国贸第六次课PPT课件

二、矩阵的定义
矩阵的概念 一些特殊矩阵 矩阵的相等
矩阵的概念
由 m n 个数 aij i 1,2,, m; j 1,2,, n
排成的 m行 n列的数表
a11 a12 a1n
a21 a22 a2n
am1 am2 amn
称为 m n矩阵.简称 m n矩阵. 记作
主对角线 a11
A
关于代数余子式的重要性质:
P24
ai1 As1 ai 2 As2
ain Asn
aij
0
is时 is时
a1 j A1t a2 j A2t
anj Ant
aij
0
jt时 jt时
克莱姆法则
a11 x1 a12 x2
a21
x1
a22 x2
an1
x1
an2 x2
a1n xn b1 a2n xn b2 ann xn bn
注：
对于齐次线性方程组
a11 x1 a12 x2
a21
x1
a22 x2
an1 x1 an2 x2
a1n xn 0 a2n xn 0 ann xn 0
（2）
x1 x2 xn 0 一定是它的解，称之为零解．
（2）的除零解外的解（若还有的话）称为非零解．
定理2 如果齐次线性方程组（2）的系数行列式 D 0, 则方程组（2）没有非零解，即只有零解． 推论 如果齐次线性方程组（2）有非零解，则
x1 x2 x3 x4 1,
22
2x1 3x2 x1 32 x2
4x3 5x4 42 x3 52
x4
1,
1,
解 系数行列2式3 x是1 一3个3 x范2 德 蒙 43德x3行列53式x4 1.
1111
2345 D 22 32 42 52
23 33 43 53 (3 2)(4 2)(5 2)(4 3)(5 3)(5 4) 12.
13 2
6 2
2i 2
是一个
3 3 复矩阵,
1 2
2 2 2
4
2 3 5 9
是一个 3 1 矩阵,
4
是一个 1 4 矩阵,
是一个 11 矩阵.
一些特殊矩阵
(1)行数与列数都等于 n 的矩阵 A，称为 n阶
方阵.也可记作 An .
例如
13 6 2i 2 2 2
是一个3 阶方阵.
2 2 2
(2)只有一行的矩阵
A a1,a2 ,,an ,
称为行矩阵(或行向量).
只有一列的矩阵
a1
B
a2
,
an
称为列矩阵(或列向量).
只有一个元素的矩阵为 (a) a．
1 0
（3）形如
0
2
0 O 0
0
O0
的方阵, 称为对角
n
矩阵(或对角阵）.
记作
A diag1,2 ,,n .
x1 4 x2 7 x3 6 x4 0.
解
2 1 5 1
1 3 0 6 r1 2r2
D 0 2 1 2
r4 r2
1 4 7 6
0 7 5 13 1 3 0 6 0 2 1 2 0 7 7 12
7 5 13 2 1 2
7 7 12
c1 2c2 c3 2c2
3 0
7
2x1 x2 5x3 x4 8,
32
42
12， 1
23 33 1 53
23 33 43 1
因此方程组的惟一解为：
x1 4, x2 6, x3 4, x4 1．
例 解齐次线性方程组
解 因为
x 3y 2z 0,
2x
y
3z
0,
3x 2 y z 0.
13 2 D 2 1 3 42 0，
3 2 1
所以方程组只有零解，即 x 0, y 0, z 0．
克莱姆法则也可叙述为下面的定理 定理1 如果线性方程组（1）的系数行列式 D 0, 则方程组（1）一定有解，且解是唯一的． 推论 如果线性方程组（1）无解或有两个不同解， 则方程组的系数行列式 D必为零． 定理2 如果齐次线性方程组（2）的系数行列式 D 0, 则方程组（2）没有非零解，即只有零解．
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21 8 1 1 3 9 6 D3 0 2 5 2 14 0 6
27,
x1
D1 D
81 27
3,
x3
D3 D
27 27
1,
2 1 5 8 1 3 0 9 D4 0 2 1 5 1 4 7 0
27,
x2
D2 D
108 27
4,
x4
D4 D
27 27
1.
例 求下列线性非齐次方程组的解：
a21
a12 a22
a1n a2n
副对角线 am1 am1 amn
mn
矩阵A的
m , n元
简记为
A Amn
aij
mn
aij
.
这m n个数称为A的元素,简称为元.
元素是实数的矩阵称为实矩阵,
元素是复数的矩阵称为复矩阵.
例如
1 9
0 6
3 4
5 3
是一个 2 4 实矩阵,
如果线性方程组（1）的系数方阵
a11 a12
A
a21
a22
an1 an2
a1n
a2n
ann
的行列式 D | A | 0 ，则方程组(１)有唯一解
x1
D1 D
,
x2
D2 D
,
,
xn
Dn D
例 用克莱姆法则解非齐次方程组
2 x1 x2 5 x3 x4 8,
x1 3 x2 6 x4 9, 2 x2 x3 2 x4 5,
x1 3x2 6x4 9, 2x2 x3 2x4 5,
x1 4x2 7x3 6x4 0.
5 3
1
0
3
3 27,
7 2 7 2
8 1 5 1 9 3 0 6 D1 5 2 1 2 0 4 7 6
81,
2 8 5 1 1 9 0 6 D2 0 5 1 2 1 0 7 6 108,
记作
A diag1,2 ,,n .
a11 0 ... 0
diag
解的表达式的分子也都是范德蒙 德行列式，其值分别为：
11 1 1
111 1
13 4 5
214 5
D1 1 32 42 52 48，D2 22 1 42 52 72，
1 33 43 53
23 1 43 53
1 111
1 1 11
2 315
2 3 41
D3 22
32
1 52 48，D4 22
它的系数行列式 D ＝０． 注： 在以后还将证明这个条件也是充分的 ．即
a11 x1 a12 x2
a21 x1
a22
x2
an1
x1
an2
x2
a1n xn 0
a2n xn 0 有非零解 det(aij ) 0.
ann xn 0
一、矩阵概念的引入 P49-51 二、矩阵的定义