基本矩阵

第五章特征值问题与实二次型

目的要求

学习本章，要求读者掌握特征值、特征向量、相似矩阵、约当型矩阵、二次型的标准形、正定二次型等重要概念，并学会计算特征值和特征向量，掌握化n阶矩阵为对角矩阵的条件和方法，学会将实二次型化为标准形。

§1 方阵的特征值问题

定义设A是n阶方阵，如果和n维非零列向量x使关系式

（1）

成立，那么，这样的数λ称为方阵A的特征值，非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量。

将（1）式改写为

（2）

这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式

（3）

即

上式称为方阵A的特征方程。

记，则称为方阵A的特征多项式，显然A的特征值就是特征方程的解。

设为其中的一个特征值，则由方程

求得的非零解便是A的对应于特征值的特征向量。

简言之，方阵A的特征值和特征向量的求法如下：

1. 计算A的特征多项式；

2. 求出的全部根，即得A的全部特征值；

3. 对于每一个特征根，求出齐次线性方程组（2）的非零解，即得属于的特征向量。

§2 相似矩阵

一、相似矩阵的定义

设A，B都是n阶方阵，若有可逆方阵P，使

则称B是A的相似矩阵或说矩阵A与B相似。

定理若n阶方阵A与B相似，则A与B的特征多项式相同，从而A与B的特征值亦相同。（证明）

但该定理的逆不一定成立，即特征多项式相同的矩阵不一定是相似的。

例

它们的特征多项式是，但A和B不相似。

推论若n阶方阵A与对角矩阵

相似，则即是A的n个特征值。

那么，我们要问，对于n阶方阵A，如何寻求可逆矩阵P，使

假使已经找到可逆矩阵P，使，那么P应满足什么关系？

将P用列向量表示为

由得，即

于是有. 可见是A的特征值，而P的列向量就是A的对应于特征值的特征向量。

反之，由上一节知A恰好有n个特征值，并可对应地求得n个特征向量，这n个特征向量可构成矩阵P，使（因特征向量不唯一，矩阵P也不唯一）。

但n个特征向量构成的矩阵P是否可逆？我们说，如果n个特征向量是线性无关的，则P可逆，此时可得，也就是矩阵A与对角阵相似，但对方阵A，不一定能找到n个线性无关的特征向量。

那么，一个方阵具备什么条件才能与对角矩阵相似呢？我们仅讨论A为实对称矩阵的情形。

二、实对称矩阵的相似矩阵

我们知道实阵A的特征值不一定是实数。

例如：

则特征值为。

但是，对于实对称矩阵，则特征值一定为实数。

定理1实对称矩阵的特征值为实数。

定理2设是实对称矩阵A的两个特征值，是对应的特征向量，若，则与正交。

定理3 设A为n阶实对称矩阵，则必有正交矩阵P使

为对角矩阵，其中是A的特征值。

三、关于约当型矩阵的概念

从前面的讨论我们已知并不是所有n阶矩阵都可与对角矩阵相似，但可以与一种极简单的矩阵--约当型矩阵相似。

定义设为n阶矩阵，如果

，

，

，

即

则称J为约当块。

如果一个分块对角矩阵的所有子块都是约当块，即

其中都是约当块，则J为约当型矩阵，或称约当标准形。

例如：

都是约当块。

都是约当型矩阵。

定理任意一个n阶矩阵A，都存在n阶可逆矩阵T，使得，即任意一个n阶矩阵A都与n阶约当型矩阵J相似。

例如：

有两个特征值，并仅有两个线性无关特征向量：

，

所以它不与对角矩阵相似，但它与约当型矩阵

相似，这时

§3 实二次型

一、二次型的定义

定义含有n个变量的二次齐次函数

称为二次型。

取，则

则

二、化二次型为标准形

对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆线性变换

使二次型只含平方项：

这种只含平方项的二次型称为二次型的标准形。记

则二次型可记作。

例如：，用矩阵记号可得

若记

将代入得

.

定理1 任给可逆矩阵C，令，如果A为对称矩阵，则B亦为对称矩阵；且。（证明）

要使二次型f经可逆线性变换变成标准形，这就要使

也就是要使成为对角矩阵。

由上节知，对给定的对称矩阵A，总有正交阵P，使，即。

定理2 对任给二次型，总有正交变换，使f化为标准形：

其中是f的矩阵的特征值。

将实二次型化为标准形的方法是多种多样的。

例如还有：

1. 用配方法化二次型成标准形；

2. 利用初等变换求标准形。

三、正定二次型

定义设A为n阶实对称矩阵，则为实二次型，如果对任一n维非零向量x，，则称A为正定阵，而f为正定二次型。

定理实二次型f为正定二次型的充要条件是A的特征值全大于零。