关于数学建模课程的一些思考

先 得到 一个 初步 的基本 的模 型． 后通 过放 宽假设 ， 步步对 模 型进行改 进． 然 一 因此 ， 在课堂 上精 讲细 讲基 本 模 型之后 ， 在指 出对 模型 的进一 步 改进 的方 向之后 ， 模型 的改进 工作 （ 或者 一部 分改进 工作 ） 以留 给 可 学 生作 为课 后练 习 ， 在下 次课 进行讨 论． 并 比如说 ， 桌 子摆 放 问题 中 ， 开 始假 设 “ 子 四脚 连 线 呈正 在 一 桌 方形 ” 给学 生 留下 的问题是 “ ， 若桌 子 四脚连 线呈 长方 形 ” 模 型会 有 什 么变 化 ？学生 在 经 过认 真 思考 之 ， 后 一般都 能 给 出正确 的处理 ． 自己解 决 问题 的过程 中， 在 学生 分 析 问题 、 决 问题 的能 力 在不 知 不 觉 中 解 自然而然 地 得到 了提 高和锻 炼 ． 对于 学生 富有创 造性 的一些 想法 ， 及 时给 予 肯定 和 鼓 励 ， 学 生 具有 应 使
问题 ． 为重要 的是想通 过对 案例 的分析 和建 模过程 的理 解 ， 学生 去领悟 或者 体会 建模过 程 中所用 到 更 让
的更为 一般 数学 方 法 或 重 要 的 数 学 思 想． 这 些 方 法 或 思 想 恰 恰 就 是 学 生 以后 解 决 实 际 问题 时 所 而
需要 的．
在数 学 建模课 程 的教学 过程 中 ， 一定 要注 意 给学生 留有思 考 的余 地 ， 给学 生提供 发挥 想象力 和创 造 性 的空 间． 个成 功 的数 学模 型 ， 一 总是建 立在 一定 的假 设基 础之 上 ． 设越 合 理 ， 假 越贴 近 实 际 问题 ， 建 所
模 型就越 能 反映实 际 问题． 假设 的强 弱给数 学处 理上 带 来 的难 易程 度有 非 常 大 的影 响． 以 ， 理 的 但 所 合 假 设是 数学 建模 的关键 ， 学建模 中的创造性 也 主要体 现 在模 型 假设 中． 常情 况 下 ， 开始 会做 比较 数 通 一 强 的假设 （ 不 能改变 问题 的性 质或 本质 ， 但 否则后 面 的一 切工 作都 没 有 意义 了 ） 尽 量使 问题 易 于处 理 ， ，
［ 摘 要 ］ 数 学 建 模 课 程 的教 学 目标 是 培 养 学 生 应 用 数 学 解 决 实 际 问 题 的 能 力 ． 据 多 年 的 教 学 实 践 经 根
验 ， 义 探 讨 如 何 在 教学 过程 中 注 重 数 学 思 想 方 法 的传 授 和 能 力 的 培 养 ． 目前 教 学 过 程 中存 在 的 一 些 问题 本 对
一
步深 人 ， 桌 子 四条腿 同时着地 ” 味着 什么 ？这 个 时候 ， 生 一般 都 会 积极 思 考 ， 问“ 意 学 同时 也七 嘴 八 舌
地 说 出 自己的理解 ． 此时 ， 一定 要注 意让 学生 充分 发挥 主动 学 习 的精神 ， 留有 足 够 的 时 间给 学 生 自己思 考 ． 根据 笔者 的经 验 ， 刚 刚接触 数学 建模 的学 生 来说 ， 少 有人 能 想 到用 桌 子 腿 到地 面 的距 离 来 刻 但 对 很
做进 一步 改进 和修 正． 当然 ， 一个 成 功 的数 学模 型 ， 总是经 过多 次重复 上述 步骤 ， 即经过 多次 的修正 而逐 步 完善 的． 而且 ， 着社会 的发 展 ， 境 的变化 ， 随 环 有些 即使 已经非 常优 秀 的模 型 也要 随之 而变 化 ， 实 际 这
上 要 求 学 生 对 模 型 的 适 用 范 围 有 一 个 明确 的 界 定 ． ２ ３ 留 有 余 地 ， 学 生 提 供 发 挥 想 象 力 和 创 造 性 的 空 间． ． 给
进 行 了 剖 析 ． 绍 了 我们 在 课 程 的 课 外 延 拓 方 面 所 做 的一 些 工 作 ． 介
［ 键 词 ］ 数 学 建 模 ；课 堂 教 学 ； 外延 拓 关 课 ［ 图分 类 号］ Ｇ６ ２ ０ 中 ４ ． ［ 献标识码］Ｂ 文 ［ 章 编 号 ］ ｌ ７ —４ ４ ２ １ ）４０ １—４ 文 ６ ２１ ５ （０ ０ —１ ３０ ２
第 ２ ８卷 第 ４期
２１ Ｏ ２年 ８月
大 学 数 学
Ｃ（ ）ＩＬＥＧ Ｅ Ａ Ｔ Ｈ ＥＭ Ａ Ｔ Ｉ Ｍ ＣＳ
Ｖ ｏ ． ８。 ． １２ № ４ Ａｕ ２ ２ ｇ． ０１
关 于 数 学 建 模课 程 的一 些 思 考
杨宏林 ， 李 医民， 王学弟
（ 苏大学 理学 院 ， 苏 镇 江 ２２ｌ） 江 江 １ Ｏ ３
１ 引
言
从 １９ ９ ２年 开始 由教 育部 高教 司和 中国工业 与应 用数 学学 会 （ ＳＡＭ） 办 我 国 自己的全 国 大学 生 ＣＩ 举 数 学建 模竞 赛 以来 ， 一赛 事 得到 了 国内高 校 的普遍 重视 和大 力支 持 ， 赛 高校 和学生 人数 逐年 持续递 这 参
伏 不平 的地 面 上 ， 子是 可 以摆放 平稳 的 ． 是 生活 中常 见 的问题 ， 多数人 都有 实践 这一 问题 的经 历． 桌 这 大
但 上 升到理 论 高度 ， 要求 用数 学证 明这 一结 论． 学生 会感 到无从 下 手． 就需 要教 师耐 心地 引导 学生 ． 这 首 先 提 出问题 一 ， 如何 用数 学语 言刻 画“ 子摆 放平 稳 ” 一状 态 ， 生会 说 “ 子 四条 腿 同时 着地 ” 再 进 桌 这 学 桌 ．
益 ， 出 更 为 科 学 合 理 的 彩 票 玩 法 ． 众 多 彩 民 中 同 时 具 备 这 些 知 识 的 有 几 人 ？ 所 以 ， 该 把 数 学 结 果 提 但 应
“ 翻译 ” 大众化 语 言 ， 成 否则 ， 型的应 用价 值就会 大 打折扣． 模 这就 是叶 其孝教授 所 说的数 学建模 中的“ 双 向翻 译” 即用数 学语 言表 达实 际问题 ， （ 用普 通人 能理 解 的语 言表 达数 学 的结 果 ）的能 力．
在 数学 建模 的教学 过程 中， 学 的重点 不在 于讲解模 型 中或深 奥或精 巧 的数学 知识 ， 教 而在 于如何 从
实际 问题 中抽象 概括 出合 理 的数 学模 型． 是一个 创 造性 的过程 ， 这 学生 的各种 能力 正是在 这样 的过 程 中 得 到锻 炼 和提高 的． 般建 立一个 数学模 型 ， 一 要经 过 以下步骤 ： 第一 ， 充分理解 实 际问题 背景 和要求 的 在 前 提下 ， 过合理 的假设 对 问题进 行抽 象 和简 化 ； 二 ， 入必 须 的参 数 和 变量 ， 现 对 实 际问 题 的数 通 第 引 实 学刻 画 ；第 ｉ ， 通过 分析 问题 中各种 因素 的关 系 和作 用 机 理 ， 建立 科 学合 理 的数 学模 型 ；第 四 ， 对模 型 中涉及 到 的有关 参数 进行 尽可 能准确 的估计 ；第五 ， 对模 型 的合 理性 进行 检验 ， 并根 据 检验 结果 对模 型
２数 学 建 模 的课 堂教 学
２ １ 注 重 培 养 学 生 数 学 思 维 的 习惯 ． ．
使 学生 学会 并 习惯 用数学 的方式 来刻 画或 描述 实 际问题 ， 是数 学 建模课 程 的主要 任务 之一 ． 对一 些
简 单 的实 际 问题 ， 生在 理解 题 目的要 求上 不存 在 任何 障 碍． 学 比如 桌 子 的摆 放 问题 ， 要求 建 模 证 明在 起
建模 课程 应 运而 生． 近年来 ， 国内许 多高 校 陆续开 设 了数 学建 模 课程 ． 学 建 模课 程 作 为 一 门年 轻 的课 数
程， 不少 的数 学建模 指 导老 师对 该课 程 的课程 体 系 、 学 内容 、 学模 式 、 教 教 教学 方法 等方 方面 面进行 了有 益 的探索 和 实践 ～ 对该 课 程 的建设 和发 展起 到 了巨大 的促 进作 用． 为 数学建 模 课程 的主讲 老 师 和 ， 作 数学 建模 指 导小组 的成 员 ， 笔者 想结 合 自己的教学 实践 谈谈 对数 学建 模课 程 的理解 和体 会．
构 建 了实际 问题 的数学 模 型并用 相关算 法求 解之后 ， 数学 结果还 原到 实际 问题 中去 ， 把 才算 真正 解决 了
问题． 换句话 说 ， 我们要 把模 型 的数学结 果 翻译成 常人 （ 具备 高 深数 学 知识 的人 ） 不 看得 懂 的语 言 表 述． １￣在 “ ： ｕ 彩票 中的数学 ” ： ｌ ｓ 这一 问题 中 ， 彩票方 案 的评 价用 到概 率 、 对 评价 函数 、 民 的心 理 曲线 等各 方 面 彩 的知识 ， 过考 虑 中奖 率 ， 通 中奖面 ， 高项 奖奖 金额 、 比例 分配 等 多种 因素 ， 顾 彩 民和 彩 票发 行 机 构 的利 兼
增 ． ０ ９年全 国有 ３ 个 省 ／ 自治 区 （ 括香 港 和澳 门特 区） ｌ ７所 院校 、 ５ ４ 个 队 （ 中甲组 １ ２ ６ ２０ ３ 市／ 包 １３ ｌ０ ６ 其 ２ ７ 队、 乙组 ２ ７ ７ ０队） ４万 ５千多名来 自各个 专业 的大 学生 参加 竞赛 ， 、 是历 年 来参 赛 人数 最 多 的 （ 中西藏 其 和 澳 门是首 次参 赛 ） 应该 说 ， 学 建模竞 赛 在培 养学 生 分析 问题 、 ． 数 解决 问题 的 能力 以及创 新 能 力 、 创新 思 维等各 方 面 的所 起 的重 要作 用 已经得 到 了普遍 的 认可 和关 注． 同时 ， 数 学建 模 竞赛 的进 程 中 ， 在 数学
画 这 一 问 题 ． 师 应 一 步 一 步 深 入 ， 过 各 种 直 观 、 象 的 启 示 ， 慢 地 自然 地 把 学 生 的 思 维 引 导 到 “ 教 通 形 慢 用
Ｅ Ｏ 日期 ］ ２ ０— １２ ＆稿 ０ ９１ ６ ［ 金 项 目］ 江 苏 大 学 教 学 研 究 项 目（０ １Ｇｚ Ｏ ５ ２ ｌ ． ＹＢ ２ ） 基 ２ １Ｊ Ｄ １ ，ｏ １Ｇ ０ ７ １
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大 学 数 学
第２ ８卷
桌 腿 到地 面的距 离为零 来刻 画桌 子摆放 平稳 ” 当这一答 案 给 出的时候 ， ． 笔者 注意 观察 过学生 的反应 ， 很
多学 生此 时会 有 一种恍 然大 悟 的感觉 ． 搞清 楚这一 问题之 后 ， 紧接 着 提 出第 二个 问题 ， 如何 用 数 学语 言 刻画 “ 使桌 子摆 放平稳 ” 一过程 ． 这 问题 二 与 问题 一虽 一字之 差 ， 含 义却完 全不 同． 但 问题一是 一个 状态 ， 是静 态 的 ；而问题二 问的是通 过什 么手 段使桌 子 从 不 平稳 状 态 到平 稳 状 态 ， 一 个过 程 ， 动 态 的． 是 是 对 于 问题二 ， 结合 生活 经验及 学生 在生 活 中对这一 问题 的直 观认识 ， 发学生 用旋 转 的方 式来使 桌 子摆放 启 平稳 ． 既然 要旋 转 （ 动 ） 就必须 要 定位 ， 移 ， 从而 自然地 引入平 面 直角坐 标 系对 方桌 进行 定位 ， 并用 桌子 四 脚连 线所 构成 的正 方形 的对 角线 与 轴 的夹 角的变 化来 确定旋 转量 ． 在搞 清楚 上述两 个 问题之 后 ， 下 接 来关 于“ 桌子摆 放 ” 问题 数学模 型 的建立就 是 自然而 然 、 到渠 成 了． 水 如果教 师在 教学过 程 中能 自始 自终 坚持 不懈 地进 行这 一方 面 的努 力 ， 那么久 而久 之 ， 生 就会 形成 用 数学 思 考 的 习惯． 学 这对 提 高 学生 的数 学 素养 和素质 是不 言而 喻 的． 对模 型结 果进 行合 理 的解 释也 是建模 的一个重 要方 面 ． 因为建 模 的 目的是 为 了解 决 问题 ， 以 ， 所 在
２ ２ 注重 数 学思想 方法 的提炼 和学 生能 力的培 养． ．
数学 建模课 多 采用案 例教 学 的方法 和讨论 课． ］ 这里 ， 者 想强 调 一点 ， 学过 程 中采用 的案 例或 笔 教 问题 ， 常都有 其相 对成 功 的数 学模 型或解 决方 法． 通 因此 ， 们教 学 的 目的 并不 是 为 了解 决 问题 而 解决 我