椭圆方程的几种常见求法

河南 陈长松

对于求椭圆方程的问题，通常有以下常见方法：

一、定义法

例1 已知两圆C 1：169)4(22=+-y x ，C 2：9)4(22=++y x ，动圆在圆C 1内部且和圆C 1 相内切，和圆C 2相外切，求动圆圆心的轨迹方程．

分析：动圆满足的条件为：①与圆C 1相内切；②与圆C 2相外切．依据两圆相切的充要条件建立关系式． 解：设动圆圆心Ｍ（x ，y ），半径为r ，如图所示，由题意动圆Ｍ内切于圆C 1，

∴r MC -=131，圆Ｍ外切于圆C 2 ， ∴r MC +=32，

∴1621=+MC MC ，

∴ 动圆圆心Ｍ的轨迹是以C 1、C 2为焦点的椭圆，

且82,162==c a ，

481664222=-=-=c a b ， 故所求轨迹方程为：148

642

2=+y x ． 评注：利用圆锥曲线的定义解题，是解决轨迹问题的基本方法之一．此题先根据平面几何知识，列出外切的条件，内切的条件，可发现利用动圆的半径过度，恰好符合椭圆的定义．从而转化问题形式，抓住本质，充分利用椭圆的定义是解题的关键．

二、待定系数法

例２已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点)2,3(),1,6(21--P P ，求该椭圆的方程．

分析：已知两点，椭圆标准方程的形式不确定，我们可以设椭圆方程的一般形式：

22ny mx +＝１（)0,0>>n m ，进行求解，避免讨论。

解：设所求的椭圆方程为2

2ny mx +＝１（)0,0>>n m ． ∵椭圆经过两点)2,3(),1,6(21--P P ， ∴⎩⎨⎧=+=+.123,16n m n m 解得⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧==.31,91n m ，故所求的椭圆标准方程为13922=+y x ．

评注：求椭圆标准方程，可以根据焦点位置设出椭圆标准方程，用待定系数法求出b a ,的值：若焦点位置不确定，可利用椭圆一般形式简化解题过程．

三、直接法

例３ 设动直线l 垂直于x 轴，且交椭圆12

42

2=+y x 于Ａ、Ｂ两点，Ｐ是l 上线段 AB 外一点，且满足1=•PB PA ，求点Ｐ的轨迹方程．

分析：如何利用点Ｐ的坐标与椭圆上Ａ，Ｂ两点坐标的关系，是求点Ｐ的轨迹的关键，因直线l 垂直于x 轴，所以Ｐ、Ａ、Ｂ三点的横坐标相同，由Ａ、Ｂ在椭圆上，所以Ａ、Ｂ两点的纵坐标互为相反数，因此，紧紧抓住等式1=•PB PA 即可求解．

解：设Ｐ（x ，y ），Ａ（A x ，A y ），Ｂ（B x ，B y ） ，

由题意：x ＝A x ＝B x ，A y ＋B y ＝０

∴A y y PA -=,B y y PB -=，∵Ｐ在椭圆外，∴y －A y 与y －B y 同号， ∴PB PA •=（y －A y ）（y －B y ）＝1)(2=++-B A B A y y y y y y

∵)41(2)41(222

2x x y y y A A B A --=--=-= 1)41(222

=--x y ，即)22(1362

2<<-=+x y x 为所求． 评注：求轨迹方程，首先要找出动点与已知点之间的关系，建立一个等式，用坐标代换．

四、相关点法

例４ ABC ∆的底边BC ＝16，AC 和AB 两边上的中线长之和为30，求此三角形重心Ｇ和定点Ａ的轨迹方程．

分析：由题意可知Ｇ到Ｂ、Ｃ两点的距离之和为定值，故可用定义法求解，Ａ点和Ｇ点的关系式好建立，故可用相关点法去求．

解（１）以BC 边所在直线为x 轴，BC 边的中点为坐标原点建立直角坐标系，

设Ｇ（x ，y ），由303

2⨯=+GB GC ，知Ｇ点的轨迹是以Ｂ、Ｃ为焦点， 长轴长为20的椭圆且除去x 轴上的两顶点，方程为)0(136

1002

2≠=+y y x ．

（２）设Ａ（x ，y ），Ｇ（),00y x ，则由（１）知Ｇ的轨迹方程是)0(13610002

020≠=+y y x ∵ Ｇ为ABC ∆的重心 ∴⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧==3300y y x x 代入得：)0(132490022≠=+y y x 其轨迹是中心为原点，焦点在x 轴上的椭圆，除去长轴上的两个端点．

评注：本题的两问是分别利用定义法和相关点法求解的，要注意各自的特点，另要注意轨迹与轨迹方程的不同．