圆周运动的临界问题

圆周运动的临界问题

1.如图所示，粗糙水平地面与半径为R=0.5m的粗糙半圆轨道BCD相连接，且在同

一竖直平面内，O是BCD的圆心，BOD在同一竖直线上．质量为m=1kg的小物块在水平恒力F=15N的作用下，从A点由静止开始做匀加速直线运动，当小物块运动到B点时撤去F，小物块沿半圆轨道运动恰好能通过D点，已知A、B间的距离为3m，小物块与地面间的动摩擦因数为0.3，重力加速度g取10m/s2.求：

(1)小物块运动到B点时对圆轨道B点的压力大小．

(2)小物块离开D点后落到地面上的点与B点之间的距离．

2.如图，水平桌面中心O处有一个小孔，用细绳穿过光滑小孔，绳两端各系质量M=

0.6kg的物体A和m=0.3kg的物体B，A的中心与圆孔的距离为0.2m．

(1)如果水平桌面光滑且固定，求A物体做匀速圆周运动的角速度ω应是多大？

(2)如果水平桌面粗糙，且与A之间的最大摩擦力为1N，现使此平面绕中心轴线水

平转动，角速度ω在什么范围内，A可与平面处于相对静

止状态？(g=10m/s2)

3.如图所示，在光滑的圆锥顶端，用长为L=2m的细绳悬一质

量为m=1kg的小球，圆锥顶角为2θ=74°.求：

(1)当小球ω=1rad/s的角速度随圆锥体做匀速圆周运动时，

细绳上的拉力。

(2)当小球以ω=5rad/s的角速度随圆锥体做匀速圆周运动

时，细绳上的拉力。

4.如图所示，质量M=2kg的物体置于可绕竖直轴匀速

转动的平台上，m用细绳通过光滑的定滑轮与质量为

m=1.6kg的物体相连，m悬于空中与M都处于静止

状态，假定M与轴O的距离r=0.5m，与平台的最

大静摩擦力为其重力的0.6倍，试问：

(1)M受到的静摩擦力最小时，平台转动的角速度ω0

为多大？

(2)要保持M与平台相对静止，M的线速度的范围？

5.如图所示，圆盘可绕过圆心O的竖直轴在水平面内做匀速圆周运动，物体P放在

圆盘上，一轻质弹簧一端连接物体P，另一端固定在竖直轴上。已知物体的质量m=

0.5kg，弹簧的自然长度l=10cm，劲度系数k=75N/m，物体与圆盘表面的动

摩擦因数μ=0.8，P可看作质点，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10m/s2。

当圆盘以角速度ω=5√2rad/s转动时，P与圆盘相对静止，弹簧恰处于原长位置。

求：

(1)此时P对圆盘的作用力都有哪些，各为多大？

(2)为使P与圆盘保持相对静止，弹簧长度的取值范围多大？(假设弹簧均未超出弹

性限度)

6.如图所示，装置BO′O可绕竖直轴O′O转动，可视为质点的小球A与两细线连接后分

别系于B、C两点，装置静止时细线AB水平，细线AC与竖直方向的夹角θ=37º。

已知小球的质量m=1kg，细线AC长l=1m，B点距C点的水平和竖直距离相

等。(重力加速度g取10m/s2，sin37∘=3

5，cos37∘=4

5

)

(1)若装置匀速转动的角速度为ω1时，细线AB上的张力为零而细线AC与竖直方向

夹角仍为37º，求角速度ω1的大小；

(2)若装置匀速转动的角速度ω2=√50

3

rad/s，求细线AC与竖直方向的夹角；

(3)装置可以以不同的角速度匀速转动，试通过计算讨论细线AC上张力T随ω2的

变化关系(请用m、l和ω表示)。

7.如图所示，水平转盘上放有一个质量为m的小物体，小物体离转动轴的距离为r，

转轴与小物体间用一根刚好伸直的细线相连，小物体和转盘间的最大静摩擦力等于重力的µ倍，细线所能承受的最大拉力为3µmg.求：

(1)当转盘角速度为ω 1=√μg

2r

时，细线的拉力为多大？

(2)若小物体始终相对转盘静止，转盘转动的最大角速度是多少？

8.如图所示，有一可绕竖直中心轴转动的水平圆盘，上面放置劲度系数k=46N/m的

弹簧，弹簧的一端固定于轴O上，另一端连接质量m=1.0kg的小物块A，物块与盘间的动摩擦因数μ=0.20，开始时弹簧未发生形变，长度l0=0.50m，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取g=10m/s2.则

(1)当圆盘的转动周期T=5.0s时，物块在初始位置与圆盘一起转动，求物块受到的

向心力大小F；

(2)圆盘的角速度多大时，物块A将开始滑动？

(3)当角速度缓慢地增加到4.0rad/s时，弹簧的伸长量是多少？(弹簧始终在弹性限

度内且物块未脱离圆盘)

9.如图所示，在匀速转动的圆盘上，沿半径方向放置以细线相连的质量均为m的A、

B两个小物块，A离轴心r1=20cm，B离轴心r2=30cm，A、B与盘面间相互作用的最大静摩擦力为其重力的0.4倍．求：

(1)若细线上没有张力，圆盘转动的角速度ω应满足什么条件？

(2)欲使A、B与盘面间不发生相对滑动，则盘转动的最大角速度多大？

(3)当圆盘转速达到A、B刚好不滑动时，烧断细绳，则A、B将怎样运动？(g取

10m/s2)

答案和解析

1.【答案】解：(1)小物块在水平面上从A运动到B过程中

根据动能定理有：(F−μmg)x AB=1

2

mv B2−0 

在B点，以物块为研究对象，根据牛顿第二定律得：N−mg=m v B2

R

联立解得小物块运动到B点时轨道对物块的支持力为：N=154N

由牛顿第三定律可得，小物块运动到B点时对圆轨道B点的压力大小为：N′=N=154N

(2)因为小物块恰能通过D点，所以在D点小物块所受的重力等于向心力，即：mg=m v D2

R 可得：v D=√5m/s

设小物块落地点距B点之间的距离为x，下落时间为t

根据平抛运动的规律有：x=v D t，2R=1

2

gt2

解得：x=1m

答：(1)小物块运动到B点时对圆轨道B点的压力大小为154N.

(2)小物块离开D点后落到地面上的点与B点之间的距离为1m．

【解析】本题是动能定理、牛顿第二定律和平抛运动规律的综合应用，关键是确定运动过程，分析运动规律，知道物体恰好到达圆周最高点的临界条件：重力等于向心力。

(1)小物块从A运动到B的过程中，根据动能定理求出物块到达B点时的速度。在B点，

由牛顿第二定律求出轨道对物块的支持力，从而得到物块对轨道的压力。

(2)因为小物块恰好能通过D点，所以在D点小物块所受重力等于向心力，由牛顿第二

定律求出小物块通过D点的速度。小物块离开D点做平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，由运动学公式求解落到水平地面上的点与B点之间的距离。

2.【答案】解：(1)若水平桌面光滑固定，则A做圆周运动靠拉力提供向心力

则有：F=Mrω2

F=mg

解得ω=√mg

Mr =√3

0.6×0.2

rad/s=5rad/s

(2)若水平桌面粗糙，当角速度最大时，有：F+f m=Mrω12，F=mg 代入数据解得ω1=10√3

3

rad/s

当角速度最小时，有：F−f m=Mrω22，F=mg

代入数据解得ω2=5√6

3

rad/s

知角速度5√6

3rad/s≤ω≤10√3

3

rad/s，A可与平面处于相对静止状态。

答：(1)A物体做匀速圆周运动的角速度ω应是5rad/s；

(2)角速度5√6

3rad/s≤ω≤10√3

3

rad/s，A可与平面处于相对静止状态。

【解析】(1)若水平面光滑且固定，A物体靠拉力提供向心力，仅根据拉力等于B的重力求出圆周运动的角速度；