2010年上海高考数学试卷

2010年上海高考数学试卷
2010年高考数学:理科:上海试题
一、填空题(本大题满分56分，每小题4分)
2,x1(不等式的解集是_______________( ,0x，4
2(若复数z,1,2i(i为虚数单位)，则,_______________( zzz,，
3(动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x，2,0的距离相等，则点P的轨迹方程为_________(
,,cossin364(行列式的值是_______________( ,,sincos36
22开始 5(圆C:x，y,2x,4y，4,0的圆心到直线3x，4y，4,0的距离
d,_______________(
T?9,S?0 6(随机变量的概率分布由下表给出: ,
x 7 8 9 10
输出T,S =x) P(,0.2 0.35 0.15 0.3
否则该随机变量的均值是_______________( ,
T?19 7(2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园(在右边
是的框图中，S表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总
人数，a表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框T?T，1
内应填入_______________(
8(对于不等于1的正数a，函数f(x),log(x，3)的反函数的图像都经a输入a 过点P，则点P的坐标为_______________(
9(从一副混合后的扑克牌(52张)中，随机抽取1张，事件A为“抽
得红桃K”，事件B为“抽得黑桃”，则概率
______________(结果用最简分数表示)( PAB(),
结束 12321nnn,,,,,,23411nn,,,
,,10(在n行n列矩阵中，记位于34512n,,
,,,,nnnn12321,,,,,
第i行第j列的数为a(i,j,1,2,???,n)(当n,9时，a，a，a，???，
a,_______________( ij1122339911(将直线l:nx，y,n,0、l:x，ny,n,0(n,N*)、x 轴、y轴围成12D C 的封闭区域的面积记为S， n
则,_______________( limSn,,n
O 12(如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD
相交于点O，剪去,AOB，将剩余部分沿OC、OD折叠，使
OA、OB重合，则以A(B)、C、D、O为顶点的四面体的体积
B A
是_______________(
2x2y ,,,:1y13(如图所示，直线x,2与双曲线的渐近线交于4
E1 OEe,OEe,,、两点，记，，任取双曲线上的EE221112
x O OPaebeabR,，,(,)点P，若， 12
E2 则a、b满足的一个等式是_______________(
14(从集合的子集中选出4个不同的子集， Uabcd,{,,,}
需同时满足以下两个条件:
(1) 都要选出;(2)对选出的任意两个子集A和B，必有或( ,,UAB,AB,那么，共有___________种不同的选择(
二、选择题(本大题满分20分，每小题5分)
,(k,Z)”是“tanx,1”成立的15(“xk,，2,4
( )
A(充分不必要条件 B(必要不充分条件 C(充要条件 D(既不充分也不必要条件
xt,，12,()t,R16(直线l的参数方程是，则l的方向向量可以是 d,yt,,2, ( )
A((1,2) B((2,1) C((,2,1) D((1,,2)
x11,,3,x17(若x是方程的解，则x属于区间 ( ) 00,,2,,
212111,,,,,,,,A( B( C( D( ,,1,0,,,,,,,,,323323,,,,,,,,
11118(某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别是、、，则此人将51311
( )
A(不能作出满足要求的三角形 B(作出一个锐角三角形 C(作出一个直角三角形D(作出一个钝角三角形
三、解答题(本大题满分74分)
19((本题满分12分)
x,,20,,xlg(costan12sin)lg[2cos()]lg(1sin2)xxxx,，,，,,，已知，化
简:( 224
20((本题满分13分)第1小题满分5分，第2小题满分8分(
已知数列{a}的前n项和为S，且S,n,5a,85,n,N*( nnnn
(1) 证明:{a,1}是等比数列; n
(2) 求数列{S}的通项公式，并指出n为何值时，S取得最小值，并说明理由( nn
20((本题满分14分)第1小题满分5分，第2小题满分8分(
如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全BB7 8 等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝(骨架将圆柱底面8等B6 B1 分(再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装
B上底面)( 5 B2 BB(1) 当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值,并求出3 4 该最大值(结果精确到0.01平方米);
(2) 在灯笼内，以矩形骨架的顶点为端点，安装一些霓虹
灯(当灯笼底面半径为0.3米时，求图中两根直线型霓虹灯
AB、AB所在异面直线所成角的大小(结果用反三角函数值1335AA8 7 A6 表示)( A1
A5 A2 AA4 3
22((本题满分18分)第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分10分(
若实数x、y、m满足|x,m|，|y,m|，则称x比y远离m(
2(1) 若x,1比1远离0，求x的取值范围;
3322(2) 对任意两个不相等的正数a、b，证明:a，b比ab，ab远离; 2abab
k,,(3) 已知函数f(x)的定义域Dxxkx,,，,,{|,,}ZR(任取x,D，f(x)等于sinx和24
cosx中远离0的那个值(写出函数f(x)的解析式，并指出它的基本性质(结论不要求证明)
23((本题满分18分)第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分(
22xy，,,,1(0)ab,已知椭圆的方程为，点P的坐标为(,a,b)( 22ab
1A(0,,b)、B(a,0)满足，求点M的坐标; (1) 若直角坐标平面上的点M、PMPAPB,，()2
2bkk,,,(2) 设直线l:y,kx，p交椭圆Γ于C、D两点，交直线l:y,kx于点
E(若， 1122122a证明:E为CD的中点;
(3) 对于椭圆Γ上的点Q(acos, ,bsin, )(0<, <,)，如果椭圆Γ上存在不同的两点P、P12PPPPPQ，,使，写出求作点P、P的步骤，并求出使P、P存在的, 的取值范围( 121212
答案
\一、填空题
21((,4,2); 2(6,2i; 3(y,8x; 4(0; 5(3; 6(8.2; 7(S?S，a;
7828((0,,2); 9(; 10(45; 11(1; 12(; 13(4ab,1; 14(36( 263
二、选择题
15(A; 16(C; 17(C; 18(D( 三、解答题
219(原式,lg(sinx，cosx)，lg(cosx，sinx),lg(sinx，cosx),0(
5aa,,,20((1) 当n,1时，a,,14;当n?2时，a,S,S,,5a，5a，1，所以，
1(1)1nnn,1nn,1nn,16
又a,1,,15?0，所以数列{a,1}是等比数列; 1n
n,1n,1n,1555,,,,,,a,,,,115a,,,115Sn,,，,7590(2) 由(1)知:，得，从而(n,N*); nn,,,,n,,666,,,,,,
n,1522,,解不等式S<S，得,，，当n?15时，数列{S}单调递增;
n,，,log114.9nn，1n,,56525,,6
同理可得，当n?15时，数列{S}单调递减;故当n,15时，S取得最小值( nn 221((1) 设圆柱形灯笼的母线长为l，则l,1.2,2r(0<r<0.6)，
S,,3,(r,0.4)，0.48,，所以当r,0.4时，S取得最大值约为1.51平方米;
AB,,(0.3,0.3,0.6)AB,,,(0.3,0.3,0.6)(2) 当r,0.3时，l,0.6，建立空间直角坐标系，可得，， 1335
,ABAB21335,ABAB设向量与的夹角为,，则cos,,， 13353||||ABAB,1335
2所以AB所在异面直线所成角的大小为( B、Aarccos13353
x,,,,，,(,2)(2.)22((1) ;
3322(2) 对任意两个不相等的正数a、b，有，，
ababab，,2abababab，,233222|2||2|()()0ababababababababab，,,，,,，,,因为， 33223322|2||2|ababababababab，,,，,所以，即a，b比ab，ab远离;
2abab
,,3,sin,(,)xxkk,，，,,,,44(3) ， fx(),,,,,cos,(,)xxkk,,，,,,,44
,T性质:1:f(x)是偶函数，图像关于y轴对称，2:f(x)是周期函数，最小正周期,， 2
kk,,,kk,,,3:函数f(x)在区间(,],单调递增，在区间[,)，单调递减，k,Z，242224
24:函数f(x)的值域为( (,1]2
ab23((1) M(,),; 22
ykxp,，,1,2222222222()2()0akbxakpxapb，，，,,(2) 由方程组，消y得方程， ,xy11，,1,22ab,
D,lykxp:,，因为直线交椭圆于、两点， C11
2222akbp，,,0所以,>0，即， 1
设C(x,y)、D(x,y)，CD中点坐标为(x,y)， 112200
2,xxakp，121x,,,,02222akb，,1则， ,2bp,ykxp,，,010222,akb，,1
ykxp,，,1由方程组，消y得方程(k,k)x,p， 21,ykx,2,
2,akpp1xx,,,,,02222kkakb,，b,211又因为，所以，
k,,,222akbp,1ykxy,,,20222,akb，1,
故E为CD的中点;
ab(1cos)(1sin),，,,(3) 求作点P、P的步骤:1:求出PQ的中点， E(,),1222 b(1sin)，,2:求出直线OE的斜率， k,,2a(1cos),,
2bb(1cos),,PPPPPQ，,3:由知E为CD的中点，根据(2)可得CD的斜率，k,,,1212aka(1sin)，,2
bba(1sin)(1cos)(1cos)，,,,,,4:从而得直线CD的方程:， yx,,，
()2(1sin)2a，,5:将直线CD与椭圆Γ的方程联立，方程组的解即为点P、P的坐标( 12欲使P、P存在，必须点E在椭圆内， 12
22(1cos)(1sin),，,,1,2，,1所以，化简得,,,,，， sincos,,sin(),44244 ,,,3,,2又0<, <,，即,,,,，所以， ,,,,,arcsin,444444
,2故, 的取值范围是( ，(0,arcsin)44。