球的内切、外接问题(优秀经典专题及答案详解)

接圆的半径为 3 ∵△ABC 和△DBC 所在平面相互垂直，
∴球心在 BC 边的高上，
设球心到平面 ABC 的距离为 h,则 h2 3 R2 ( 3 2 3 h)2 2
∴h=1，R=2，∴球 O 体积为 4 π 23 32 π 故选：D
3
3
2、三棱锥的三条侧棱两两垂直,其长分别为 3, 2,1 ,则该三棱锥的外接球的表面积( )
A. 3 π 2
B. 3π
C. 2 π 3
D. 2π
6 答案及解析： 答案:A
解析:由题意平面四边形 ABCD , AB AD CD 1, BD 2, BD CD 将其沿对角线 BD 折成
四面体 A' BCD ,使平面 A'BD 平面 BCD ,若四面体 A' BCD 顶点在同一个球面上,可知
A. 24π
B. 18π
C. 10π
D. 6π
2 答案及解析： 答案：D 解析：∵三棱锥的三条侧棱两两相互垂直,且三条侧棱长分别为 3, 2,1 ，
∴可将其补充为一个长宽高分别为 3, 2,1 的长方体，
∴其外接球的直径 2R 1 2 3 6 ， ∴三棱锥的外接球的表面积 S 4πR2 6π ， 故选：D.
9、已知长方体 ABCD A1B1G1D1 ，内接于半球 O，且底面 ABCD 落在半球的底面上，底面
A1B1C1D1 的四个顶点落在半球面上.若半球的半径为 3，AB BC ，则该长方体体积的最大值 为( )
A.12 3
B. 6 6
C.48
D.72
9 答案及解析： 答案：A
解析：如图，设 AB BC a，CC1 h ，长方体的体积为 V，由长方体内接于半球得
球的内切、外接问题
1、已知三棱锥 D ABC 的四个顶点均在球 O 的球面上,△ABC 和△DBC 所在平面互相垂直，
AC 3 , AB 3, BC CD 2 3 ,则球 O 的体积为（
）
A．
4π 3
1 答案及解析：
B． 4 3π
C． 36π
D．
32π 3
答案：D 解析： ∵AB=3, AC 3, BC 2 3 ∴ AB2 AC2 BC2 ,∴AC⊥AB，∴△ABC 的外
3、一正三棱柱的每条棱长都是 3，且每个顶点都在球 O 的表面上，则球 O 的半径为( )
A. 21
B. 6
C. 7
D. 3
2
3 答案及解析： 答案：A 解析：解:正三棱柱的两个底面的中心的连线的中点就是球的球心,球心与顶点的连线长就是
半径,所以, r
3 2
2
2
3
21 .故选 A.
2
4、如图所示，已知四棱锥 P ABCD的高为3，底面ABCD为正方形，PA=PB=PC=PD且
积为 16，则这个球的表面积是( )
A．16π
B． 20π
C． 24π
D．32π
8 答案及解析： 答案：C 解析：由题意知正四棱柱的底面积为 4，所以正四棱柱的底面边长为 2，正四棱柱的底面对 角线长为 2 2 ,正四棱柱的对角线为 2 6 而球的直径等于正四棱柱的对角线，即2R 2 6 所
以 R 6 ,所以 S球 4πR2 24π .
时， f（' t） 0 ， （f t）单调递减，所以当 t 6 时， （f t）最大，即长方体的体积最大，此时
a 2 3，V 12 3 ，故选 A.
AB= 6 ，则四棱锥 P ABCD外接球的半径为(
)
A． 3 2
B．3
C． 3
D．2
4 答案及解析： 答案：D 解析：由已知，四棱锥 P ABCD 为正四棱锥，设外接球半径 R，连接 AC ,BD 交于点O ， 连接 PO ,外接球的球心 O 在高 PO 上，连接 OA ,则OA OP R ,∵四棱锥 P ABCD 的高为 3， AB 6 即 PO 3 ,∴ OA 6 3,OO 3 R 又∵△OOA 为直角三角形
2 2
2 a
h2
9
，则 h2
9
a2 2
，令 t
a2 2
.则 a2
2（t 0
t
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9），所以
V 2 （a2h）2 a4h2 4t2 9 t 4t3 36t2 .令 （f t） 4t3 36t（2 0 t 9），则
f t 12t2 72t 12（t t 6），所以当 t （0，6）时， f（' t） 0 ， （f t）单调递增，当t （6，9）
A' B A'C ,所以 BC 是外接球的直径,所以 BC 3 ,球的半径为: 3 ,所以球的体积 2
为:
4π 3
3 2
3
3 π ,选 A. 2
7、设 A, B,C, D 是半径为 6.5 的球面上的四点,△ABC 的三边长依次为 3,4,5,则四面体 ABCD
的体积的最大值为( )
A.26
(13)2 2
(5)2 2
6 ,当点 D 在OO1 的延长线与球面的交点处
时，四面体
ABCD
的体积最大，此时
DO1
13 2
6
25 2
，故四面体
ABCD
体积的最大值为
1 1 3 4 25 25 。
32
2
8、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形，且侧棱垂直于底面)高为 4，体
2
∴ OA2 OA2 OO2 ,即 R2 3 2 3 R2 ,解得 R 2 故选：D
5、将棱长为 2 的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为( )
A． 4π 3
B． 2π 3
C． 3π 2
D． π 6
5 答案及解析： 答案：A
解析：
将棱长为 2 的正方体木块切削成一个体积最大的球时，
B.25
C.18
D.13
7 答案及解析： 答案：B
解析：设球心为 O,由△ABC 的三边长 分别为 3,4,5 得，△ABC 为直角三角形.设
AB 3, BC 4, AC 5 ,如图，△ABC 的截面圆的圆心O1 在 AC 的中点，连接OO1 ,又OO1
平面 ABC ,则 OO1
AO2 AO12
球的直径等于正方体的棱长 2，
则球的半径 R=1，
则球的体积V 4 π R3 4π
3
3
故选 A.
6、平面四边形 ABCD 中, AB AD CD 1, BD 2, BD CD ,将其沿对角线 BD 折成四面体 A' BCD ,使平面 A'BD 平面 BCD ,若四面体 A' BCD 顶点在同一个球面上,则该球的体积 为( )