第四章机械振动1PPT课件

1)定义
构成：刚体绕水平光滑轴转动 条件： 同单摆
2）同单摆一样分析可得复摆运动微分方程
⊙⊙
h
●c
M mgh sin
mg
M mgh
由定轴转动的转动定律：
J
d 2
dt 2
mgh
令2 mgh
J
则得
d 2
dt 2
2
0
方程的解为 0 cost 0
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弹簧振子：
3) 简谐运动的特征 （1）物体所受的合外力是线性回复力。 （2）加速度与位移的大小成正比，方向相反。 （3）简谐运动的物体遵从余弦（或正弦）规律。
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4.1.2 微振动的简谐近似
1、单摆
1）定义
构成:一端固定的不可伸长的轻绳与质点连接 条件:在重力作用下,在竖直平面内作小角度的摆动(θ
能确定系统运动状态，而又能反映其周期性特征
t 0 初位相0： t =0时刻的位相
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位相差 1）两个简谐振动在同一时刻的位相差
x1=A1cos(ω1t+ 10) x2=A2cos(ω2t+ 20)
Δ = 2- 1=(ω2t+ 20)-(ω1t+ 10)
2k 同步
Δt=t2－t1=Δ ／ω
x
Aa
A2
b
o A v
t
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二、振幅与初位相的确定
取 0 0
1、简谐运动的速度与加速度：
x Acos(t 0 )
v
dx dt
A sin(
t
0
)
vm
cos(
t
0
π) 2
a
dv dt
2
A cos(
t
0
)
x
A
o
A
A v
o
A
A 2 a
o
am cos( t 0 π ) A 2
单摆： 复摆：
F= -kx
d2x dt 2
2x
0
M mgl
M mgh
d 2
dt 2
2
0
简谐运动的特征： 物体所受的合外力（矩）是线性回复力（矩）。 加速度(角加速度)与位移的大小成正比，方向相反。 简谐运动的物体的运动遵从余弦（或正弦）规律。
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§4-2 简谐振动的运动学
4.2.1 简谐振动的运动学方程
以弹簧振子为例 简谐振动的动力学方程
简谐振动的运动学方程
x
A
o
A
d2x dt 2
2x
0
x Acost 0
t
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4.2.2 描述简谐振动的三个重要参量
一、定义
1、振幅 A
最大位移，x =±A
2、周期、频率、圆频率
（1）周期T：完成一次完全振动所需的时间
x t图
t
T
vt图
t
T
a t图
t
T
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vm A 称为速度幅。
速度相位比位移相位超前/2。
am 2 A 称为加速度幅。
加速度与位移反相位。
比较： a 2 Acost
x Acost
a 2 x
即
d2x dt 2
2
x
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2、由初始条件确定振幅与初位相
第四章 机械振动
x t
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前言
振动: 广义地，凡是描述物质运动状态的物理量，在某一 固定值附近作周期性变化，都可称该物理量作振动。
机械振动: 物体在一固定位置附近作来回的往复运动，称为 机械振动。
自然界 的振动
心脏的 跳动
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§4-1 简谐振动的动力学特征
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2）弹簧振子的运动微分方程
由胡克定律，回复力与位移正比而反向，即
F= -kx
以振子为对象 由牛顿定律：
d2x m dt 2 kx
令 2 k
m
则得
d2x dt 2
2x
0
设初始条件为: t 0 时，x x0 ，v=v0
解微分方程得： x A cos(t 0 )
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3! 5!
略去高阶无穷小后
M mgl
即回复力矩与角位移正比而反向。 （角位移指偏离平衡位置的角位移）
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由定轴转动的转动定律：
M J
ml
2
d 2
dt 2
mgl
令 2 g
l
则得
d 2
dt 2
2
0
方程的解为 0 cost 0
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2、复 摆
2 g
l
2 k
m
2 mgh
J
T
2
Fra Baidu bibliotek
T 2
T 2
l g
m k
J mgh
振子的振动频率和周期仅与振子本身的性质（k,m; l; J,m,h）有关，而与其他因素无关。
仅由振动系统的力学性质所决定的频率称为固有频率 14 首页 上页 下页退出
3、位相和初位相
位相 : 描述系统机械运动状态的物理量
简谐运动
合成 分解
复杂振动
任何复杂的振动都可以看作是由若干个简单而又基本 的振动的合成。
简谐振动：振动中最简单最基本的是简谐振动。
谐振子：做简谐振动的物体
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4.1.1 弹簧振子模型
K
F
0 xX
1）定义： 轻质弹簧一端固定，另一端与物体连接。
振动的成因：回复力+惯性 平衡位置：系统处于稳定平稳的位置，选该点为坐标原点。
x Acos(t 0 ) Acos(t T ) 0 v Asin(t 0) Acos(t T ) 0
T 2
T 2
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（2）频率：单位时间内所完成的完全振动的次数
1 T 2
（3）圆频率：２秒内完成的完全振动的次数
＝２ 固有角频率
固有振动周期
单摆 弹簧振子 复摆
5o )
振动的成因：回复力矩+转动惯性
平衡位置：铅直位置为角平衡位置， o为角坐标原点。
l
oo/ /
T
0 mg0
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2）单摆的运动微分方程
重力对过悬点0/的水平轴的力矩为：
M mgl sin
负号表示力矩方向始终与角位移方向 相反。
l
oo/ /
T
0 mg0
根据麦克劳林展开 sin 1 3 1 5
x v
Acos ( t 0 Asin ( t
)
0
)
设 t = 0时，x = x0 v = v0
vx00
A cos0 A sin
0
A
x0 2
v0
2
tan 0
vo
xo
20
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❖ t=0时, x0=0, v0<0 v
X
0
vx00
x
超前
(2k 1) π 反相 为其它 落后
x
x
o
to
o
t
t
Δ >0, 2比 1超前，Δ <0, 2比 1滞后。
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2）同一振动在不同时刻的位相差
同一振动在t1、t2时刻的位相差为
Δ =(ωt2+ 0)-(ωt1+ 0)=ω(t2-t1)
一个谐振动从一个状态到另一个状态经历的时间间隔为