) (图中斜直线是回归线)
盛夏500 hPa 第一时间权重系数与我国同期平均温度(a) 和月总降水量(b) 的相关系数图
图中,淡灰(灰,黑色) 是0. 05 (0. 01 ,0. 001) 信度的相对区
第1 模态——降水量的突然增加
降水量的第2 模态 -从南向北的快速推进过程
降水量的第3 模态
东西分布型态，及在季风爆发后印度半岛降水快速增加 的过程
降水量的第4 模态 印度次大陆东海岸降水的准双周振荡型态
我国盛夏500 hPa 风场的EOF 分析及 其与大尺度气候异常的关系
将东亚500 hPa 风场,温度场,降水量场进 行经验正交分解,得到它们的主要模态的 时空变化特征。结果表明东亚风场EOF 的主要模态与我国温度,降水量的EOF 的 主要模态对应,其第一EOF 模态与盛夏温 度,降水量的关系密切。
p T i
i j i j
i j i j
性 质
Zi Z
T j
z it z jt
t 1
n
0 i
i , j 1,2 , , m
三、分解方法
XX
T
VZZ V
T
T
A XX
V AV
T
T
A为实对称矩阵，根据实对称矩阵分解原理， 一定有
或者
A VV
T
V的列就是A的特征向量， 是A的 特征值组成的对角矩阵。
二、EOF分析方法原理 将某气候变量场的观测资料以矩阵形 式给出
x11 x 21 X x m1 x12 x 22 xm 2 x1n x2n x mn
m是空间点（观测站或网格点）， n是时间序列长度（观测次数）。
v j (v1 j , v2 j ,, vmj )
是第j个典型场，只是空间的函数。
第t个空间场可表示为
x1t v11 v1m v12 x 2t v 21 v 22 v 2 m z z1t z 2t mt v m 2 x mt v m1 v mm
Thank you!!!
Karl Pearson
Karl Pearson（1857～1936） 统 计学之父。 K. Pearson 1879年毕业于剑桥 大学数学系；1884年进入伦敦大 学学院 。 K. Pearson 最重要的学术成就 ，是为现代统计学打下基础。K. Pearson 在1893-1912年间写出18篇 〈在演化论上的数学贡献〉的文 章，而这门「算术」，也就是今 日的统计。许多熟悉的统计名词 如标准差，成分分析，卡方检定 都是他提出的。
1951 - 2004 年我国7 - 8 月月平均温度(a) 和月总降水量(b) 的第一 特征向量图
图b
图a
参考文献
魏凤英，《现代气候统计诊断与预测技术》，气象出版社，北京，2007; EOF在大气科学研究中的新进展；丁裕国；《气象科技》199303期 ； 近年来中国统计气象学的新进展；周家斌 黄嘉佑 ；《气象学报》 1997 年03期 ； 我国盛夏500 hPa 风场的EOF 分析及其与大尺度气候异常的关系。顾 泽， 封国林，顾骏强，施 能； 南亚夏季风爆发前后降水量时空变化特征。朱 敏，张 铭；
EOF分解的优点
1，没有固定的函数； 2，能在有限区域对不规则分布的站点进行分解； 3，展开收敛快，很容易将变量场的信息集中在几个模 态上； 4，分离出的空间结构具有一定的物理意义；
EOF方法不但用于观测资料的分析，还用 于GCM资料的分析和数值模式的设计。现在， EOF方法已作为一种基本的分析手段频繁地出 现在大气科学研究的文献中。
Lorenz，Edward Norton
混沌理论之父、MIT教授 One of the great modern science stories is the so-called "Butterfly Effect". It suggests that the weather is so sensitive to tiny changes, that something as microscopic as a butterfly flapping its wings in Brazil could set off a tornado in Texas
气象场的自然正交展开，是将X分解为时间函 数Z和空间函数V两部分,即
X VZ
或者
xit vik z kt vi1 z 1t vi 2 z 2t vip z pt
k 1 p
i 1,2, , m t 1,2, , n k 1,2,, p
含义：场中第i个格点上的第t次观测值，可以 看作是p个空间函数 vik 和时间函数 z ki 的线性组 合。
或者
xt v1 z1t v 2 z 2t v m z mt
上式表明，第t个场可以表示为m个空间 典型场，按照不同的权重线性叠加而成。V 的每一列表示一个空间典型场，由于这个场 由实际资料确定，故又叫经验正交函数。 上述分解要求满足下列两个条件：
0 v v j vki vkj k 1 1