高考专题 函数对称性

函数对称性

一 知识点精讲：

I 函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）

1、)()(x b f x a f -=+ ⇔)(x f y =图象关于直线22)()(b a x b x a x +=-++=对称 证明：函数)(x f y =图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f x y =）关于直线2a b x +=

的对称点为00(,)

Q a b x y +-，00()[()]f a b x f b x a +-=-+000[()]()f b b x f x y =--==

∴点Q 仍在函数)(x f y =的图象上，从而函数)(x f y =的图象关于直线2a b x +=

对称. 推论1：)()(x a f x a f -=+ ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称

推论2、)2()(x a f x f -= ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称

推论3、)2()(x a f x f +=- ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称

2、c x b f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),2

(c b a +对称 证明：函数)(x f y =图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f x y =）关于点(

,)2a b c +的对称点为00(,2)

Q a b x c y +--，00()[()]f a b x f b x a +-=-+0002[()]2()2c f b b x c f x c y =---=-=-

∴点Q 仍在函数)(x f y =的图象上，从而函数)(x f y =的图象关于点(,)2

a b c +对称. 推论1、b x a f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称

推论2、b x a f x f 2)2()(=-+ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称

推论3、b x a f x f 2)2()(=++-

⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 II 两个函数的图象对称性（相互对称）

1、)(x f y =与)(x f y -=图象关于y 轴对称

2、)(x f y =与)(x f y --=图象关于原点对称函数

3、函数)(x f y

=与()y f x =-图象关于x 轴对称 4、函数)(x f y =与其反函数1()y f x -=图象关于直线y x =对称

5.函数)(x a f y +=与)(x b f y -=图象关于直线2a b x

-=对称 证明：函数()y f a x =+图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f a x y +=）关于直线

2

b a x -=的对称点为00(,)Q b a x y --，000[()]()f b b a x f a x y ---=+= ∴点Q 在函数()y f b x =-的图象上；反之函数()y f b x =-的图象上任一点关于直线

2

b a x -=

的对称点也在函数()y f a x =+图象上.从而函数()y f a x =+与()y f b x =-的图象关于直线2

b a x -=对称. 推论1:函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称

推论2:函数)(x f y =与)2(x a f y -= 图象关于直线a x =对称

推论3:函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称

6若函数)(x f y =的定义域为R ，则函数()y f a x =+与()y f b x =--的图象关于点(,0)2

b a -对称. 证明：函数()y f a x =+图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f a x y +=）关于点

(,0)2

b a -的对称点为00(,)Q b a x y ---，000[()]()f b b a x f a x y ----=-+=- ∴点Q 在函数()y f b x =--的图象上；反之函数()y f b x =--的图象上任一点关于点(,0)2

b a -的对称点也在函数()y f a x =+图象上.从而函数()y f a x =+与()y f b x =--的图象关于点(,0)2b a -对称.

二 典例解析：

1、定义在实数集上的奇函数)(x f 恒满足)1()1(x f x f -=+，且)0,1(-∈x 时,

5

12)(+

=x x f ,则=)20(log 2f ________。 解析：)(x f y =关于直线1=x 对称，)2()(x f x f +=-，又 是)(x f 奇函数， )()(x f x f -=-，故有)()2(x f x f -=+，4=T , )420(log )20(log 22-=f f 1512)54(log )45(log 54

log 222-=--=-==f f 答案为：1-

2、已知函数)(x f y =满足0)2()(=-+x f x f ，则)(x f y =图象关于__对称。 解析：这是一个函数的对称性，由上述结论知)(x f y =图象关于)0,1(对称

3、函数)1(-=x f y 与函数)1(x f y -=的图象关于关于______对称。

解析：这是两个函数的对称性，两函数的图象关于1=x 对称 答案：1=x

4、设函数)(x f y =的定义域为R ，且满足)1()1(x f x f -=-，则)(x f y =的图象关于_______对称。

解析：这是一个函数的对称性，)(x f y =的图象关于y 轴即0=x 对称 答案：0=x

5、设函数)(x f y =的定义域为R ，且满足)1()1(x f x f -=+，则)1(+=x f y 的图象关于______对称。