点关于直线的对称点的一种公式求法

点关于直线的对称点的一种公式求法

上海市奉贤中学 王志和

读了本刊文（1），很有收获。文（1）说明了一个点关于一条直线对称点的求解公式：

结论：设直线:l 0=++c by ax ，（a 、b 至少有一个不为0），点),(00y x A 关于直

线l 的对称点的坐标是),(11y x B ，则⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧+---=+---=22002

21220022122)(22)(b a bc abx y b a y b a ac

aby x a b x ； 这个结论的证明方法是利用常见的斜率互为负倒数和中点坐标代入等做出。

因为一个点关于直线的对称点是求解很多问题的工具，因而这样总结的结论很有必要。但这个公式形式的麻烦而使其运用的价值稍有逊色。

本文将以上公式做适当改进，体现出数学的对称美，而且有很明显的几何意义，因而便于记忆和运用。

将以上的2

20022122)(b

a ac

aby x a b x +---= 变为： 2

20020221222)(b a ac aby x a x a b x +---+=

2

2000)

(2b

a c by ax a x +++-

= 2

2

002

2

0)

(2b

a c by ax

b a a x +++⋅

+-

=

d b

a a x '⋅+-=222

0，

（其中2

2

00b

a c by ax d +++=

'的绝对值是点),(00y x 到直线l 的距离）

同理：d b

a b y y '⋅+-

=22

2

01，于是点),(00y x A 关于直线l 的对称点是

d b a a x B '⋅+-

2(2

20，)22

20d b a b y '⋅+-

，

图一

其中的向量),

(

2

2

2

2

b

a b b

a a e ++=是直线l 的法向量),(

b a 的单位向量，如图，设点A 到直线l 的距离是d ，则d b

a a x B '⋅+-2(2

2

0，)22

2

0d b

a b y '⋅+-

意思是将点

),(00y x A 按单位法向量),

(

2

2

2

2

b

a b b a a ++的方向向直线l 的“对面”移动d 2个单位

便得到A 关于直线l 的对称点B ，从图中看得更明显。

因而，对称点d b

a a x B '⋅+-

2(2

2

0，)22

2

0d b

a b y '⋅+-

既是求对称点的公式，

也是沿法向量平移d 2个单位而得到对称点的方法。

例1 求点)3,1(B 关于直线：0232=+-y x 的对称点A 的坐标；

解法一：公式法，设)3,1(B 关于直线：0232=+-y x 的对称点坐标为11,(y x A ） 依照上述公式得：

133313

)

292(213

211=

+-⋅

-

=x ，139

13

)292(213331=+-⋅--

=y ， 所以对称点是)13

9

,1333(

A 。 解法二 如图一，点

B 到直线l 的距离是13

5=

d ，点B 在直线l 的上方，直线l 的单

位法向量是e =)13

3,13

2(

-

，沿此方向将点)3,1(B 平移13

102=

d 个单位便得到对称点

)13

9,1333(

A ； 例2 已知点),(00y x A ，（1）求A 关于直线0=++c y x 的对称点坐标；（2）求A 关于直线0=+-c y x 的对称点坐标；

解（1）设对称点),(11y x B ，则由求对称点公式得：

c y c y x x x --=++⋅

-

=000012

)

(22

1，c x c y x y y --=++⋅

-

=000012

)

(22

1，

所以对称点是),(00c x c y ----；

（2）c y c y x x x -=+-⋅

-

=000012

)

(22

1，c x c y x y y +=+-⋅--

=000012

)(221 即对称点是：),(00c x c y +-；

参考文献：

（1）姚格，圆锥曲线的轴对称图形方程的求法，数学教学，2009年第9期。