第七章 矩阵分解
矩阵分解及其应用
《线性代数与矩阵分析》课程小论文矩阵分解及其应用学生姓名：******专业：*******学号：*******指导教师：********2015年12月Little Paper about the Course of "Linear Algebra and MatrixAnalysis"Matrix Decomposition and its ApplicationCandidate:******Major:*********StudentID:******Supervisor:******12,2015中文摘要将特定类型的矩阵拆解为几个矩阵的乘机称为矩阵的分解。
本文主要介绍几种矩阵的分解方法，它们分别是矩阵的等价分解、三角分解、谱分解、奇异值分解和 Fitting 分解等。
矩阵的分解理论和方法是矩阵分析中重要的部分，在求解矩阵的特征值、解线性方程组以及实际工程中有着广泛的运用。
因此，本文将介绍矩阵等价分解、三角分解、奇异值分解的理论运用以及三角分解的工程运用。
关键词：等价分解,三角分解,奇异值分解,运用AbstractMany particular types of matrix are split into the product of a matrix of several matrices, which is called decomposition of matrix. In this paper, we introduce some methods of matrix decomposition, which are equivalent decomposition, triangular decomposition, spectral decomposition, singular value decomposition, Fitting decomposition and so on. The decomposition theory and method of matrix is an important part of matrix analysis, which is widely used in solving the characteristic value, solving linear equations and the practical engineering. In this paper, we will introduce the theory of matrix equivalence decomposition, triangular decomposition, singular value decomposition and the engineering application of triangular decomposition.Key words：Equivalent Decomposition, Triangular Decomposition, Singular Value Decomposition, Application目录中文摘要 (1)ABSTRACT (1)1 绪论 (1)2 矩阵分解的常用方法 (1)2.1矩阵的等价分解 (1)2.2矩阵的三角分解 (2)2.2.1 矩阵的三角分解 (2)2.2.2 矩阵的正三角分解 (2)2.3矩阵的谱分解 (5)2.3.1 单纯形矩阵的谱分解 (5)2.3.2 正规矩阵与酉对角化 (6)2.3.3 正规矩阵的谱分解 (6)2.4矩阵的奇异值分解 (7)2.4.1 矩阵的奇异值分解（SVD分解） (7)2.5矩阵的FITTING分解 (7)3矩阵分解的理论应用 (8)3.1矩阵等价分解的理论应用 (8)3.2矩阵三角分解的理论应用 (8)3.3矩阵奇异值分解的理论应用 (9)4 矩阵分解在递推系统辨识中的应用 (10)4.1递推系统辨识中的困难 (10)4.1.1 病态问题 (10)4.1.2 效率和计算量问题 (10)4.2QR分解的实现方法 (11)4.2.1 GIVENS变换 (13)4.3递推算法 (13)5 结论 (18)6 参考文献 (18)1 绪论矩阵的分解是将一个矩阵分解为较为简单的或具有某种特性的若干矩阵的乘积，这是矩阵理论及其应用中比较常见的方法。
矩阵的分解
矩阵的分解矩阵的分解是一种数学方法，它把复杂的矩阵拆分成几个简单的子矩阵，以便能更好地理解和解决特定矩阵问题。
矩阵分解也可以用来提高现有计算机算法的效率。
它是一种重要的数学工具，常用于机器学习，信号处理，图像处理，信息论，控制工程，统计学，优化，数值分析，科学计算等。
矩阵分解可以把大的矩阵分解成小的子矩阵，以便更容易理解特定的矩阵问题。
典型的矩阵分解方法包括LU 分解，QR分解，SVD分解，Cholesky分解，Schur分解，病态分解，矩阵分解等。
LU分解是将一个矩阵分解成一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的过程。
这种分解可以用于解决特定的线性方程组，以及求解矩阵的逆。
一般来说，LU分解具有非常高的计算效率，而且它不需要很多内存来存储矩阵。
QR分解是把一个矩阵分解成一个正交矩阵和一个上三角矩阵的过程。
这种分解可以用来求解矩阵的特征值和特征向量，以及求解线性方程组。
QR分解是一种非常有用的分解形式，因为它可以使用稠密矩阵和稀疏矩阵的快速算法。
SVD(奇异值分解)是将一个矩阵分解成两个正交矩阵和一个对角矩阵的过程。
SVD分解可以用来解决矩阵的秩、特征值、特征向量以及正交正则化问题。
一般来说，SVD 分解是一种非常有效的矩阵分解方法，并且它可以用来提高现有的计算机算法的效率。
Cholesky分解是一种分解矩阵的方法，它可以将一个对称正定矩阵分解成一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积。
Cholesky分解可以用来解决线性方程组、估计最小二乘解、求解矩阵的特征值等。
Cholesky分解的计算效率很高，并且它可以用来提高现有的计算机算法的效率。
Schur分解则是将一个实矩阵分解成一个可逆矩阵和一个上三角矩阵的乘积。
Schur分解可以用来解决矩阵的特征值和特征向量问题，以及求解线性方程组。
Schur分解也可以用来提高现有计算机算法的效率。
病态分解是将一个矩阵分解成一个低秩的正交矩阵和一个正定矩阵的乘积的过程。
矩阵分解——精选推荐
矩阵分解矩阵分解矩阵分解是将矩阵拆解为数个矩阵的乘积，可分为三⾓分解、满秩分解、QR分解、Jordan分解和SVD（奇异值）分解等，常见的有三种.矩阵的三⾓分解、正交三⾓分解、满秩分解将矩阵分解为形式⽐较简单或性质⽐较熟悉的⼀些矩阵的乘积,这些分解式能够明显地反映出原矩阵的许多数值特征,如矩阵的秩、⾏列式、特征值及奇异值等. 另⼀⽅⾯, 构造分解式的⽅法和过程也能够为某些数值计算⽅法的建⽴提供了理论依据. 接下来就讨论⼀下矩阵的三⾓分解.1 矩阵的三⾓分解1.1 矩阵的三⾓分解基本概念与定理定义1.1[]5设m n∈和上三⾓矩L C?A C?∈,如果存在下三⾓矩阵m n阵n m∈, 使得A=LU, 则称A可作三⾓分解或LU分解.U C?定义1.2设A为对称正定矩阵, D为⾏列式不为零的任意对⾓矩阵,则T=成⽴：A A=, U为⼀个单位上三⾓矩阵, 且有A LDU1) 如果L是单位下三⾓矩阵, D是对⾓矩阵, U是单位上三⾓矩阵, 则称分解D=为LD U分解.A L U2) 如果L=LD是下三⾓矩阵, ⽽U是单位上三⾓矩阵, 则称三⾓分解A LUCrout分解;= 为克劳特()3) 如果U DU是单位下三⾓矩阵, U 为上三⾓矩阵, 则称三⾓=分解A LUDoolittle分解;= 为杜利特()U --=== , 称为不带平⽅根的乔累斯基()Cholesky 分解;5) 如果12L D L = , 12D U U= , 则1122A LD U LD D U LU=== , 由于T UL = , 则T A LL= , 称为带平⽅根的乔累斯基()Cholesky 分解. 定理 1.1 n阶⾮奇异矩阵A可作三⾓分解的充要条件是k 0A ≠()1,2,,1k n =- ,这⾥A k为A 的k 阶顺序主⼦阵, 以下同.证明必要性. 设⾮奇异矩阵A 有三⾓分解A L U=, 将其写成分块形式k12k122122212222A L 0U =A A 0U kA U L L这⾥A k ,k L 和k U 分别为A, L和U 的k 阶顺序主⼦阵. ⾸先由0⽽L 0k ≠,U 0k ≠; 因此A =L U0kkk ≠()1,2,,1k n =-.充分性. 对阶数n 作数学归纳法. 当n=1时, 1A =（11a ）=（1）（11a ）,结论成⽴. 设对n k =结论成⽴, 即k =k k A L U , 其中k L 和k U 分别是下三⾓矩阵和上三⾓矩阵. 若k 0A ≠,则由kA =L k k U 易知L k 和k U 可逆. 现证当1n k =+时结论也成⽴, 事实上-1k k k k1TT 1T 1-1k+1,1k 1,1k k k A c 0c A =10c kkk T kk k k k k L U L r a r U a r U L +--+++??= ? ?-.由归纳法原理知A 可作三⾓分解.定理 1.1 给出了⾮奇异矩阵可作三⾓分解的充要条件, 由于不满⾜定理1.1的条件, 所以它不能作三⾓分解. 但110000110011211011202A ?????????? ?===.上例表明对于奇异矩阵,它还能作三⾓分解未必要满⾜定理1.1的条件.⾸先指出,⼀个⽅阵的三⾓分解不是唯⼀的, 从上⾯定义来看,杜利特分解与克劳特分解就是两种不同的三⾓分解,其实,⽅阵的三⾓分解有⽆穷多, 这是因为如果D 是⾏列式不为零的任意对⾓矩阵, 有1()()A LU C D D U LU-== ,其中,LU 也分别是下、上三⾓矩阵, 从⽽A LU = 也使A 的⼀个三⾓分解. 因D 的任意性, 所以三⾓分解不唯⼀. 这就是A 的分解式不唯⼀性问题, 需规范化三⾓分解.定理 1.2 （LD U 基本定理）设A 为n 阶⽅阵,则A 可以唯⼀地分解为A =LD U(1.1)的充分必要条件是A 的前1n -个顺序主⼦式k 0A ≠()1,2,,1k n =- .其中L,U分别是单位下、上三⾓矩阵, D是对⾓矩阵D=diag ()12,,,n d d d ,1k k k A d A -=()1,2,,kn = , 01A =.证明充分性. 若k 0A ≠()1,2,,1k n =- , 则由定理1.1, 即实现⼀个杜利特分解A LU= , 其中L 为单位下三⾓矩阵, U 为上三⾓矩阵,记1112122==()()()()()()1111112122222n n n nn a a a a a a ??=()n A , 因为()u 0i ii ii a ≡≠()1,2,,1i n =- .下⾯分两种情况讨论：1) 若A ⾮奇异,由式(1)有n ?=()()() 121122n nn a a a =A ≠, 所以()n nn nna u =≠,这时令()()()()121122diag n nn D a a a = , 则() ()()1121122111,,,n nn D diag a a a -??= ?.LD D U LDU -=== (1.2)是A 的⼀个LD U 分解.2)若A 奇异,则()u 0i iiii a ≡=,此时令()()()12111221,1(,,,,0)n n n D diag a a a ---= ,()()()()121n-111221,1,,,n n n D diag a a a ---= , α=()1n1u,,,Tn u n - ,则10n T UU α-??≡ =1111110=DU 0001n n n n T T U D U D α------,因此不论哪种情况, 只要k0A ≠()1,2,,1k n =- , 总存在⼀个LD U分解式(1.1),1a kk k kk k A d A -==()1,2,,1kn =- ,01A =.均⾮奇异.若还存在另⼀个LD U 分解111A L D U =, 这⾥1L ,1D , 1U 也⾮奇异,于是有111L D U L D U =(1.3)上式两端左乘以11L -以及右乘以1U -和1D -, 得111111L L D U U D---=, (1.4)但式(1.4)左端是单位下三⾓矩阵, 右端是单位上三⾓矩阵, 所以都应该是单位阵, 因此1LL I-=,1111D U UDI--=,即1L L =,111--=. 由后⼀个等式类似地可得11U UI-=,11D D I-=,即有1U U=,1D D=.2) 若A 奇异, 则式(1.3)可写成分块形式1111100001000110001T T T T T L D U L D U ααββ= ? ? ? ? ? ???????????, 其中1L, 1L 是1n -阶单位下三⾓阵; U , 1U 是1n -阶上三⾓阵; D,1D 是1n -阶对⾓阵; α, 1α,β, 1β是1n -维列向量. 由此得出111111=D U D DUD ααββαββα???? ? ???, 其中1L, 1D , 1U 和L ,D, U均⾮奇异, 类似于前⾯的推理, 可得1L =L ,1D =D , 1U =U ,1=αα,T T1=ββ.必要性. 假定A 有⼀个唯⼀的LD U 分解, 写成分块的形式便是1111A 00=0101n n n n T T nn n x D L U ya d αβ----,(1.5)其中1n L -,1D n -, 1n U -, 1n A -分别是L,A的1n -阶顺序主⼦矩阵;x , y, α,β为1n -维列向量. 由式(1.5)有下⾯的矩阵⽅程:1111n n n n A L D U ----=, (1.6)11TTn n yD U β--=,(1.7)11n n x L D α--=, (1.8)1Tnn n na D d βα-=+. (1.9)否则, 若10n A -=, 则由式(1.6)有111110n n n n n A L D U D -----===.于是有1110n n n L D D ---==, 即11n n L D --奇异. 那么对于⾮其次线性⽅程组(1.8)有⽆穷多⾮零解, 不妨设有α', 使11n n L D x α--'=, ⽽α'=α.同理, 因11n n D U --奇异, ()1111TTT n n n n L D U D ----=也奇异,故有ββ'≠, 使11TTn n U D yβ--=, 或11TTn n D U yn nn n d a D βα-'''=-, 则有1111000101n n n n T T nn nA x D L U y a d αβ----'= ? ? ? ?'',这与A 的LD U 分解的唯⼀性⽭盾, 因此10n A -≠.考察1n -阶顺序主⼦矩阵1n A -由式(1.6)写成分块形式, 同样有2222n n n n A L D U ----=. 由于10n D -≠, 所以20n D -≠, 可得222220n n n n n A L D U D -----==≠, 从⽽20n A -≠. 依此类推可得0k A ≠()1,2,,1k n =- .综上所述, 定理证明完毕.推论 1[]3 设A 是n 阶⽅阵, 则A 可惟⼀进⾏杜利特分解的充分必要条件是A 的前1n -个顺序主⼦式11110k k k kka a A a a =≠,1,2,,1k n =- , 其中L 为单位上三⾓矩阵, 即有11121212223132121111n nnn n n n n u u u l u u l l A u l l l -=并且若A 为⾮奇异矩阵, 则充要条件可换为: A的各阶顺序主⼦式全不为零, 即:0k A ≠,1,2,,k n = .推论 2[]3 n 阶⽅阵A 可惟⼀地进⾏克劳特分解111212122212111n nn n nnl u u ll u A LUl l l==的充要条件为11110k k k kka a A a a =≠, 1,2,,1k n =- .若A 为奇异矩阵, 则0nn l =, 若A 为⾮奇异矩阵, 则充要条件也可换为0k A ≠, 1,2,,k n = .定理 1.3[]3 设A 为对称正定矩阵, 则A 可惟⼀地分解为T A LDL =, 其中L 为下三⾓矩阵, D 为对⾓矩阵, 且对⾓元素是L 对⾓线元素的倒数. 即2212n n nnl l l L l l l ?? ?=, 1122111nn l l D l ?? ? ? ? ?=. 其中11/j ijij ik jk kkk l a l l l -==-∑,1,2,,ni = , 1,2,,j i = .。
线性代数中的矩阵分解方法
线性代数中的矩阵分解方法矩阵分解方法是线性代数中的关键概念之一，它通过将一个矩阵分解为多个简化的矩阵形式，从而简化计算和分析。
在本文中，我们将介绍线性代数中常见的矩阵分解方法，并讨论它们的应用和优势。
一、LU分解LU分解是将一个方阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的过程。
通过LU分解，我们可以方便地求解线性方程组，计算逆矩阵等操作。
LU分解的过程可以通过高斯消元法来实现，如下所示：[ A ] = [ L ] [ U ]其中，[ A ]是需要分解的方阵，[ L ]是下三角矩阵，[ U ]是上三角矩阵。
二、QR分解QR分解是将一个矩阵分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R 的过程。
QR分解广泛应用于最小二乘拟合、信号处理和图像处理等领域。
QR分解的过程可以通过Gram-Schmidt正交化方法来实现，如下所示：[ A ] = [ Q ] [ R ]其中，[ A ]是需要分解的矩阵，[ Q ]是正交矩阵，[ R ]是上三角矩阵。
三、奇异值分解（SVD）奇异值分解是将一个矩阵分解为一个正交矩阵U、一个对角矩阵Σ和一个正交矩阵V的过程。
SVD广泛应用于图像压缩、降噪和数据降维等领域。
奇异值分解的过程可以通过特征值分解和奇异值分解算法来实现，如下所示：[ A ] = [ U ] [ Σ ] [ V ]^T其中，[ A ]是需要分解的矩阵，[ U ]是正交矩阵，[ Σ ]是对角矩阵，[ V ]是正交矩阵。
四、特征值分解特征值分解是将一个方阵分解为一个特征向量矩阵P和一个特征值对角矩阵D的过程。
特征值分解广泛应用于谱分析、动力系统和量子力学等领域。
特征值分解的过程可以通过求解特征值和特征向量来实现，如下所示：[ A ] = [ P ] [ D ] [ P ]^(-1)其中，[ A ]是需要分解的方阵，[ P ]是特征向量矩阵，[ D ]是特征值对角矩阵。
五、Cholesky分解Cholesky分解是将一个对称正定矩阵分解为一个下三角矩阵L和其转置矩阵的乘积的过程。
机器学习知识：机器学习中的矩阵分解方法
机器学习知识：机器学习中的矩阵分解方法矩阵分解方法是机器学习中的一种重要算法，它可以将高维数据降维，使得数据更易于处理和理解。
本文将介绍矩阵分解的概念、应用场景和常见方法等相关知识，帮助读者了解机器学习中的矩阵分解技术。
一、什么是矩阵分解矩阵分解是将一个大型稠密矩阵分解成为多个小的稀疏矩阵的过程，可以有效降低数据规模，简化计算复杂度。
矩阵分解在很多领域都得到了广泛的应用，尤其是在推荐系统、自然语言处理和图像处理等领域。
二、矩阵分解的应用场景推荐系统是矩阵分解的一个重要应用场景。
推荐系统的目的是为用户提供他们可能感兴趣的产品或者服务，从而提高用户的购买率和满意度。
在推荐系统中，每个用户和每个产品都可以看作是矩阵中的一个元素，因此可以通过矩阵分解来预测用户对产品的喜好程度，从而进行个性化推荐。
自然语言处理也是另一个重要的应用领域。
人类语言具有很高的复杂性，不同的语言之间也存在着很大的差异。
因此，在自然语言处理中往往需要对单词进行编码，以便机器可以更好地处理它们。
这些编码可以在一个矩阵中进行表示，然后通过矩阵分解来提取文本信息。
三、矩阵分解的常见方法1、SVD分解SVD分解是矩阵分解中最常见的方法之一。
它将一个较大的矩阵分解为三个较小的矩阵，并可以有效降维。
其中，第一个矩阵代表数据的样本，第二个矩阵代表数据的属性，第三个矩阵则是特征值矩阵。
2、PCA分解PCA分解是另一个常见的矩阵分解方法。
它通过协方差矩阵的特征值和特征向量来降维。
在这个过程中，PCA会找到最大的方差并将数据投影到具有最大方差的维度上。
这样可以有效地减少数据的维度，从而简化数据的处理。
3、NMF分解NMF分解是另一种常见的矩阵分解方法，它可以对非负数据进行有效的降维和特征提取。
NMF分解中，矩阵中的每一个元素都必须是非负的。
这样可以更好地处理各种类型的非负数据，例如图像中的像素值和声音中的频率等。
四、矩阵分解的优缺点优点：1、降低数据维度，减少特征数量，提高模型效率和预测准确度。
图形学变换矩阵的分解
图形学变换矩阵的分解最近有⼀个需求是已知⼀个变换矩阵，如何根据该矩阵获取它的位移、旋转和缩放参数？这个问题当初书⾥没直接讲，但是可以通过已有的知识推导出来。
⾸先我们知道，图形学中的变换⼀般有三种：缩放、旋转和位移，它们均可以⽤4*4的⽅阵予以表达。
⽐如缩放矩阵的形式如下：\(\LARGE \begin{bmatrix} sx & 0 & 0 & 0 \\ 0 & sy & 0 & 0 \\ 0 & 0 & sz & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)位移矩阵的形式如下：\(\LARGE \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & tx \\ 0 & 1 & 0 & ty \\ 0 & 0 & 1 & tz \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)旋转矩阵则⽐较复杂，绕着uvw轴（两两正交且长度为1）转θ的矩阵如下：其实还有⼀种理解⽅法：在三维空间中对⼀个物体旋转可以理解为有⼀个不同于世界坐标系的坐标系，将该坐标系下的某个点转换到世界坐标系下。
那么构建出的这个转换矩阵就是：\(\LARGE \begin{bmatrix} u_x & v_x & w_x \\ u_y & v_y & w_y \\ u_z & v_z & w_z \end{bmatrix}\)该矩阵其实就是旋转矩阵，其中u,v,w是这个坐标系的坐标轴。
我们⼜知道，在图形学中，可以通过矩阵相乘的⽅式来将各种变换操作叠加，常见的就是SRT，也就是将缩放、旋转、平移三个矩阵乘在⼀起组合为新矩阵，⽤以表达⼀个物体总的变换。
那么，假设我们已知⼀个SRT矩阵，⼜该如何分解出其中的S、R和T呢？其实仔细想⼀下也是⽐较简单的，⾸先平移的部分始终位于矩阵的最后⼀列，可直接取出：接下来，该矩阵的3*3部分是SR矩阵相乘的结果，我们⼜该如何进⼀步提取呢？回想⼀下，三维旋转矩阵本⾝需要满⾜正交矩阵的性质，也就是它的每⼀⾏和每⼀列长度均要为1，我们可以从这⼀点⼊⼿，计算出该矩阵SR部分每⼀⾏的长度，它就⼀定是x、y、z轴的缩放！然后再将SR部分的每⼀⾏除以sx、sy、sz就可以得到R矩阵了！。
矩阵分解法
矩阵分解法
矩阵分解法是一种被广泛应用于矩阵和数据分析领域的数学方法，它能够对复杂的数据集进行简单而有效的分解，为更深入的分析提供基础。
本文将详细介绍矩阵分解法的基本原理及各种应用，以及它能够解决的相关问题。
矩阵分解法的基本概念是使用矩阵的特定分解技术，将一个大的复杂的矩阵分解成若干较小的更简单的矩阵，这些矩阵之间可能存在一定的关系。
最常用的矩阵分解方法是奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD），它能够有效地将一个矩阵分解成三个矩阵，这三个矩阵可以用来描述矩阵的行、列和特征。
其中，最重要的矩阵是特征值矩阵，它能够描述矩阵中特征之间的关系，这些特征信息可以作为进一步分析的依据。
同时，这些特征也能够影响到矩阵的值，从而有助于解决机器学习和数据挖掘中的关系推断问题，从而获得新的结论。
此外，矩阵分解还可以用于对数据进行统计和预测，这是因为矩阵分解能够提取出高维数据中隐藏的模式，从而将复杂的数据集简化为易于理解的表示形式。
因此，矩阵分解法在实际的数据分析中有着重要的应用，如文本分类、推荐系统和图像识别等。
另外，矩阵分解法还能够帮助数据科学家们解决压缩和特征选择的问题。
首先，矩阵分解能够帮助我们压缩数据集，从而节省存储空间；其次，这种方法也可以帮助我们提取出有用的特征，从而达到减少计算负担的目的。
（尾）总之，矩阵分解法是一种极其重要的数学方法，它可以帮助我们对复杂的数据集进行分解，提取有用信息，从而为进一步分析提供基础，同时还可以用于压缩和特征选择等目的。
因此，矩阵分解法可以说是数据科学领域的一个重要的数学工具，值得进一步关注和研究。
矩阵的分解
§9. 矩阵的分解矩阵分解是将一个矩阵分解为比较简单的或具有某种特性的若干矩阵的和或乘积，这是矩阵理论及其应用中常见的方法。
由于矩阵的这些特殊的分解形式，一方面反映了原矩阵的某些数值特性，如矩阵的秩、特征值、奇异值等；另一方面矩阵分解方法与过程往往为某些有效的数值计算方法和理论分析提供了重要的依据，因而使其对分解矩阵的讨论和计算带来极大的方便，这在矩阵理论研究及其应用中都有非常重要的理论意义和应用价值。
这里我们主要研究矩阵的三角分解、谱分解、奇异值分解、满秩分解及特殊矩阵的分解等。
一、矩阵的三角分解——是矩阵的一种有效而应用广泛的分解法。
将一个矩阵分解为酉矩阵（或正交矩阵）与一个三角矩阵的乘积或者三角矩阵与三角矩阵的乘积，这对讨论矩阵的特征、性质与应用必将带来极大的方便。
首先我们从满秩方阵的三角分解入手，进而讨论任意矩阵的三角分解。
定义1 如果(1,2,,)ii a i n =均为正实数，()(,1,2,1;∈<=-ij a C R i j i n1,2,),=++j i i n 则上三角矩阵11121222000⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭n n nn a a a a a R a 称为正线上三角复（实）矩阵，特别当1(1,2,,)ii a i n ==时，R 称为单位上三角复（实）矩阵。
定义2如果(1,2,,)ii a i n =均为正实数，()(,1,2,1;∈>=-ij a C R i j i n1,2,),=++j i i n 则下三角矩阵11212212000⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭n n nn a a a L a a a称为正线下三角复（实）矩阵，特别当1(1,2,,)ii a i n ==时，L 称为单位下三角复（实）矩阵。
定理1设,⨯∈n nnA C 则A 可唯一地分解为 1=A U R其中1U 是酉矩阵，R 是正线上三角复矩阵；或者A 可唯一地分解为2=A LU其中2U 是酉矩阵，L 是正线下三角复矩阵。
线性代数中的矩阵分解与应用
线性代数中的矩阵分解与应用矩阵分解是线性代数中重要的概念，它可以将一个矩阵分解成多个简单的矩阵，从而方便我们进行运算和应用。
在本文中，我们将探讨矩阵分解的几种常见方法以及它们在不同领域的应用。
一、LU分解LU分解是最基本的矩阵分解方法之一，它将一个矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积。
具体地说，给定一个矩阵A，LU分解将A分解为A=LU的形式，其中L为单位下三角矩阵，U 为上三角矩阵。
LU分解在求解线性方程组、矩阵求逆以及计算行列式等方面有广泛的应用。
二、QR分解QR分解是将一个矩阵分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R 的乘积。
QR分解在很多数值计算问题中都有重要应用，比如最小二乘拟合、矩阵特征值计算以及信号处理等。
通过QR分解，我们可以将复杂的运算转化为简单的乘法和求解上三角矩阵的问题，从而提高计算效率。
三、奇异值分解（SVD）奇异值分解是将一个矩阵分解为一个正交矩阵U、一个对角矩阵Σ和另一个正交矩阵V的转置的乘积。
奇异值分解在数据降维、图像压缩、推荐系统等领域中被广泛应用。
通过奇异值分解，我们可以发现矩阵的特征结构，并根据特征值的大小选择保留重要信息，去除冗余信息，从而简化问题并提高计算效率。
四、特征值分解特征值分解是将一个方阵分解为一个由特征向量组成的矩阵和一个由对应特征值构成的对角矩阵的乘积。
特征值分解在矩阵的谱分析、信号处理、振动分析等领域有广泛应用。
通过特征值分解，我们可以得到矩阵的特征向量和特征值，从而研究矩阵的性质和行为。
矩阵分解在实际应用中具有重要意义。
例如，在机器学习中，矩阵分解可以应用于协同过滤算法，通过对用户与物品评分矩阵进行分解，可以发现用户和物品之间的潜在关联关系，从而实现个性化的推荐。
此外，矩阵分解还可以用于图像处理中的图像压缩和去噪，通过对图像矩阵进行分解，可以提取主要特征并减少数据量，从而节省存储空间和提高图像质量。
总结起来，线性代数中的矩阵分解是一种重要的数学工具，具有广泛的应用。
矩阵分解的原理与应用
矩阵分解的原理与应用矩阵是线性代数中最基本的数据结构，在机器学习，推荐系统，图像处理等领域都有广泛应用。
矩阵分解就是将一个大的矩阵分解成多个小的矩阵，通常用于降维、特征提取、数据压缩等任务。
我们现在就来详细探讨矩阵分解的原理和应用。
一、基本概念与背景1. 矩阵的基本概念矩阵是由多行和多列构成，每行和每列的数值称为元素。
用数的矩形阵列来表示的数学对象称为矩阵。
2. 矩阵的类型在数据分析中，矩阵有不同的分类，如稠密矩阵、稀疏矩阵、分块矩阵等。
3. 矩阵分解的背景通过矩阵分解，我们可以将一个大的矩阵分解成多个小的矩阵，这些小矩阵可以更方便的处理。
同时，矩阵分解也可以用来进行数据压缩、降维、特征提取等任务。
二、矩阵分解的基本思想矩阵分解的基本思想是将大的矩阵分解成多个小的矩阵，通常是将原始数据矩阵分解成两个或以上的低维矩阵。
其中，最基本的矩阵分解方法包括奇异值分解（Singular Value Decomposition，简称SVD）和QR分解（QR Decomposition）。
1. 奇异值分解（SVD）奇异值分解是将任意矩阵分解为三个矩阵之积的算法。
SVD可以分解任意的矩阵X为X=UΣV*的形式，其中U和V是两个矩阵，Σ是一个对角矩阵，其对角线上的元素称为奇异值。
这里，U、V都是酉矩阵，U、V*在原始矩阵的意义下构成一个对称双正交矩阵（或称为正交矩阵）。
其中，U是原始矩阵XXT的特征向量组成的矩阵，V是原始矩阵XTX的特征向量组成的矩阵。
奇异值则是U和V之间的关联，它是一个对角矩阵，其中的元素由矩阵的奇异值所组成。
SVD的一个重要应用是在推荐系统中的协同过滤算法中。
在协同过滤算法中，我们可以将用户-物品评分矩阵分解为两个矩阵，以此来实现推荐。
2. QR分解（QR Decomposition）QR分解是将矩阵分解为正交矩阵和上三角矩阵之积的算法。
将矩阵A分解为A=QR，其中Q是正交矩阵，R是上三角矩阵。
矩阵的整数分解
矩阵的整数分解矩阵是线性代数中的重要概念，广泛应用于各个领域。
矩阵的整数分解是一种将一个矩阵拆分成整数的乘积的方法，它在数学和计算机科学中都有重要的应用。
本文将介绍矩阵的整数分解的概念、方法和应用。
一、概念矩阵的整数分解是指将一个给定的矩阵拆分成两个整数矩阵的乘积的过程。
通常情况下，我们希望找到一种拆分方式，使得乘积的结果与原始矩阵尽可能接近。
整数分解问题可以形式化为以下数学表达式：A = BC其中，A是一个给定的矩阵，B和C是整数矩阵。
二、方法矩阵的整数分解有多种方法，其中较为常见的方法包括贝尔斯托法和高斯消元法。
1. 贝尔斯托法贝尔斯托法是一种通过迭代逼近的方法，将矩阵的整数分解问题转化为一个优化问题。
该方法的基本思想是将矩阵A分解成两个整数矩阵B和C，然后通过最小化误差函数来确定B和C的取值。
具体步骤如下：1）初始化B和C为随机整数矩阵；2）计算乘积BC，并计算与原始矩阵A的误差；3）根据误差大小调整B和C的取值；4）重复步骤2和3，直到达到预设的迭代次数或误差满足要求。
2. 高斯消元法高斯消元法是一种基于线性方程组求解的方法，用于求解矩阵的整数分解。
该方法的基本思想是将矩阵A转化为行阶梯形式，然后通过回代求解整数矩阵B和C。
具体步骤如下：1）将矩阵A转化为行阶梯形式；2）通过回代求解整数矩阵B和C。
三、应用矩阵的整数分解在许多领域中都有重要的应用。
以下是一些应用案例：1. 数据压缩矩阵的整数分解可以用于数据压缩。
通过将原始数据矩阵A分解成整数矩阵B和C，可以减少存储空间的需求。
在数据传输和存储方面，这种压缩技术可以大幅提高效率。
2. 图像处理矩阵的整数分解在图像处理中也有广泛应用。
通过将图像矩阵分解成整数矩阵B和C，可以对图像进行降噪、增强和压缩等处理。
这种方法在图像压缩和图像重建中都有重要作用。
3. 数据挖掘矩阵的整数分解在数据挖掘中也有应用。
通过将数据矩阵分解成整数矩阵B和C，可以提取出矩阵的特征和模式。
（完整word版）矩阵分解及其简单应用
（完整word版）矩阵分解及其简单应用对矩阵分解及其应用矩阵分解是指将一个矩阵表示为结构简单或具有特殊性质若干矩阵之积或之和，大体分为三角分解、QR分解、满秩分解和奇异值分解。
矩阵的分解是很重要的一部分内容，在线性代数中时常用来解决各种复杂的问题，在各个不同的专业领域也有重要的作用。
秩亏网平差是测量数据处理中的一个难点，不仅表现在原理方面，更表现在计算方面，而应用矩阵分解来得到未知数的估计数大大简化了求解过程和难度。
1.矩阵的三角分解如果方阵A可表示为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U之积，即A=LU，则称A可作三角分解。
矩阵三角分解是以Gauss消去法为根据导出的，因此矩阵可以进行三角分解的条件也与之相同，即矩阵A的前n-1个顺序主子式都不为0，即?k≠0.所以在对矩阵A进行三角分解的着手的第一步应该是判断是否满足这个前提条件，否则怎么分解都没有意义。
矩阵的三角分解不是唯一的，但是在一定的前提下，A=LDU的分解可以是唯一的，其中D是对角矩阵。
矩阵还有其他不同的三角分解，比如Doolittle分解和Crout分解，它们用待定系数法来解求A 的三角分解，当矩阵阶数较大的时候有其各自的优点，使算法更加简单方便。
矩阵的三角分解可以用来解线性方程组Ax=b。
由于A=LU，所以Ax=b可以变换成LU x=b，即有如下方程组：{Ly=b Ux=y先由Ly=b依次递推求得y1, y2,......，y n，再由方程Ux=y依次递推求得x n，x n?1， (x1)必须指出的是，当可逆矩阵A不满足?k≠0时，应该用置换矩阵P 左乘A以便使PA的n个顺序主子式全不为零，此时有：{Ly=pb Ux=y这样，应用矩阵的三角分解，线性方程组的解求就可以简单很多了。
2.矩阵的QR分解矩阵的QR分解是指，如果实非奇异矩阵A可以表示为A=QR，其中Q为正交矩阵，R为实非奇异上三角矩阵。
QR分解的实际算法各种各样，有Schmidt正交方法、Givens方法和Householder方法，而且各有优点和不足。
《矩阵的分解》课件
高斯消元法
基本思想：通过行变换将矩阵 化为上三角矩阵或对角矩阵
步骤：选择主元素、消元、回 代
应用：求解线性方程组、求逆 矩阵、求特征值和特征向量
优点：计算量小，易于实现， 适用于稀疏矩阵和带状矩阵
迭代法
迭代法的基本思想：通过不断迭代， 逐步逼近目标解
迭代法的应用：在矩阵分解、数值 优化、图像处理等领域有广泛应用
U：上三角矩阵，对角线以上元素为0
LDU分解的应用：求解线性方程组、计算矩阵的逆矩阵等
平方根分解
平方根分解的定义：将矩阵分解为 两个矩阵的乘积，其中一个矩阵是 单位矩阵，另一个矩阵是矩阵的平 方根。
平方根分解的应用：平方根分解在 数值计算、线性代数、优化等领域 有着广泛的应用。
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迭代法的步骤：设定初始值，计算 迭代函数，更新迭代值，直到满足 停止条件
迭代法的优缺点：优点是简单易实 现，缺点是收敛速度慢，容易陷入 局部最优解
共轭梯度法
共轭梯度法是一种求解线性方程组的迭代方法 共轭梯度法的基本思想是利用共轭梯度方向进行迭代 共轭梯度法的优点是收敛速度快，稳定性好 共轭梯度法的缺点是计算量大，需要存储大量的中间结果
a. 选取一组向量 b. 计算向量组的内积 c. 计算向量组的正交化向量 d. 重复步骤b和c，直到所有向量都正交
优点： a. 简单易行 b. 适用于任意维数的向量组
a. 简单易行 b. 适用于任意维数的向量组
应用： a. 矩阵的正交分解 b. 线性代数的其他领域
a. 矩阵的正交分解 b. 线性代数的其他领域
添加标题
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矩阵的标准型分解课件
满秩分解法是将一个矩阵分解为一个或多个秩为1的矩阵的乘 积的方法。通过这种方法，可以将一个复杂的矩阵问题转化 为多个简单的问题，便于分析和计算。满秩分解在数值分析 、线性代数等领域有广泛应用。
约当标准型分解法
总结词
将矩阵通过一系列行变换和列变换化为 约当型，得到标准型分解。
VS
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
详细描述
约当标准型分解法是将一个矩阵通过一系 列行变换和列变换化为约当型的方法。约 当型是一种特殊形式的矩阵，其特点是每 一对角线上的元素都是非零的，且其他位 置上的元素都为零。约当标准型分解在解 决线性方程组、判断矩阵是否可逆等问题 中有广泛应用。
应用广泛
在许多领域中，如线性代 数、数值分析、控制论等 ，标准型分解都发挥着重 要的作用。
矩阵标准型分解的历史背景
早期研究
矩阵的标准型分解思想可 以追溯到19世纪末，当时 数学家开始研究矩阵的分 解问题。
关键进展
20世纪初，数学家如埃尔 米特、嘉当和克莱因等做 出了重要贡献，推动了标 准型分解理论的发展。
各个元素。
三阶矩阵的标准型分解实例
总结词
通过三阶矩阵的实例，进一步展示标准型分 解的复杂性和计算技巧。
详细描述
选取一个三阶矩阵B，对其进行一系列初等 行变换和初等列变换，将其化为标准型矩阵 。在变换过程中，详细解释每一行变换的步 骤和计算方法，以及如何得到标准型矩阵的
各个元素。
高阶矩阵的标准型分解实例
性质
标准型分解具有唯一性，即对于同一个矩阵，其标准型分解是唯一的。此外， 标准型分解还具有可交换性，即矩阵的乘法运算和标准型分解的顺序可以交换 。
矩阵标准型分解的重要性
01
02
矩阵分解与特征值分解
矩阵分解与特征值分解矩阵分解和特征值分解是线性代数中重要的概念和技术，在许多领域中都有广泛的应用。
本文将介绍矩阵分解和特征值分解的概念，讨论它们的性质和应用，并探讨它们之间的联系。
一、矩阵分解矩阵分解是将一个复杂的矩阵表示为多个简单矩阵的乘积形式的过程。
常见的矩阵分解方法包括LU分解、QR分解、Cholesky分解等。
这些分解方法可以大大简化矩阵运算的复杂性，提高算法的效率。
1. LU分解LU分解是将一个矩阵表示为下三角矩阵和上三角矩阵的乘积形式。
通过LU分解，可以将线性方程组的求解问题转化为两个简单的方程组的求解问题，从而简化计算过程。
2. QR分解QR分解是将一个矩阵表示为正交矩阵和上三角矩阵的乘积形式。
QR分解广泛应用于最小二乘问题和特征值计算中，有助于提高计算的稳定性和精度。
3. Cholesky分解Cholesky分解是将一个对称正定矩阵表示为一个下三角矩阵和其转置矩阵的乘积形式。
Cholesky分解常用于解决线性方程组的求解问题，具有较高的计算效率和稳定性。
二、特征值分解特征值分解是将一个矩阵表示为可逆矩阵和对角矩阵的乘积形式。
特征值分解在许多领域中都有广泛的应用，如物理学、工程学、计算机科学等。
特征值分解可以帮助我们理解矩阵的性质和行为。
对于一个n阶方阵A，特征值分解可以表示为A = PDP^-1，其中P是由A的特征向量组成的矩阵，D是由A的特征值组成的对角矩阵。
特征值表示了矩阵变换中的比例关系，特征向量表示了矩阵中不变方向。
通过特征值分解，我们可以了解矩阵的稳定性、收敛性以及系统的振动模式等信息。
三、矩阵分解与特征值分解的联系矩阵分解和特征值分解在一定程度上是相互关联的。
特征值分解可以被看作是一种矩阵分解的特殊形式，即将一个矩阵分解为其特征向量矩阵和对角矩阵的乘积。
一些矩阵分解方法可以被用于求解特征值和特征向量，例如QR分解和带平移的QR分解可以用于计算特征值和特征向量。
而特征值分解对于一些方阵具有特殊的性质，可以为矩阵分解提供一种基础和方法。
矩阵分解的研究文献综述
毕业论文文献综述数学与应用数学矩阵分解的研究一、 前言部分（说明写作的目的，介绍有关概念，综述范围，扼要说明有关主题争论焦点）在近代数学、工程技术、经济理论管理科学中，大量涉及到矩阵理论的知识。
因此，矩阵理论自然就是学习和研究上述学科必不可少的基础之一。
矩阵理论发展到今天，已经形成了一整套的理论和方法，内容非常丰富。
矩阵分解对矩阵理论及近代计算数学的发展起了关键的作用。
寻求矩阵在各种意义下的分解形式，是对与矩阵有关的数值计算和理论都有着极为重要的意义。
因为这些分解式的特殊形式，一是能明显的反映出原矩阵的某些特征；二是分解的方法与过程提供了某些有效的数值计算方法和理论分析根据。
这些分解在数值代数和最优化问题的解决中都有着十分重要的角色以及在其他领域方面也起着必不可少的作用。
本文结合矩阵的基本知识原理，对矩阵分解的各种常用形式进行梳理、归纳，并举例进行说明。
矩阵的定义:由m n ⨯个数(1,2,,,1,2,,)ij a K i m j n ∈==排成的m 行、n 列的长方形表111212122212n n m m mn a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(1) 称为数域K 上的一个m n ⨯矩阵。
其中的ij a 称为这个矩阵的元。
两个矩阵相等就是它们对应位置的元全相等[1]。
矩阵通常用一个大写拉丁字母表示。
如（1）的矩阵可以被记为A .如果矩阵的行数m 与列数n 相等，则称它为n 阶方阵。
数域K 上所有m n ⨯矩阵的集合记为(),m n M K ,所有n 阶方阵的集合记为()n M K ，元全为0的矩阵称为零矩阵，记为0.矩阵A 的位于第i 行、第j 列的元简称为A 的(),i j 元，记为(),A i j 。
如果矩阵A 的(),i j 元是(1,2,,,1,2,,)ij a i m j n ==，则可以写成()ij A a =。
为了说明这个矩阵是m 行n 列的，也可写成()ij m n A a ⨯=或m n A ⨯。
矩阵分解的方法
矩阵分解的方法我折腾了好久矩阵分解的方法，总算找到点门道。
说实话，矩阵分解这事儿，我一开始也是瞎摸索。
我最早知道的一种矩阵分解方法叫做LU分解。
当时就觉得好难啊。
我光是看那些数学定义就头大，什么下三角矩阵L，上三角矩阵U，它们乘起来等于原矩阵A。
我就自己按照书上的公式试着分解一个简单的矩阵，结果总是出错。
后来我发现啊，在做消元的过程中，顺序特别重要，就像搭积木一样，你得一块一块按顺序来，要是消元的顺序错了，得到的L和U就不对了。
然后我又试过QR分解。
这中间也出了不少岔子。
QR分解是把矩阵分解成一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R。
我当时搞混了正交矩阵的定义，以为只要随便几个垂直的向量组成矩阵就是正交矩阵了，结果怎么算结果都不对。
其实啊，正交矩阵是要满足Q的转置乘以Q等于单位矩阵才行呢。
再来就是奇异值分解（SVD）了。
这个可把我折磨惨了。
它要把一个矩阵A分解成三个矩阵的乘积，一个是左奇异向量组成的矩阵U，一个是包含奇异值的对角矩阵S，还有一个是右奇异向量组成的矩阵V的转置。
我在求奇异值的时候就非常迷茫，这个其实涉及到一些矩阵的特征值计算。
我本来对特征值的概念就不是特别清楚，结果计算就总是错。
后来我只能重新把特征值那部分知识拿出来复习，还找了很多具体的二维矩阵的例子去算。
比如说一个简单的2×2矩阵，我就一步一步按照求特征向量和特征值的步骤来，然后再去求奇异值分解。
这就有点像走迷宫，南墙碰多了，最后也就找到出口了。
所以我的建议就是，要是想掌握矩阵分解方法，先把那些基础的概念，像三角矩阵的性质、正交性、特征值特征向量这些搞清楚。
而且在做计算的时候，一定要沉下心仔细按照步骤来，每一步都不能马虎。
还有就是多做些简单的例子，这样就更容易理解这些复杂的方法。
我还在继续学习矩阵分解，如果以后有新的经验，再跟你分享。
矩阵分解的常用方法(全文)
矩阵分解的常用方法一、矩阵的三角分解定义：如果方阵可分解成一个下三角形矩阵L和上三角形矩阵U的的乘积，则称可作三角分解或LU分解。
定理1：高斯消元过程能够进行到底的充分必要条件是的前n-1个顺序主子式都不为零，即k ≠0，k=1，2，…，n-1。
（1）当条件（1）满足时，有L（n-1）…L（2）L（1）=U。
其中U为上三角形矩阵L（k）=lik=，i=k+1，…，n。
容易得出，detL（k）≠0（k=1，2，…，n-1），故矩阵L（k）可逆，于是有=（L（1））-1（L（2））-1…（L（N-1））-1U。
由于（L（K））-1是下三角形矩阵，故它们的连乘积仍然是下三角矩阵。
令L=（L（1））-1（L（2））-1…（L（N-1））-1=则得=LU。
即分解成一个单位下三角形矩阵L和一个上三角形矩阵U的的乘积。
二、矩阵的QR（正交三角）分解定义：如果实（复）非奇异矩阵能化成正交（酉）矩阵Q 与实（复）非奇异上三角矩阵R的乘积，即=QR，则称上式为的QR分解。
定理2：任何实的非奇异n阶矩阵可以分解成正交矩阵Q 和上三角形矩阵R的乘积，且除去相差一个对角线元素之绝对值等于1的对角矩阵D外，分解成=QR是唯一的。
矩阵QR的分解具体做法如下：令的各列向量依次为α1，α2，…，αn，由于是非奇异的，所以α1，α2，…，αn线性无关，按照施密特正交法正交化得到个标准的正交向量β1，β2，…，βn，且β=bαβ=bα+b22α2β=bα+b2nα2+…+bnnαn这里bij都是常数，且由正交化过程知bii≠0（i=1，2，…，n）写成矩阵形式有（β1，β2，…，βn）=（α1，α2，…，αn）β，即Q=B。
其中B=是上三角矩阵（bii≠0，i=1，2，…，n）。
显然B可逆，而且B=R-1也是上三角矩阵，由于Q的各列标准正交，所以Q 正交矩阵，从而有=QR。
三、矩阵的奇异值分解定理3 （奇异之分解定理）设是一个m×n的矩阵，且r （）=r，则存在m阶酉矩阵U和n阶酉矩阵V，使得UHV=（2），其中？撞=dig（1…r），且1≥2≥…≥r≥0。
第七章LU分解
ji ji
l ji ( a ji l jk uki ) / uii
k 1
在计算机程序中常常用这种方法解线性代数方程组。 它的优点是存储量很省。L和U中的三角零元素都不 必存储，就是U的对角元素也因为都是1没有必要再 记录在程序中，这样只用一个n阶方阵就可以把L和 U贮存起来。即：下三角（包括对角元）存储L各元 素 而上三角存储U的元素。 再考察公式S会发现A中任一元素aij只在计算lij（j<=i） 和uij（j>i)中用到一次以后就不再出现了，因而完全 可以利用原始数组A的单元，一个个逐次贮存L或U中 的相应元素，即：
a ij
aij lik ukj
k 1
n
maxi , j
l
k 1
ik
ukj
根据矩阵乘法及相等的定义,有 n 1 a1 j l1k ukj l1k ukj l u1 j u1 j
a11 a12 a13 … a1n a21 a22 a23 … a2n a31 a32 a33 … a3n an1 an2 an3 … ann … … u11 u12 u13 … u1n l21 u22 u23 … u2n l31 l32 u33 … u3n … … … ln1 ln2 ln3 … unn
定理 如果上带宽为q，下带宽为p的n阶带状矩阵A有Doolittle
分解。A=LU，则L是下带宽为p的单位下三角矩阵，U是上带 宽为q的上三角矩阵。
阵Doolittle 分解形式 c1 b1 1 a p b2 c2 2 2 a n 1 bn 1 c n 1 an bn 由矩阵乘法及相等定义 ，有： q1 b1 p k q k 1 a k， q k p k k 1 bk， k 1 c k 1 q1 b1 p k a k q k 1 ( k 2,3, , n ) 于是得计算L的元素p i 及U的qi 和 i的计算公式，为： 1 p3 1 pn q1 1
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A LU
据此，有
Ax LUx L(Ux ) b
因此可通过求解两个特殊的三角方程组
Ly b, Ux y 来求解线性方程组 Ax b
件中采用的方法。
，这就是数值软
二、矩阵的LU分解(Decomposition)
定义2 如果方阵 A 可以分解成一个单位下三 角矩阵 L 与一个上三角矩阵 U 的乘积
L1 L I
从而
L1 A L1 LU U L1 ( A, I ) ( L1 A, L1 ) (U , L1 )
这说明，通过行初等变换求出 U 和 L1 后，就 可求出单位下三角阵 L1 的逆矩阵 L 。
例 4 求下列矩阵的LU 分解：
1 2 1 3 1 A 0 1 1 2
L11U12 L11U11 L21U11 L21U12 L22U 22
因此
det A11 det( L11U11 ) det L11 det U11 1 det U11 det U11 0
考虑到分块矩阵 A 1 1 阶数的任意性，因此上 述结论对矩阵 A 的任意顺序主子式都成立。 那么，这个结论是否也是充分的呢？
例4的解：（未选主元法）
2 1 1 0 0 1 3 1 ( A, I ) 0 0 1 0 1 1 2 0 0 1
1 2 1 1 0 0 0 5 3 3 1 0 0 1 3 1 0 1
1 1 0 0 1 2 0 5 3 3 1 0 0 0 12 / 5 2 / 5 1 / 5 1 从而得 L1 A U , 这里 0 0 1 1 1 2 3 , U 0 5 L1 1 0 3 2 / 5 1 / 5 1 0 0 12 / 5
1 23 5
1
1
1
R12 (3) R13 ( 1) R23 ( 51 )Q
LU
0 0 1 2 1 1 3 0 5 1 0 3 1 1 / 5 1 0 0 12 / 5
这就是Gauss提出消元法100多年后才被Dwyer 注意到的 LU 分解：
%ex702.m
A=[1 2 -1 ;3 1 0; -1 -1 -2];
[L,U]=lu(A)
L=
0.3333 1.0000
1.0000 0
0 0
此时仍有 A=LU，但 L不再 是单位下三角矩阵。
-0.3333 -0.4000
1.0000
U=
3.0000 0
1.0000 1.6667
0 -1.0000
0 0 0 1 1 2 1 1 0 0 3 4 0.2 1 5 6 0 0.8 0 1 0 5 6 0.6 0.5
%ex703.m
A=[1 2 -1 ;3 1 0; -1 -1 -2];
[L,U,P]=lu(A)
L= P= 0 1.0000 0 0
1.0000 0.3333
0 1 0
1 0 0
0 0 1
-0.3333 -0.4000
1.0000
U=
事实上由 PA LU 知
A ( P L)U ( PL)U
所以
PA LU
0 0 3 1 0 1 1/ 3 0 5 / 3 1 0 1 1 / 3 2 / 5 1 0 0 12 / 5
对于任意方阵，甚至长方阵，也有类似结论。例 如对长方阵 1 2 3 4 A 5 6 存在列主元L
0 0 1 3 1 0 1 1 / 5 1
A LU
0 0 1 2 1 1 3 0 5 1 0 3 1 1 / 5 1 0 0 12 / 5
推论5 ( LDU分解定理 ) 如果方阵 A 的顺序主子式
L=
1.0000 0.6667 0.3333 0 1.0000 0.5000 0 0 1.0000 P=
0
0 1
0
1 0
1
0 0
U= 3.0000 0 0 5.0000 0.6667 0 6.0000 1.0000 0.5000
需要指出的是，在Matlab中使用函数lu计算例 4的结果不同。 这是因为， Matlab中lu函数的实现算法采用 的是列选主元法，而前面例4的算法则未选主 元。
（为什么选这样的排列矩阵P来重排A？）
3 5 6 1 0 0 2 4 5 0 1 0 ( PA, I ) 1 2 3 0 0 1
3 5 0 2 3 0 1 3 3 5 0 2 3 0 0
6 1 1 6 1
1 2
0 0 2 3 1 0 1 3 0 1 1 1 2 3 0 0 1 1 2 0 0 1
x1 2 x2 x3 0 5 x2 3 x3 1 12 x3 4 5 5 5 ( 12 ) x1 2 x2 1 3 0 x2 3 5 x 1 3 3
Δk ? 0 ( k 1, 2, L , n)
则存在唯一的单位下三角矩阵 L 、唯一的单位 上三角矩阵 U 以及对角矩阵 D ，使得
A LDU
当矩阵 A 仅为可逆方阵时，我们可以先通过排 列矩阵对 A 的行进行重排，然后就可以使用LU 分解了。
定理6 (列主元LU分解定理 ) 对可逆方阵 A ，存在排列矩阵 P ，单位下三 角矩阵 L 与上三角矩阵 U ，使得
1 5
( 2)
x1 x2 x 3
1 3 0 1 3
( II )
用矩阵形式表示，系数矩阵
1 2 1 r12 ( 3) A 3 1 0 1 1 2 r13 (1)
1 2 1 0 5 3 0 1 3
从而得 L1 PA U , 这里
1 L1 2 3 0
因为
3 5 0 1 0 , U 0 2 3 1 1 2 0 0 0
6 1 1 2
L L1
1
1 2 3 1 3
0 0 1 0 1 1 2
A LU
则称其为
A 的 LU 分解或三角分解。
什么样的矩阵才有LU 分解呢？我们先考虑可逆 方阵。 设有
A = LU ，则 0 ? det A det L ?det U det U 将 A = LU 分块为
A11 A21 A12 L11 A22 L21 O U11 L22 O U12 U 22
r23 ( 1 ) 5
1 1 2 0 5 U 3 0 0 12 / 5
R23 ( 1 ) R13 (1) R12 ( 3) A U . 5
A [ R ( ) R13 (1) R12 ( 3)] U
1 23 5 1
[ R12 ( 3)] [ R13 (1)] [ R ( )] U
一、从Gauss消元法说起
例 1 求解线性方程组
x1 2 x2 x3 3 x1 x2 x x 2 x 2 3 1 0 1 1 0 1 1
(I )
解：
(I )
x1 2 x2 x3 ( 3) 5 x2 3 x3 1 x2 3 x3
所以
PA LU
1 2 3 1 3 0 0 3 5 1 0 0 2 3 1 1 0 0 2 6 1 1 2
根据 列主元LU 定理，如果存在分解 PA LU ，
那么矩阵
L
可逆，即存在可逆矩阵 L1 ，使得
L1 L I
从而
L1 PA L1 LU U L1 ( PA, I ) ( L1 PA, L1 ) (U , L1 )
这说明，通过行初等变换求出 U 和 L1 后，就 可求出单位下三角阵 L1 的逆矩阵 L 。
%ex701.m
A=[1 2 3 ;2 4 5; 3 5 6];
[L,U,P]=lu(A) %调用lu函数
第七章
矩阵分解
类似于数的因子分解、代数式的因式分解，矩 阵的各种分解在矩阵计算中也扮演相当重要的 角色。由于变换即矩阵，所以各种分解从根本 上看是各种变换，其目的是将矩阵变换成特殊 的矩阵，比如特征值分解的对角矩阵、Jordan 分解的Jordan矩阵、Schur分解的上三角阵， 等等。将分解用于数值计算缓慢出现在电子计 算机诞生之后。最早是Dwyer（1951），然后 是Householder（1964）和Wilkinson（1965）
从而得 L1 PA U , 这里
0 0 0 1 3 1 1 / 3 1 0 , U 0 5 / 3 L1 1 1 / 5 2 / 5 1 12 / 5 0 0
因为
L L1
1
0 0 1 1/ 3 1 0 1 / 3 2 / 5 1
PA LU
例 7 求下列矩阵的LU 分解：
1 2 3 2 4 5 A 3 5 6
注意这里 1 1, 2 0 。
解：
0 0 1 1 2 3 3 5 6 0 1 0 2 4 5 2 4 5 PA 1 0 0 3 5 6 1 2 3
1.0000 0 0 1.6667 -1.0000
1
3.0000
即
PL为前页的矩阵L。
0
0
-2.4000
例4的解：（列选主元法）