矩阵及其基本算法
高考数学矩阵的应用及实例分析
高考数学矩阵的应用及实例分析高考数学是所有文理科生必备的重要课程，而矩阵则是其中必不可少的基础知识点之一。
然而，在实际应用中，矩阵的作用远不止于此，尤其是在计算机领域的广泛应用。
本文将就高考数学矩阵的应用及实例展开阐述和分析。
矩阵的基本定义矩阵是数学中经常用到的对象，其由数或其他数或向量组成的矩形阵列所构成。
例如，一个行列均为m的矩阵记作A=[a_{ij}]，其中i表示行，j表示列，a_{ij}表示A的第i行第j列的元素。
在矩阵中，元素之间的顺序是有意义的，这也是矩阵与普通数组不同的地方。
矩阵的加法和乘法矩阵的加法和乘法是矩阵计算中最基础的两个操作，其定义如下：1.矩阵加法设A=[a_{ij}]，B=[b_{ij}]均为m行n列的矩阵，令C=A+B，且C=[c_{ij}]，则矩阵C的第i行第j列的元素c_{ij}为a_{ij}+b_{ij}。
2.矩阵乘法设A=[a_{ij}]是m行n列的矩阵，B=[b_{ij}]是n行k列的矩阵，令C=A*B，且C=[c_{ij}]，则矩阵C的第i行第j列的元素c_{ij}为c_{ij}=a_{i1}*b_{1j}+a_{i2}*b_{2j}+...+a_{in}*b_{nj}矩阵的应用矩阵的应用不仅局限于高考数学的范畴，其在计算机领域中也有着广泛的应用。
1.图像处理在图像处理中，矩阵被广泛应用于图像滤波和处理算法中。
比如，利用矩阵卷积的方法对图像进行模糊和锐化处理等。
2.数据分析在机器学习和数据分析领域中，矩阵被广泛用于特征向量和特征值计算、预处理和数据降维等方面。
其中，主成分分析（PCA）就是一种常用的算法，它通过矩阵的特征向量和特征值来实现降维和特征提取。
3.计算机图形学在计算机图形学领域中，矩阵被广泛应用于更加复杂的三维图形的建模和变换中。
其中，矩阵变换（旋转、平移等）是基本操作之一，而矩阵在计算机图形学中的应用更加广泛，包括贝塞尔曲线、NURBS曲线等都离不开矩阵的支持。
《有趣的矩阵：看得懂又好看的线性代数》笔记
《有趣的矩阵：看得懂又好看的线性代数》阅读随笔目录一、矩阵基础篇 (2)1.1 矩阵的定义与性质 (3)1.2 矩阵的运算 (4)1.3 矩阵的秩与行列式 (5)二、矩阵应用篇 (6)2.1 矩阵在物理学中的应用 (7)2.2 矩阵在计算机科学中的应用 (8)2.2.1 图像处理 (9)2.2.2 机器学习 (10)2.3 矩阵在经济学中的应用 (11)三、矩阵可视化篇 (13)3.1 利用图表展示矩阵 (14)3.2 利用动画展示矩阵运算 (15)3.3 利用交互式工具探索矩阵世界 (16)四、矩阵挑战篇 (17)4.1 解决矩阵方程 (19)4.2 矩阵分解技巧 (20)4.3 矩阵的逆与特征值问题 (21)五、矩阵与艺术篇 (22)5.1 矩阵在艺术设计中的应用 (23)5.2 矩阵与音乐的关系 (25)5.3 矩阵与建筑的空间结构 (26)六、矩阵学习策略篇 (27)6.1 如何选择合适的矩阵学习材料 (28)6.2 矩阵学习的有效方法 (29)6.3 如何克服矩阵学习的障碍 (31)七、矩阵趣味问答篇 (32)7.1 矩阵相关的趣味问题解答 (33)7.2 矩阵在日常生活中的实际应用 (33)7.3 矩阵的趣味故事与趣闻 (34)八、结语 (35)8.1 阅读随笔总结 (36)8.2 对矩阵未来的展望 (38)一、矩阵基础篇在《有趣的矩阵：看得懂又好看的线性代数》作者以一种通俗易懂的方式向我们介绍了矩阵的基本概念和性质。
矩阵是线性代数中的一个重要概念，它可以用来表示线性方程组、线性变换等。
我们将学习矩阵的基本运算，包括加法、减法、乘法等，并通过实际的例子来理解这些运算的含义。
我们来学习矩阵的基本运算，矩阵是由m行n列的数排成的矩形阵列，其中m和n分别表示矩阵的行数和列数。
每个元素用一个位于其行列索引处的小写字母表示，例如矩阵A [13 4]中，A[1][2]表示矩阵A的第一行第三列的元素，即3。
矩阵计算与分析幂迭代法和逆幂迭代法
矩阵计算与分析幂迭代法和逆幂迭代法矩阵计算是数学中的一个重要分支，它涉及到对矩阵进行各种运算和分析。
其中，幂迭代法和逆幂迭代法是解决矩阵特征值和特征向量的常用方法。
本文将详细介绍这两种方法的原理、步骤及其在实际问题中的应用，并对它们进行比较与分析。
一、幂迭代法幂迭代法是一种通过不断迭代矩阵的幂次来逼近矩阵的最大特征值和对应的特征向量的方法。
其基本思想是利用矩阵的特征向量的方向不变性，将任意一个非零向量经过多次矩阵乘法后逼近于特征向量。
具体步骤如下：1.选取一个初始向量x0，通常为一个随机向量。
2. 计算xn+1 = Axn，其中A为给定矩阵。
3. 归一化xn+1，即xn+1 = xn+1/，xn+1，其中，xn+1，表示向量的模。
4. 如果迭代次数n足够大，那么xn将逼近A的最大特征值对应的特征向量。
幂迭代法的收敛性与初始向量的选择有很大关系，通常情况下，初始向量选取得越接近最大特征值所对应的特征向量，迭代次数越少，精度越高。
幂迭代法主要用于计算矩阵的最大特征值和对应的特征向量。
在实际问题中，矩阵的最大特征值和特征向量常常具有重要的物理意义，比如在结构力学中，最大特征值代表了结构的自然频率，对应的特征向量则代表了结构的振型。
因此，幂迭代法在结构优化、振动分析等领域有广泛的应用。
逆幂迭代法是幂迭代法的一个改进方法，它主要用于计算矩阵的最小特征值和对应的特征向量。
逆幂迭代法的基本思想是通过不断迭代矩阵的逆幂次来逼近矩阵的最小特征值和对应的特征向量。
具体步骤如下：1.选取一个初始向量x0，通常为一个随机向量。
2. 计算xn+1 = A^-1xn，其中A为给定矩阵，A^-1为A的逆矩阵。
3. 归一化xn+1，即xn+1 = xn+1/，xn+1，其中，xn+1，表示向量的模。
4. 如果迭代次数n足够大，那么xn将逼近A的最小特征值对应的特征向量。
逆幂迭代法的收敛性与初始向量的选择有很大关系，与幂迭代法相同，初始向量选取得越接近最小特征值所对应的特征向量，迭代次数越少，精度越高。
矩阵的jordan分解 算法
矩阵的jordan分解算法矩阵的Jordan分解是一种重要的矩阵分解方法，它将原始矩阵分解成若干个Jordan块的形式，可用来求解线性常微分方程、矩阵特征值和特征向量等问题。
本文将对Jordan分解算法进行详细介绍，涵盖其基本概念、计算方法及其应用。
一、基本概念1. 矩阵的Jordan块一个矩阵A是Jordan块，如果其形式为：$$A=\begin{pmatrix}\lambda & 1 &0 &\cdots &0\\0 &\lambda &1 &\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\vdots & &\ddots &1\\0 &0 &\cdots &0 & \lambda\end{pmatrix}$$其中$\lambda$是矩阵A的特征值，且矩阵A中只有两种取值：$\lambda$和1。
对于一个$n\times n$的Jordan块，其特征值为$\lambda$，其代数重数为n。
2. Jordan分解一个$n\times n$矩阵A可以分解成如下形式：$$A=PJP^{-1}$$其中P是$n\times n$可逆矩阵，J是如下形式的矩阵：$$J=\begin{pmatrix}J_1 & 0 &\cdots &0\\0 &J_2 &\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0 &0 &\cdots & J_k\end{pmatrix}$$其中$J_1,J_2,\cdots ,J_k$是各自是Jordan块，且$J_1+J_2+\cdots +J_k=A$。
矩阵的运算及其运算规则
矩阵的运算及其运算规则矩阵是线性代数中的基本概念之一，它是一个由数个数按照矩形排列的数表。
矩阵的运算是对矩阵进行各种数学操作的过程，通过矩阵的运算可以实现对数据的处理和分析，广泛应用于各个领域。
矩阵的基本运算包括矩阵的加法、矩阵的乘法和矩阵的转置。
矩阵的加法是指将两个矩阵对应元素相加得到一个新的矩阵。
矩阵的乘法是指将两个矩阵按照一定规则相乘得到一个新的矩阵。
矩阵的转置是指将矩阵的行和列对调得到一个新的矩阵。
矩阵的运算规则包括加法的交换律和结合律，乘法的结合律和分配律。
加法的交换律指两个矩阵相加的结果与顺序无关；加法的结合律指三个矩阵相加的结果与加法的顺序无关。
乘法的结合律指三个矩阵相乘的结果与乘法的顺序无关；乘法的分配律指一个数与两个矩阵相乘的结果等于这个数与每个矩阵相乘后再相加的结果。
矩阵运算的应用非常广泛，特别是在线性代数、概率论和统计学中。
在线性代数中，矩阵的运算可以用于求解线性方程组、计算矩阵的秩和行列式、求解特征值和特征向量等问题。
在概率论和统计学中，矩阵的运算可以用于计算协方差矩阵、相关矩阵和条件概率矩阵，从而帮助我们分析和理解数据的关系和分布。
除了基本的矩阵运算外，还有一些特殊的矩阵运算。
例如，矩阵的逆运算是指对于一个可逆矩阵，可以找到一个矩阵使得两个矩阵相乘等于单位矩阵。
矩阵的转置运算是指将矩阵的行和列对调得到一个新的矩阵。
矩阵的迹运算是指矩阵主对角线上元素的和。
这些特殊的矩阵运算在实际应用中也有着重要的作用。
总的来说，矩阵的运算及其运算规则是线性代数中的重要内容，通过对矩阵的运算可以实现对数据的处理和分析，广泛应用于各个领域。
矩阵的运算规则包括加法的交换律和结合律，乘法的结合律和分配律。
除了基本的矩阵运算外，还有一些特殊的矩阵运算，如矩阵的逆运算、转置运算和迹运算。
这些矩阵运算在实际应用中具有重要作用，可以帮助我们解决各种数学和统计问题。
矩阵乘法数量积
矩阵乘法数量积全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：矩阵乘法是线性代数中的一个重要概念，是在计算机科学、数学、物理学、工程学等领域中经常用到的一种运算。
矩阵乘法的数量积是指将两个矩阵相乘得到的结果矩阵，它的计算规则是矩阵的行与列进行对应元素相乘并相加得到新矩阵的对应元素。
矩阵乘法数量积的定义如下：设有两个矩阵A和B，分别为m×n 和n×p的矩阵，其中矩阵A的列数与矩阵B的行数相等，即n相等，则它们的乘积矩阵C为m×p的矩阵，其中矩阵C的元素c_ij等于矩阵A的第i行元素与矩阵B的第j列元素对应位置相乘后相加的结果，即c_ij = a_i1 * b_1j + a_i2 * b_2j + ... + a_in * b_nj。
在计算中，可以采用两种常见的方法来计算矩阵乘法数量积，一种是传统的矩阵相乘方法，另一种是使用Strassen算法进行矩阵乘法计算。
下面我们将具体介绍这两种方法的计算过程和优缺点。
传统的矩阵相乘方法是通过遍历矩阵的行和列元素进行计算，具体流程如下：1. 初始化结果矩阵C为m×p的零矩阵。
2. 遍历矩阵A的行i和矩阵B的列j，计算矩阵C的元素c_ij。
3. 根据矩阵乘法的定义，计算矩阵C中的元素c_ij。
4. 重复步骤2和步骤3，直到遍历完所有行和列元素。
5. 返回最终的结果矩阵C。
传统的矩阵相乘方法的时间复杂度为O(mnp)，即矩阵A为m×n，矩阵B为n×p时，时间复杂度为O(mnp)，这种方法的计算速度较慢，尤其是在大规模矩阵相乘时效率很低。
1. 初始化结果矩阵C为m×p的零矩阵。
2. 将矩阵A和矩阵B分别分解成四个子矩阵，即A11、A12、A21、A22和B11、B12、B21、B22。
3. 计算临时矩阵M1到M7，其中M1 = (A11 + A22) × (B11 + B22)，M2 = (A21 + A22) × B11，M3 = A11 × (B12 - B22)，M4 =A22 × (B21 - B11)，M5 = (A11 + A12) × B22，M6 = (A21 - A11) × (B11 + B12)，M7 = (A12 - A22) × (B21 + B22)。
矩阵分析课件精品PPT
典型例题解析
例1
求矩阵A的特征值和特征向量，其中A=[[3,1],[2,2]]。
例2
已知矩阵A的特征值为λ1=2, λ2=3，对应的特征向量为 α1=[1,1]T, α2=[1,-1]T，求矩阵A。
解析
首先求出矩阵A的特征多项式为f(λ)=(λ-1)(λ-4)，解得特 征值为λ1=1, λ2=4。然后分别将特征值代入(A-λI)x=0求 解对应的特征向量。
应用举例
通过克拉默法则求解二元、三元线性方程组，并验证解的正确性 。
典型例题解析
01
例题1
求解三元线性方程组，通过高斯消元 法得到增广矩阵的上三角形式，然后 回代求解未知数列向量x。
02
03
例题2
例题3
判断四元线性方程组的解的情况，通 过计算系数矩阵的行列式|A|以及替换 列向量后的矩阵行列式|Ai|，根据克 拉默法则判断方程组的解是唯一解、 无解还是无穷多解。
特殊类型矩阵介绍
01
02
03
04
方阵
行数和列数相等的矩阵称为方 阵。
零矩阵
所有元素都是零的矩阵称为零 矩阵。
对角矩阵
除主对角线外的元素全为零的 方阵称为对角矩阵。
单位矩阵
主对角线上的元素全为1，其 余元素全为0的方阵称为单位 矩阵。
矩阵性质总结
Байду номын сангаас
01
结合律
02
交换律
03 分配律
04
数乘结合律
数乘分配律
• 对于每一个特征值m，求出齐次线性方程组(A-mI)x=0的一个基础解系，则A对应于特征值m的全部特征向量（其中I是与A 同阶的单位矩阵）。
特征值和特征向量求解方法
矩阵的基本运算
矩阵的基本运算矩阵是数学中非常重要的一个概念，它在各个领域都有着广泛的应用。
矩阵的基本运算包括矩阵的加法、减法、数乘和矩阵的乘法等。
本文将围绕这些基本运算展开讨论。
首先，我们来讲解矩阵的加法。
如果两个矩阵A和B的维数相同，即都是m行n列的矩阵，那么它们可以相加。
矩阵的加法运算是将对应位置的元素相加得到新的矩阵。
即若A=(a_{ij})，B=(b_{ij})，则A+B=(a_{ij}+b_{ij})。
例如，给定两个矩阵A和B如下：A = [1 2 3][4 5 6]B = [7 8 9][10 11 12]则A与B的和C为：C = [1+7 2+8 3+9][4+10 5+11 6+12]简化运算后，C的结果为：C = [8 10 12][14 16 18]接下来我们讨论矩阵的减法。
矩阵的减法运算与加法类似，也是将对应位置的元素相减得到新的矩阵，即若A=(a_{ij})，B=(b_{ij})，则A-B=(a_{ij}-b_{ij})。
例如，给定两个矩阵A和B如下：A = [1 2 3][4 5 6]B = [7 8 9][10 11 12]则A与B的差D为：D = [1-7 2-8 3-9][4-10 5-11 6-12]简化运算后，D的结果为：D = [-6 -6 -6][-6 -6 -6]矩阵的数乘是指将一个矩阵的每个元素都乘以一个实数。
即若A=(a_{ij})是一个m行n列的矩阵，k是一个实数，那么kA=(ka_{ij})。
例如，给定一个矩阵A和一个实数k如下：A = [1 2 3][4 5 6]k = 2则kA的结果为：kA = [2*1 2*2 2*3][2*4 2*5 2*6]简化运算后，kA的结果为：kA = [2 4 6][8 10 12]最后我们来讨论矩阵的乘法。
矩阵的乘法运算是指矩阵与矩阵之间进行乘法运算，得到一个新的矩阵。
矩阵的乘法有一定的规则，即若A是一个m行n列的矩阵，B是一个n行p列的矩阵，那么它们可以相乘，得到一个m行p列的矩阵C。
线性代数中的矩阵理论及其应用
线性代数中的矩阵理论及其应用线性代数是近年来非常热门的学科，它广泛应用于物理和工程等领域，包括机器学习、图像和信号处理、网络分析和优化，数学建模等等。
而矩阵理论是线性代数中的重要分支，是许多应用的基础。
本文将介绍矩阵理论的基本概念和应用，以及其中一些重要的定理和算法。
一、矩阵的基本概念在矩阵理论中，矩阵是指一个由m行n列元素组成的矩形阵列，通常用A=[aij]表示，其中i代表行号，j代表列号，aij代表矩阵A中的第i行第j列的元素。
当m=n时，矩阵A称为方阵，元素aij对应于A的第i个行向量和第j个列向量的内积。
对于矩阵A和B，它们的和C=A+B是一个矩阵，其中C的每个元素都等于对应位置上A和B的元素之和。
同样地，矩阵的差和数乘分别为D=A-B和E=kA，其中D的每个元素都等于对应位置上A和B的元素之差，E的每个元素都等于A的对应元素乘以k。
此外，矩阵的转置AT是一个矩阵，其中AT的第i行第j列的元素等于A的第j行第i列的元素。
二、矩阵的应用矩阵理论的应用非常广泛，以下介绍一些常见的应用。
1.线性方程组的求解线性方程组的求解是矩阵理论的基础应用之一。
对于一个n元线性方程组Ax=b，其中A是一个n行n列的矩阵，x和b都是n 维列向量，x的每个元素都代表方程组的一个未知数，b的每个元素都代表方程组的一个常数项。
则方程组的解为x=A-1b，其中A-1是矩阵A的逆矩阵。
若A没有逆矩阵，则方程组无解或有无穷解。
2.特征值和特征向量特征值和特征向量也是矩阵理论中的重要概念之一。
对于一个n阶方阵A，若存在一个非零向量x，以及一个标量λ，使得Ax=λx，则λ是矩阵A的一个特征值，x是对应的特征向量。
特征值和特征向量可以用来描述矩阵的几何特性和运动轨迹，以及在状态空间中的扭曲和伸缩等现象。
3.奇异值分解奇异值分解（SVD）是矩阵理论中的另一个重要概念，可以用来分析矩阵的结构和性质。
对于一个m行n列的矩阵A，它的奇异值分解为A=UΣVT，其中U是一个m行m列的正交矩阵，VT是一个n行n列的正交矩阵，Σ是一个m行n列的矩形对角矩阵。
矩阵的计算方法
矩阵的计算方法矩阵是线性代数中的重要概念，它是一个由数字排成的矩形阵列。
矩阵的计算方法包括矩阵的加法、减法、数乘、矩阵乘法、转置等。
下面我们将逐一介绍这些计算方法。
首先，矩阵的加法。
两个相同维数的矩阵可以相加，其规则是对应位置的元素相加，得到的结果矩阵的每个元素都是原矩阵对应位置元素的和。
其次，矩阵的减法。
同样是相同维数的矩阵可以相减，其规则是对应位置的元素相减，得到的结果矩阵的每个元素都是原矩阵对应位置元素的差。
接着是矩阵的数乘。
一个矩阵乘以一个数称为数乘，其规则是矩阵的每个元素都乘以这个数，得到的结果矩阵的每个元素都是原矩阵对应位置元素乘以这个数。
然后是矩阵的乘法。
矩阵的乘法是指两个矩阵相乘，其规则是第一个矩阵的行与第二个矩阵的列相乘，得到的结果矩阵的元素是第一个矩阵的行与第二个矩阵的列对应位置元素的乘积之和。
需要注意的是，矩阵的乘法不满足交换律，即AB不一定等于BA。
最后是矩阵的转置。
矩阵的转置是指将矩阵的行列互换得到的新矩阵。
转置后的矩阵的行数变为原矩阵的列数，列数变为行数，且转置后的矩阵满足转置后的转置等于原矩阵。
除了上述基本的矩阵计算方法外，还有一些特殊的矩阵，例如单位矩阵、零矩阵、对角矩阵等，它们在矩阵的计算中也有着特殊的作用和性质。
在实际应用中，矩阵的计算方法被广泛应用于工程、物理、经济等领域，例如在解线性方程组、描述空间中的变换、图像处理等方面都有着重要的作用。
总的来说，矩阵的计算方法是线性代数中的基础知识，掌握好这些计算方法对于深入理解线性代数以及在实际问题中的应用都具有重要意义。
希望本文介绍的矩阵的计算方法能够帮助读者更好地理解和应用矩阵。
矩阵及其基本算法
矩阵及其基本算法矩阵是数学和计算机科学中常见的概念，它是由一组数按照固定的行数和列数排列成的矩形阵列。
矩阵在各个领域中具有重要的应用，如代数学、线性方程组的求解、图像处理、数据分析等。
本文将介绍矩阵的基本概念和常见的算法。
1.矩阵的基本概念：-矩阵的行数和列数被称为矩阵的维度。
一个mxn的矩阵有m行n列。
-矩阵元素指的是矩阵中的每个个体数值，可以用a[i][j]表示，其中i表示行数，j表示列数。
-方阵是指行数和列数相等的矩阵，即nxn的矩阵。
-零矩阵是所有元素都是0的矩阵，通常用0表示。
-单位矩阵是一个方阵，其对角线上的元素都是1，其余元素都是0。
2.矩阵的运算：-矩阵的加法：两个相同大小的矩阵相加，即对应位置的元素相加。
-矩阵的减法：两个相同大小的矩阵相减，即对应位置的元素相减。
-矩阵的乘法：两个矩阵相乘，要求左操作数矩阵的列数等于右操作数矩阵的行数。
结果矩阵的行数等于左操作数矩阵的行数，列数等于右操作数矩阵的列数。
乘法运算是对应位置的元素相乘再求和的过程。
-矩阵的转置：将mxn的矩阵转置为nxm的矩阵，即原矩阵的行列互换。
3.矩阵的基本算法：-矩阵的求逆：对于一个可逆矩阵A，存在一个矩阵B，使得A与B的乘积等于单位矩阵。
求逆矩阵的常用方法是高斯-约当消元法。
-矩阵的行列式：行列式是一个与方阵相关的标量，它可以通过递归计算进行求解。
行列式的值可以用于判断矩阵是否可逆，以及计算矩阵的特征值等。
-矩阵的特征值和特征向量：特征值是一个标量，特征向量是与特征值相关联的非零向量。
特征值和特征向量在矩阵的特征值分解、主成分分析等领域有着重要应用。
4.应用实例：-线性方程组的求解：线性方程组可以表示为一个矩阵乘以一个向量的形式，通过求解矩阵的逆，可以得到方程组的解。
-图像处理：图像可以表示为一个像素矩阵，通过对矩阵的像素进行运算，可以实现图像的旋转、缩放、滤波等操作。
-数据分析：矩阵在数据分析中广泛应用，如矩阵分解、矩阵乘法、矩阵求逆等操作可以用于数据降维、主要成分分析、聚类分析等。
基础矩阵
基础矩阵及其求法同一三维场景在两个不同视点处得到的两幅二维图像之间的几何关系——极几何以及极几何的代数表示——基础矩阵。
两幅图像可以是由两个摄像机在不同位置同时采集的，也可以是同一摄像机顺序采集的，例如摄像机相对场景移动。
对于这两种情况，几何上认为是相等的。
一般地，同一世界坐标系下的同一物体的图像间存在一种几何上的对极约束关系。
在立体视觉中，可以利用图像点的匹配来恢复这种几何关系，反过来，也可以利用这种几何关系来约束匹配，使得对应点的搜索范围由二维平面降低到对应一维极线，使得匹配的鲁棒性、精度都得到很大提高。
对极几何关系在数学上可以用基础矩阵F 来表示，因此，对极几何问题就转化为对基础矩阵F 的估计问题。
精确地计算F 对于标定、寻找精确匹配和三维重建都有重要意义。
2.1 基础矩阵假设在一个立体视觉系统中，有两个摄像机，如图2.1所示，设C和C’分别为两个摄像机的光心，两个摄像机获得的图像分别为I和I’，M为三维空间中任意一点，m和m’是点M 在两个图像上的像点（投影点），称m和m’为一对对应点。
连接光心C和C’的直线称为基线。
空间点M和两个光心C和C’共面，设它们所在的平面为π，该面称为极平面。
极平面与图像平面的交线l和l’称为极线。
因为m（m’）也同时在平面π和像平面I（I’）上。
从这里可以看出，寻找m（m’）的对应点m（m’）时，不必在I（I’）整幅图像中寻找，只需在m（m’）在I（I’）的极线上寻找即可。
这就提供了一个重要的极线约束，将对应点的搜索空间从二维降到了一维。
当三维空间点M移动时，产生的对所有极线都穿过极点e(e’)，极点是极线与图像平面的交点。
图2.1两幅图像间的对极几何2.1.1 参考坐标系为了描述基础矩阵，首先需要定义四个参考坐标系：图像坐标系、成像平面坐标系、摄像机坐标系和世界坐标系。
摄像机采集的数字图像在计算机内可以存储为数组，数组中的每一个元素（称为像素，pixel）的值即是图像点的亮度。
数值代数中的矩阵计算与算法分析-教案
数值代数中的矩阵计算与算法分析-教案一、引言1.1矩阵计算与算法分析的重要性1.1.1矩阵计算在科学研究和工程应用中的广泛应用1.1.2算法分析对于提高计算效率和精度的关键作用1.1.3矩阵计算与算法分析在数值代数中的核心地位1.1.4课程目标与学习意义1.2课程内容概述1.2.1矩阵的基本概念与性质1.2.2矩阵的运算及其几何意义1.2.3常用矩阵算法及其应用1.2.4算法分析的基本方法与技巧1.3学习方法与要求1.3.1理论学习与实践操作相结合1.3.2掌握矩阵计算的基本方法与技巧1.3.3理解算法分析的基本原理与方法1.3.4学会运用矩阵计算与算法分析解决实际问题二、知识点讲解2.1矩阵的基本概念与性质2.1.1矩阵的定义及其表示方法2.1.2特殊矩阵（如对角矩阵、单位矩阵等）及其性质2.1.3矩阵的行列式及其性质2.1.4矩阵的秩及其计算方法2.2矩阵的运算及其几何意义2.2.1矩阵的加法、减法与数乘运算2.2.2矩阵的乘法及其几何意义2.2.3矩阵的逆及其求解方法2.2.4矩阵的转置及其性质2.3常用矩阵算法及其应用2.3.1高斯消元法及其在求解线性方程组中的应用2.3.2LU分解及其在矩阵求逆中的应用2.3.3QR分解及其在最小二乘问题中的应用2.3.4特征值与特征向量及其在模式识别中的应用三、教学内容3.1矩阵的基本概念与性质3.1.1通过实例引入矩阵的概念，讲解矩阵的表示方法3.1.2介绍特殊矩阵及其性质，如对角矩阵、单位矩阵等3.1.3讲解矩阵的行列式及其性质，如行列式的计算方法、性质等3.1.4讲解矩阵的秩及其计算方法，如通过高斯消元法求矩阵的秩3.2矩阵的运算及其几何意义3.2.1通过实例讲解矩阵的加法、减法与数乘运算3.2.2讲解矩阵的乘法及其几何意义，如线性变换等3.2.3讲解矩阵的逆及其求解方法，如高斯-若尔当法等3.2.4讲解矩阵的转置及其性质，如转置矩阵的性质等3.3常用矩阵算法及其应用3.3.1讲解高斯消元法及其在求解线性方程组中的应用3.3.2讲解LU分解及其在矩阵求逆中的应用3.3.3讲解QR分解及其在最小二乘问题中的应用3.3.4讲解特征值与特征向量及其在模式识别中的应用四、教学目标4.1知识与技能目标4.1.1理解矩阵的基本概念与性质4.1.2掌握矩阵的运算及其几何意义4.1.3学会常用矩阵算法及其应用4.1.4能够运用矩阵计算与算法分析解决实际问题4.2过程与方法目标4.2.1通过实例引入，培养学生观察、分析问题的能力4.2.2通过讲解与练习，培养学生逻辑思维与推理能力4.2.3通过小组讨论，培养学生合作与交流能力4.2.4通过实际应用，培养学生解决实际问题的能力4.3情感态度与价值观目标4.3.1培养学生对矩阵计算与算法分析的兴趣与热情4.3.2培养学生严谨、求实的科学态度4.3.3培养学生创新意识与批判精神4.3.4培养学生团队协作与沟通能力五、教学难点与重点5.1教学难点5.1.1矩阵的乘法及其几何意义5.1.2矩阵的逆及其求解方法5.1.3特征值与特征向量的计算及应用5.1.4算法分析的基本原理与方法5.2教学重点5.2.1矩阵的基本概念与性质5.2.2矩阵的运算及其几何意义5.2.3常用矩阵算法及其应用5.2.4矩阵计算与算法分析在实际问题中的应用六、教具与学具准备6.1教具准备6.1.1多媒体设备（如投影仪、电脑等）6.1.2白板或黑板、粉笔、板擦等6.1.3教学课件或讲义6.1.4实验或演示工具（如计算器、矩阵计算软件等）6.2学具准备6.2.1笔记本、草稿纸、计算器等6.2.2矩阵计算与算法分析相关教材或参考书6.2.3小组讨论或合作学习所需材料6.2.4实际应用案例或问题七、教学过程7.1导入新课7.1.1通过实例引入矩阵的概念，激发学生学习兴趣7.1.2提问或讨论，引导学生回顾相关知识点7.1.3明确教学目标与学习内容，激发学生学习动机7.2讲解与演示7.2.1讲解矩阵的基本概念与性质，通过实例加深理解7.2.2演示矩阵的运算及其几何意义，引导学生观察、思考7.2.3讲解常用矩阵算法及其应用，通过实际案例讲解算法原理7.2.4演示算法分析的基本方法与技巧，引导学生掌握算法分析的方法7.3练习与讨论7.3.1安排课堂练习，巩固所学知识点7.3.2小组讨论或合作学习，培养学生合作与交流能力7.3.3解答学生疑问，引导学生深入理解知识点7.4应用与拓展7.4.1通过实际应用案例，培养学生解决实际问题的能力7.4.2引导学生进行拓展学习，提高学生自主学习能力7.4.3安排课后作业或实验，巩固所学知识点7.4.4引导学生参与学科竞赛或研究项目，培养学生的创新能力八、板书设计8.1矩阵的基本概念与性质8.1.1矩阵的定义及其表示方法8.1.2特殊矩阵（如对角矩阵、单位矩阵等）及其性质8.1.3矩阵的行列式及其性质8.1.4矩阵的秩及其计算方法8.2矩阵的运算及其几何意义8.2.1矩阵的加法、减法与数乘运算8.2.2矩阵的乘法及其几何意义8.2.3矩阵的逆及其求解方法8.2.4矩阵的转置及其性质8.3常用矩阵算法及其应用8.3.1高斯消元法及其在求解线性方程组中的应用8.3.2LU分解及其在矩阵求逆中的应用8.3.3QR分解及其在最小二乘问题中的应用8.3.4特征值与特征向量及其在模式识别中的应用九、作业设计9.1基础练习题9.1.1矩阵的基本概念与性质相关的练习题9.1.2矩阵的运算及其几何意义相关的练习题9.1.3常用矩阵算法相关的练习题9.1.4矩阵计算与算法分析在实际问题中的应用练习题9.2拓展练习题9.2.1矩阵计算与算法分析在科学研究中的应用练习题9.2.2矩阵计算与算法分析在工程应用中的练习题9.2.3矩阵计算与算法分析在数据科学中的应用练习题9.2.4矩阵计算与算法分析在金融数学中的应用练习题9.3实践项目9.3.1基于矩阵计算的图像处理实践项目9.3.2基于矩阵算法的社交网络分析实践项目9.3.3基于矩阵计算的机器学习算法实践项目9.3.4基于矩阵算法的金融风险管理实践项目十、课后反思及拓展延伸10.1课后反思10.1.2对教学方法的反思与改进10.1.3对学生学习情况的反思与评价10.1.4对教学效果的反思与提升10.2拓展延伸10.2.1引导学生参与学科竞赛或研究项目10.2.2鼓励学生参加学术讲座或研讨会10.2.3提供相关的学习资源与参考文献10.2.4鼓励学生进行跨学科的学习与研究重点关注环节及其补充和说明：1.教学难点与重点：需要重点关注矩阵的乘法及其几何意义、矩阵的逆及其求解方法、特征值与特征向量的计算及应用、算法分析的基本原理与方法。
c语言编写矩阵及其运算
c语言编写矩阵及其运算矩阵是线性代数中的重要概念，它可以用来表示线性方程组、线性变换以及向量空间等。
在C语言中，我们可以通过数组来实现矩阵的表示和运算。
本文将介绍如何使用C语言编写矩阵及其运算的相关代码。
1. 矩阵的表示在C语言中，可以使用二维数组来表示矩阵。
二维数组是由多个一维数组组成的，每个一维数组表示矩阵的一行或一列。
例如，我们可以使用以下代码定义一个3x3的矩阵：```int matrix[3][3] = {{1, 2, 3},{4, 5, 6},{7, 8, 9}};```2. 矩阵的运算矩阵的运算包括加法、减法、乘法等。
下面分别介绍这些运算在C 语言中的实现方法。
2.1 矩阵加法矩阵加法的规则是将两个矩阵对应元素相加。
例如，给定两个相同大小的矩阵A和B，它们的和矩阵C的第i行第j列的元素可表示为：C[i][j] = A[i][j] + B[i][j]。
下面是一个实现矩阵加法的代码示例：```void matrixAddition(int A[][3], int B[][3], int C[][3], int rows, int cols) {for (int i = 0; i < rows; i++) {for (int j = 0; j < cols; j++) {C[i][j] = A[i][j] + B[i][j];}}}```2.2 矩阵减法矩阵减法的规则与矩阵加法类似，只是将对应元素相减。
例如，给定两个相同大小的矩阵A和B，它们的差矩阵C的第i行第j列的元素可表示为：C[i][j] = A[i][j] - B[i][j]。
下面是一个实现矩阵减法的代码示例：```void matrixSubtraction(int A[][3], int B[][3], int C[][3], int rows, int cols) {for (int i = 0; i < rows; i++) {for (int j = 0; j < cols; j++) {C[i][j] = A[i][j] - B[i][j];}}}```2.3 矩阵乘法矩阵乘法的规则是将第一个矩阵的每一行与第二个矩阵的每一列进行点乘，然后将结果相加。
(完整版)浅谈矩阵计算
浅谈矩阵计算一丶引言矩阵是高等代数学中的常见的工具。
在应用数学，物理学，计算机科学中都有很大的作用。
研究矩阵的计算，可以简化运算，并深入理解矩阵的性质。
在数学中，矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。
这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。
矩阵常见于统计分析等应用数学学科中。
在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。
矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。
将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。
对一些应用广泛而形式特殊的矩阵，例如稀疏矩阵和准对角矩阵，有特定的快速运算算法。
关于矩阵相关理论的发展和应用，请参考矩阵理论。
在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。
矩阵的研究历史悠久，发展也是历久弥新，拉丁方阵和幻方在史前年代已有人研究。
作为解决线性方程的工具，矩阵也有不短的历史。
成书最迟在东汉前期的《九章算术》中，用分离系数法表示线性方程组，得到了其增广矩阵。
在消元过程中，使用的把某行乘以某一非零实数、从某行中减去另一行等运算技巧，相当于矩阵的初等变换。
但那时并没有现今理解的矩阵概念，虽然它与现有的矩阵形式上相同，但在当时只是作为线性方程组的标准表示与处理方式。
矩阵正式作为数学中的研究对象出现，则是在行列式的研究发展起来后。
逻辑上，矩阵的概念先于行列式，但在实际的历史上则恰好相反。
日本数学家关孝和（1683年）与微积分的发现者之一戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（1693年）近乎同时地独立建立了行列式论。
其后行列式作为解线性方程组的工具逐步发展。
1750年，加布里尔·克拉默发现了克莱姆法则。
矩阵的现代概念在19世纪逐渐形成。
1800年代，高斯和威廉·若尔当建立了高斯—若尔当消去法。
1844年，德国数学家费迪南·艾森斯坦（F.Eisenstein）讨论了“变换”（矩阵）及其乘积。
矩阵的运算及其运算规则
矩阵的运算及其运算规则矩阵是现代数学中的一种重要工具，它在线性代数、图论、物理学等领域中都有广泛的应用。
矩阵的运算是研究矩阵性质和解决实际问题的基础。
本文将介绍矩阵的运算及其运算规则。
（一）矩阵的加法矩阵的加法是指将两个相同大小的矩阵对应位置的元素相加。
假设有两个矩阵A和B，它们的大小都是m行n列，记作A = [aij]m×n，B = [bij]m×n，则矩阵A和B的加法C = A + B定义为C = [cij]m×n，其中cij = aij + bij。
例如，对于矩阵A = [1 2 3; 4 5 6]和矩阵B = [7 8 9; 10 11 12]，它们的加法结果为C = [8 10 12; 14 16 18]。
矩阵的加法满足以下运算规则：1. 加法满足交换律，即A + B = B + A。
2. 加法满足结合律，即(A + B) + C = A + (B + C)。
3. 存在一个零矩阵0，使得A + 0 = A。
4. 对于任意矩阵A，存在一个相反矩阵-B，使得A + (-B) = 0。
（二）矩阵的数乘矩阵的数乘是指将一个矩阵的每个元素都乘以一个数。
假设有一个矩阵A和一个实数k，记作kA，则矩阵kA定义为kA = [kaij]m×n。
例如，对于矩阵A = [1 2 3; 4 5 6]和实数k = 2，它们的数乘结果为kA = [2 4 6; 8 10 12]。
矩阵的数乘满足以下运算规则：1. 数乘满足结合律，即k(lA) = (kl)A，其中k和l分别为实数。
2. 数乘满足分配律，即(k + l)A = kA + lA，其中k和l分别为实数。
3. 数乘满足分配律，即k(A + B) = kA + kB，其中k为实数，A和B 为矩阵。
（三）矩阵的乘法矩阵的乘法是指将一个m行n列的矩阵A和一个n行p列的矩阵B 相乘得到一个m行p列的矩阵C。
假设有两个矩阵A和B，它们的大小分别为m行n列和n行p列，记作A = [aij]m×n，B = [bij]n×p，则矩阵A和B的乘法C = AB定义为C = [cij]m×p，其中cij= ∑(ai1 * b1j)。
矩阵及其基本算法
03
随机森林和梯度提升树等集成学习方法也可以利用矩阵进 行训练和预测。在训练阶段，可以利用矩阵运算来计算基 学习器的权重和阈值；在预测阶段，可以利用矩阵运算来 计算样本的预测值。
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矩阵的表示
01
可以用数学符号表示矩阵，如A、B等。
02 也可以用字母和数字表示矩阵，如A=[a11 a12; a21 a22]。
03
在编程语言中，矩阵通常用二维数组表示。
矩阵的性质
01 矩阵的行数和列数可以相等也可以不等。
02 矩阵的元素可以是实数、整数、复数等。
03
矩阵可以通过加法、减法、乘法等运算进 行操作。
行列式的性质
行列式的值是非负的，且行变换和列变换不会改变行列式的值。
行列式的计算方法
代数余子式法
利用代数余子式展开行列式，再根据展开后的项进行 计算。
递推法
利用递推关系式计算行列式的值，适用于n阶行列式。
三角化法
将行列式化为上三角或下三角形式，再利用对角线元 素计算行列式的值。
04
矩阵的分解
矩阵的LU分解
04
矩阵的逆、转置、行列式等也是重要的矩 阵性质。
02
矩阵的基本运算
矩阵的加法
总结词 矩阵的加法是指将两个矩阵的对 应元素相加，得到一个新的矩阵。
详细描述 对于矩阵的加法，如果两个矩阵 的行数和列数都相等，则它们的 和也是一个矩阵，其行数和列数 与原矩阵相同。
详细描述 矩阵的加法满足交换律和结合律， 即A+B=B+A， (A+B)+C=A+(B+C)。
矩阵的乘法
总结词
矩阵的乘法是指将两个矩阵相乘，得到一个新的矩阵。
矩阵
矩阵数学中最重要的基本概念之一，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究及应用的一个重要工具。
由m n个数排成的m行n列的矩形表称为m×n矩阵,记作A或,也可记作(αij)或。
数称为矩阵的第i行第j列的元素。
当矩阵的元素都是某一数域F中的数时,就称它为数域F上的矩阵,简称F上的矩阵。
当m=n时，矩阵A称为n阶矩阵或n阶方阵,此时α11,α22,…,αnn称为n阶矩阵的对角线元素，当所有的非对角线元素αij(i ≠j)均为零时，A就称为n阶对角矩阵,简称对角矩阵。
当对角线下面(或上面)的所有元素均为0时,A就称为上（或下）三角矩阵。
在m×n矩阵A中取k个行和k个列,k≤m，n；由这些行与列相交处的元素按原来的位置构成的k阶行列式,称为矩阵A的k阶子式。
一个n阶矩阵A只有一个n阶子式,它称为矩阵A的行列式，记作│A│或det A。
矩阵-来源英文名Matrix（SAMND矩阵）。
在数学名词中，矩阵用来表示统计数据等方面的各种有关联的数据。
这个定义很好地解释了Matrix代码制造世界的数学逻辑基础。
数学上，矩阵用在解线性方程组上既方便，又直观。
例如对于方程组。
a1x+b1y+c1z=d1a2x+b2y+c2z=d2a3x+b3y+c3z=d3来说，我们可以构成一个矩阵：/ \|a1 b1 c1 || ||a2 b2 c2 || ||a3 b3 c3 |\ / 因为这些数字是有规则地排列在一起，形状像矩形，所以数学家们称之为矩阵，通过矩阵的变化，就可以得出方程组的解来。
矩阵这一具体概念是由19世纪英国数学家凯利首先提出并形成矩阵代数这一系统理论的。
数学上，一个m×n矩阵乃一m行n列的矩形阵列。
矩阵由数组成，或更一般的，由某环中元素组成。
矩阵常见于线性代数、线性规划、统计分析，以及组合数学等。
请参考矩阵理论。
矩阵-矩阵的运算两个矩阵只有在其行数与列数均分别相同，而且所有相应位置的元素均相等时，才能称为相等。
矩阵及其算法
矩阵及其算法1. 矩阵介绍矩阵（matrix）是数字或字符的矩形⽹格（如 excel 表格），并具有加、减、乘等运算规则。
从数学的⾓度来看，对于 m x n 矩阵的形式，可以⽤计算机中的⼆维数组来表⽰。
基本上，许多矩阵的运算与应⽤都可以使⽤计算机中的⼆维数组解决。
矩阵维度我们⽤ (⾏数, 列数) 来描述矩阵的维度。
2. 矩阵相加矩阵的相加运算较为简单，前提是相加的两个矩阵对应的⾏数与列数必须相等，⽽相加后矩阵的⾏数与列数也是相同的。
⽰例代码1 A = [[1,2,3], [1,2,3], [1,2,3]]2 B = [[1,2,3], [1,2,3], [1,2,3]]3 N = 34# ⽤于存放相加结果的矩阵5 C = [[None]*N for i in range(N)]67for i in range(N):8for j in range(N):9 C[i][j] = A[i][j] + B[i][j] # 矩阵C = 矩阵A + 矩阵B10print("矩阵A和矩阵B的相加结果：")11for i in range(N):12for j in range(N):13print(C[i][j], end="\t")14print()执⾏结果：矩阵A和矩阵B的相加结果：2 4 62 4 62 4 63. 矩阵相乘并不是所有的矩阵都能进⾏乘法运算的。
并且，对输出矩阵的维度也存在要求。
矩阵⼀的列数必须等于矩阵⼆的⾏数，如 M×N 矩阵和 N×K 矩阵相乘的结果是 M×K 矩阵（新矩阵取矩阵⼀的⾏和矩阵⼆的列）。
实现原理矩阵乘法依赖于点积与⾏列元素的各种组合。
以下图为例，矩阵 C 中的每个元素都是矩阵 A的⾏与矩阵 B 的列的点积。
操作 a1·b1 表⽰我们取矩阵 A 中第 1 ⾏ (1,7) 和矩阵 B 中第 1 列 (3,5) 的点积：即：为什么矩阵乘法以这种⽅式⼯作？矩阵的乘法运算⾮常有⽤，但背后并没有太深奥的数学规律，之所以数学家发明了这种运算，完全是因为它简化了以前乏味的计算。
四阶矩阵乘法
四阶矩阵乘法矩阵是数学中的一种基本概念，是由若干个数按照一定次序排列成的矩形阵列，通常用大写字母表示。
矩阵运算是指在矩阵之间的加、减、乘等运算。
其中，矩阵乘法是最基本、最常用的矩阵运算之一，而四阶矩阵乘法就是针对4x4矩阵的乘法。
四阶矩阵乘法的步骤如下：步骤1：给定两个4x4的矩阵A和B假设矩阵A为：A = a11 a12 a13 a14a21 a22 a23 a24a31 a32 a33 a34a41 a42 a43 a44矩阵B为：B = b11 b12 b13 b14b21 b22 b23 b24b31 b32 b33 b34b41 b42 b43 b44步骤2：将矩阵A和B分成2x2的小矩阵即将矩阵A和B分为四个2x2的小矩阵：A11 A12 B11 B12A21 A22 B21 B22A31 A32 B31 B32A41 A42 B41 B42步骤3：计算小矩阵的乘积将小矩阵按照公式进行乘积的计算：C11 = A11 x B11 + A12 x B21C12 = A11 x B12 + A12 x B22C21 = A21 x B11 + A22 x B21C22 = A21 x B12 + A22 x B22C21 = A31 x B11 + A32 x B21C22 = A31 x B12 + A32 x B22C31 = A41 x B11 + A42 x B21C32 = A41 x B12 + A42 x B22C31 = A31 x B31 + A32 x B41C32 = A31 x B32 + A32 x B42C41 = A41 x B31 + A42 x B41C42 = A41 x B32 + A42 x B42C51 = A51 x B51 + A52 x B61C52 = A51 x B52 + A52 x B62C61 = A61 x B51 + A62 x B61C62 = A61 x B52 + A62 x B62步骤4：组合小矩阵的乘积按照组合的方式，将小矩阵的乘积组合成最终的4x4的矩阵：C = C11 C12 C13 C14C21 C22 C23 C24C31 C32 C33 C34C41 C42 C43 C44以上就是四阶矩阵乘法的详细步骤，其中第三步是最为关键的一步，需要进行多次重复计算。
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二、矩阵的基本运算
矩阵的判重 矩阵的线性运算 矩阵的转置 矩阵乘法
矩阵的判重
在二维数组表示法中，我们可以用一个二重循 环判断两个矩阵是否相等。
在三元组表示方法中，我们如果保证非零元素 是按照从上到下，从左到右的顺序储存的，则 可以用一个循环直接判断。但如果不能保证， 则需要二重循环。因此在未加说明的情况下， 三元组表示法均需要按顺序保存各个元素。
struct TCol
{
{
int RowNo;
int ColNo;
TNode * firstnode; TNode * firstnode;
};
};
矩阵表示方法小结
矩阵的表示方法和应用是分不开的。 我们衡量一种表示方法的优劣，需要从不同的
角度进行分析。 适用范围 空间需求量 基本操作的时间消耗 实现的难易程度 以上几种方法都在某些方面表现良好而其他方
矩阵及其基本算法
矩阵的表示 矩阵的基本运算 小结和应用举例
一、矩阵的表示
矩阵在形式上最直接的表示是一个二维数组，但 是在一些特殊的场合中，我们需要引入一些特殊 的方法来表示一些特殊的矩阵。在本节中，大家 还将了解到以下几种表示方法:
三角矩阵的压缩表示法 稀疏矩阵的三元组表示法 稀疏矩阵的十字链表表示法
因此，我们可以用一个大小为(N+1)*N/2 的一维数组来表示。
不过，我们需要一个公式，把每个元素 原来的位置(i,j)映射到一维数组的下标k。
三角矩阵的压缩表示(2)
我们从上到下，从左到右地储存各个元 素，如下图：
a11 a12 a13 a14
a22
a23
a24
row,col分别为该非零元素的位置，value为它的值。 left,right,up,down分别为指向四个方向的后继元素。
稀疏矩阵的十字链表表示(4)
为了方便的找到每一个包含非零元素的 行和列，我们把所有行串在一起，组成 一个行链表，把所有列也串在一起，组 成一个列链表。像这样：
struct TRow
矩阵的线性运算(3)
我们记录两个矩阵A，B的当前非零元素 序号pA和pB。为了保证结果的有序性， 我们每次比较这两个当前元素的位置。
如果A的当前位置靠前，则把A的第pA个元素加入 矩阵C，并使pA=pA+1
如果B的当前位置靠前，则把B的第pB个元素加入 矩阵C，并使pB=pB+1
如果当前位置相同，则先使pA=pA+1, pB=pB+1。 如果A的第pA-1个元素和B的第pB-1个元素的和不为 零，则把它加到矩阵C中。
如果已知矩阵中存在着大量的0元素，那 么这种表示方法是很浪费空间的。
由于非零元素的个数L十分有限，我们可 以只储存下这L个元素的位置和大小，占 用的空间便会少得多。
稀疏矩阵的三元组表示法
显然，表示稀疏矩阵最直接的方法就是 仅记录下非零元素的个数L和这L个元素 的位置(row,col)和大小(value)，即下面这 个结构：
a33
a34
a44
a1 a2 a3 a4
a5
a6
a7
a8
a9
a10
i 1
Aij前面的数的个数为： (n l 1) ( j 1)
计算得:
1
l 1
(2n i
2)(i 1)
j
2
稀疏矩阵
在前面的二维数组表示法中，我们表示 一个N*M的矩阵需要N*M个内存单元。
这样，我们了建立一种十字型的链表结构，每 个结点有上，下，左，右四个指针和自身的位 置坐标，大小共7个域。
稀疏矩阵的十字链表表示(3)
结点类型如下定义：
struct Tnode {
int row, col; int value; Tnode *left, *right, *up, *down; };
在十字链表表示方法中，我们需要依次遍历每 一个非零行（或者列）。
矩阵的线性运算
矩阵的数乘: B=kA
在任何一种表示法中，我们都可以通过遍历所有 元素的方法完成数乘运算。
矩阵的加法: C=A+B
在二维数组表示法中，我们可以通过二重循环来 进行矩阵加法
在稀疏矩阵中，注意到结果中的非零元素所在的 位置必对应A或B中的一个非零元素，所以加法运 算不会在A和B中原非零元素之外的其他位置上生 成新的非零元素。
struct TMatrix2 {
int l; int row[MAXL],col[MAXL],value[MAXL]; };
稀疏矩阵的十字链表表示(1)
三元组表示法比较好的解决了稀疏矩阵的空间存储问 题，却忽视了稀疏矩阵可能进行了一些基本操作。
考虑两个稀疏矩阵A和B相加的问题。对于运算结果矩 阵C来说，可能会因为正负抵消而产生出很多新的零元 素和非零元素，导致三元组需要进行一些插入和删除 操作。当这些操作很频繁的时候，程序的速度会明显 变慢。
矩阵的线性运算(2)
考虑三元组表示法中的矩阵加法。由于 都需要按顺序储存各个元素，我们应当 按顺序对每个A或B中非零的位置做加法。
下面有一个例子：
1 0 0 0 0 2 1 0 2
0
5
0 3
0
0 3
5
0
0 2 0 0 7 0 0 9 0
矩阵的二维数组表示法
我们用二维数组很容易表示一个矩阵。加上矩阵的维数 M和N，我们可以定义一个TMatrix结构:
struct TMatrix {
int n,m; int numbers[MAXN+1][MAXN+1]; };
这就是矩阵的二维数组表示法。怎么样，容易吧？
三角矩阵的压缩表示(1)
N阶上三角矩阵，对称矩阵和反对称矩阵 都只需要储存主对角线以上的共 (N+1)*N/2个元素。
在某些特定情况下，我们需要对元素进行检索，由于 三元组的元素之间联系并不紧密，所以检索很不方便。
稀疏矩阵的十字链表表示(2)
为了加强同一行和同一列之间元素的联系，我 们把每一行分别做成一个链表，把每一列也分 别做成一个链表。
通过对链表的遍历，我们可以很方便的按顺序 访问到某一特定行或列的所有元素。插入和删 除操作也很方便。