第四章常用概率分布

第四章常用概率分布

为了便于读者理解统计分析的基本原理，正确掌握和应用以后各章所介绍的统计分析方

法，本章在介绍概率论中最基本的两个概念一一事件、概率的基础上，重点介绍生物科学

研究中常用的几种随机变量的概率分布一一正态分布、二项分布、波松分布以及样本平均数

的抽样分布和t分布。

第一节事件与概率

一、事件

(一)必然现象与随机现象在自然界与生产实践和科学试验中，人们会观察到各

种各样的现象，把它们归纳起来，大体上分为两大类：一类是可预言其结果的，即在保持条件不变的情况下，重复进行试验，其结果总是确定的，必然发生(或必然不发生) 。例如，

在标准大气压下，水加热到100 C必然沸腾；步行条件下必然不可能到达月球等。这类现象

称为必然现象 (inevitable phenomena)或确定性现象 (definite phenomena)。另一类是事前不可预言其结果的，即在保持条件不变的情况下，重复进行试验，其结果未必相同。例如，掷一枚质地均匀对称的硬币，其结果可能是出现正面，也可能出现反面；孵化6枚种蛋, 可能“孵化出0只雏”，也可能“孵化出1只雏”，…，也可能“孵化出 6只雏”，事前不可能断言其孵化结果。这类在个别试验中其结果呈现偶然性、不确定性现象，称为随机现象

(random phenomena) 或不确定性现象 (indefinite phenomena)。

人们通过长期的观察和实践并深入研究之后，发现随机现象或不确定性现象，有如下特点：在一定的条件实现时，有多种可能的结果发生，事前人们不能预言将出现哪种结果；对一次或少数几次观察或试验而言，其结果呈现偶然性、不确定性；但在相同条件下进行大

量重复试验时，其试验结果却呈现出某种固有的特定的规律性一一频率的稳定性，通常称之

为随机现象的统计规律性。例如，对于一头临产的妊娠母牛产公犊还是产母犊是事前不能确定的，但随着妊娠母牛头数的增加，其产公犊、母犊的比例逐渐接近1:1的性别比例规律。

概率论与数理统计就是研究和揭示随机现象统计规律的一门科学。

(二)随机试验与随机事件

1、随机试验通常我们把根据某一研究目的，在一定条件下对自然现象所进行的观察或试验统称为试验(trial)。而一个试验如果满足下述三个特性，则称其为一个随机试验(random trial )，简称试验:

(1)试验可以在相同条件下多次重复进行；

(2)每次试验的可能结果不止一个，并且事先知道会有哪些可能的结果；

(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果。

如在一定孵化条件下，孵化6枚种蛋，观察其出雏情况；又如观察两头临产妊娠母牛所

产犊牛的性别情况，它们都具有随机试验的三个特征，因此都是随机试验。

2、随机事件随机试验的每一种可能结果，在一定条件下可能发生，也可能不发生，

称为随机事件 (random event)，简称事件(event),通常用A、B、C等来表示。

(1)基本事件我们把不能再分的事件称为基本事件

(elementary event)，也称为样

本点(sample point)。例如，在编号为1、2、3、…、10的十头猪中随机抽取 1头，有10 种不同的可能结果：“取得一个编号是1”、“取得一个编号是2”、…、“取得一个编号是10”，这10个事件都是不可能再分的事件，它们都是基本事件。由若干个基本事件组合而成的事

件称为复合事件(compound event )。如“取得一个编号是 2的倍数”是一个复合事件，它由“取得一个编号是2”、“是4”、“是6、“是8”、“是10” 5个基本事件组合而成。

(2)必然事件我们把在一定条件下必然会发生的事件称为必然事件(certain event), 用Q表示。例如，在严格按妊娠期母猪饲养管理的要求饲养的条件下，妊娠正常的母猪经

114天左右产仔，就是一个必然事件。

(3)不可能事件我们把在一定

条件下不可能发生的事件称为不可能事件(impossible event),用Q表示。例如，在满足一定孵化条件下，从石头孵化出雏鸡，就是一个不可能事

件。

必然事件与不可能事件实际上是确定性现象，即它们不是随机事件，但是为了方便起见，

我们把它们看作为两个特殊的随机事件。

二、概率

(一)概率的统计定义研究随机试验，仅知道可能发生哪些随机事件是不够的，

还需了解各种随机事件发生的可能性大小，以揭示这些事件的内在的统计规律性，从而指导

实践。这就要求有一个能够刻划事件发生可能性大小的数量指标，这指标应该是事件本身所

固有的，且不随人的主观意志而改变，人们称之为概率(probability )。事件A的概率记为

P (A)。下面我们先介绍概率的统计定义。

在相同条件下进行 n次重复试验，如果随机事件A发生的次数为 m,那么m/n称为随机事件A的频率(frequency);当试验重复数 n逐渐增大时，随机事件A的频率越来越稳定地接近某一数值 p,那么就把p称为随机事件A的概率。这样定义的概率称为统计概率

(statistics probability),或者称后验概率 (posterior probability )。

例如为了确定抛掷一枚硬币发生正面朝上这个事件的概率，历史上有人作过成千上万次

抛掷硬币的试验。在表 4—1中列出了他们的试验记录。

表4— 1抛掷一枚硬币发生正面朝上的试验记录

k.皮尔逊12000 6019 0.5016

k.皮尔逊24000 12012 0.5005 从表4-1可看出，随着实验次数的增多，正面朝上这个事件发生的频率越来越稳定地接近0.5，我们就把0.5作为这个事件的概率。

在一般情况下，随机事件的概率 p是不可能准确得到的。通常以试验次数n充分大时随

机事件A的频率作为该随机事件概率的近似值。