全国高中数学联赛预赛试题

全国高中数学联赛预赛试题 （考试时间：9月24日上午8:3011:00）

一．填空题（共2题，每题10分，合计80分）

1．设多项式()f x 满足：对于任意x R ∈，都有2

(1)(1)24,f x f x x x ++-=-则()f x 的最小值是＿＿＿＿＿＿.

2．数列{},{}n n a b 满足：1,1,2,,k k a b k ==已知数列{}n a 的前n 项和为1

n n

A n =

+，则数列{}n b 的前n 项和n B =＿＿＿＿＿＿.

3

．函数()f x =.

4．过抛物线2

8y x =的焦点F ,作一条斜率为2的直线l ，若l 交抛物线于,A B 两点，则

OAB ∆的面积是＿＿＿＿＿＿.

5.若ABC ∆为锐角三角形，满足

sin cos()sin A

A B B

=+，则tan A 的最大值为＿＿＿＿＿＿. 6.若正三棱锥的内切球半径为1，则其体积的最小值为＿＿＿＿＿＿.

7.将1,2,,9随机填入右图正方形ABCD 的九个格子中，则其每行三数，每列三数自上而下、自左而右顺次成等差数列的概率p =＿＿＿＿＿＿.

8.将集合{1,2,

12}M =的元素分成不相交的三个子集：

M A B C =⋃⋃，其中123412341234{,,,}{,,,}{,,,}A a a a a B b b b b C c c c c ===，1c ＜2c ＜

3c ＜4c ，且k k k a b c +=，1,2,3,4,k =则集合C 为：＿＿＿＿＿＿.

二．解答题（共2题，合计70分）

9.（20分）如图，AB 是圆的一条弦，它将圆分成两部分，M 、N 分别是两段弧的中点，以点B 为旋转中心，将弓形AMB 顺时针旋转一个角度成弓形1A MB ，1AA 的中点为P ，

MN 的中点为Q .求证：2MN PQ =.

10.（25分）给定椭圆2222:1,(x y C a a b

+=＞b ＞0)以及圆222

:O x y b +=，自椭圆上异

于其顶点的任意一点P ，做

O 的两条切线，切点为,M N ，若直线MN 在,x y 轴上的截

距分别为,m n ；证明：222

222a b a n m b

+=.

11.（25分）对于2n 个素数组成的集合122{,,,}n M p p p =，将其元素两两搭配成n 个乘

积，得到一个n 元集，如果1234212{,,

,,}n n A a a a a a a -=与1234{,B b b b b =,

,

212}n n b b -是由此得到的两个n 元集，其中122{,,,}n a a a =122{,,

,}n b b b M =，且

A B ⋂=∅，就称集合对{,}A B 是由M 炮制成的一副“对联”.(例如当2n =时，由四元集

{,,,}a b c d 可炮制成三副“对联”：{,}ab cd {,}ac bd ，{,}

ab cd {,}ad bc

{,}

ac bd {,}ad bc ).

(1).当3n =时，求6元素集M {,,,,,}a b c d e f =所能炮制成的“对联”数； （2）对于一般的2n ≥，求由2n 元素集M 所能炮制成的“对联”数()T n .

全国高中数学联赛

预赛试题答案

1.2

2.

(1)(2)

3

n n n ++

3.30,

3⎡⎢⎣

⎦

4.45

5.

4

6.7.

89!

8.{8,9,10,12},{7,9,11,12},{6,10,11,12}

9.思路：取AB 中点E ，1A B 中点F ，可证PEBF 为菱形； 证明角MFP=角PEN ； 再证角PNE=角MPF ； 然后证角MPN 为直角

10.关键步骤：设P 点坐标00(,)x y ，易的OMPN 四点共圆，此圆方程减圆O 方程得直

线MN 方程2

00x x y y b +=

11.（1）60; (2)1211()!2n n n T n C D n --=

⋅⋅ (其中n D =1111!1(1)1!2!3!

!n

n n ⎛⎫

-+-+- ⎪⎝⎭

)

高考理科数学试卷普通高等学校招生全国统一考试

注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷

一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A

B =

（A ）{1}（B ）{1

2}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，， （2）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是

（A ）(31)

-，（B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--， （3）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m= （A ）－8（B ）－6 （C ）6 （D ）8

（4）圆

22

28130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a= （A ）43-

（B ）3

4-

（C ）3（D ）2

（5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为

（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9

（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 （A ）20π（B ）24π（C ）28π（D ）32π

（7）若将函数y=2sin 2x 的图像向左平移π

12个单位长度，则评议后图象的对称轴为

（A ）x=kπ2–π6 (k ∈Z) （B ）x=kπ2+π6 (k ∈Z) （C ）x=kπ2–π12 (k ∈Z) （D ）x=kπ2+π

12 (k ∈Z)

（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，

若输入的x=2，n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s= （A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 （9）若cos(π4–α)=3

5，则sin 2α=

（A ）725（B ）15（C ）–15（D ）–7

25