矩阵分析 课件 第四章 矩阵分解
合集下载
矩阵分析课件
1 13
3 3 3
1
2
0
1
3 3
3
1 3
2 3
1
1 3
向量 A第一组基下的坐标为
x1
7 3
,
x2
4 3
,
x3
1, 3
x4
2 3
利用坐标变换公式可以求得 A 在第二组基下的坐标为
y1 y2 y3 y4
123
3
1
3
1 3
1 3 2 3
0 0 0
1 1
13 3 1 3
x1 1
例 4 全体正的实数 R 在下面的加法与数乘的
定义下也构成线性空间：
a b : ab, a, b R
k a : ak , a, k R
例 5 R 表示实数域 R 上的全体无限序列组成的
的集合。即
R
[a1,
a2, a3,]
ai F, i 1,2,3,
在 R 中定义加法与数乘：
[a1, a2, a3,] [b1, b2, b3,] [a1 b1, a2 b2, a3 b3, ] k[a1, a2, a3,] [ka1, ka2, ka3,] 则 R 为实数域 R上的一个线性空间。
i a1i1 a2i2 anin
a1i
1,2,
,
n
a2i
,
i 1, 2,
,n
ani
将上式矩阵化可以得到下面的关系式：
a11 a12
a1n
1, 2,
,
n
1
,2
,n
a21
a22
a2
n
an1 a2
ann
称 n 阶方阵
记为Ｐ
矩阵分析与计算--05-矩阵分解-02-Schur、SVD
充分性设矩阵a酉相似于对角阵则有audiagaaudiag必要性由schur定理uuau故r是正规矩阵由于r是上三角矩阵故r为对角阵结论4为正规矩阵酉相似于对角阵且对角线上元素为的特征值矩阵酉相似于对角阵对角线上元的特征值所有特征值均为实数结论4为正规矩阵酉相似于对角阵且对角线上元素为的特征值矩阵酉相似于对角阵对角线上元的特征值特征值或为0或为纯虚数结论4为正规矩阵酉相似于对角阵且对角线上元素为的特征值为酉矩阵为特征值均落在单位圆周上的正规矩阵为酉矩阵酉相似于对角阵且对角线上元素为的特征值特征值的模均为1矩阵酉相似于对角阵对角线上元矩阵酉相似于对角阵对角线上元为酉矩阵为特征值均落在单位圆周上的正规矩阵酉矩阵hermite矩阵hermite矩阵正规矩阵的特征值位置决定矩阵的类型二谱分解为正规矩阵酉相似于对角阵且对角线上元素为的特征值audiag正规矩阵的谱分解ai为正交投影阵22单纯矩阵的谱分解apdiag单纯矩阵的谱分解ai投影阵singularvaluedecompositionsvd前面介绍的jordan分解schur分解谱分解只适用于方阵
A1 11
由于 1 1, 故1可扩展成C n空间的一组标准正交基，令
U1 1 , 2 ,
,n
则U1为酉矩阵，并且
AU1 A 1 , 2 , 11 , A 2 ,
, n A1 , A 2 , , A n
, A n
设A (aij ) C nn 为Hermite矩阵
a11 a12 Ak a1k a12 a22 a2 k a1k a2 k akk
k det Ak
(k 1,
, n)
（4）A是Hermite正定矩阵 分别称为A的k阶顺序主子阵和顺序主子式，则 k det Ak 0 (k 1, , n)
A1 11
由于 1 1, 故1可扩展成C n空间的一组标准正交基，令
U1 1 , 2 ,
,n
则U1为酉矩阵，并且
AU1 A 1 , 2 , 11 , A 2 ,
, n A1 , A 2 , , A n
, A n
设A (aij ) C nn 为Hermite矩阵
a11 a12 Ak a1k a12 a22 a2 k a1k a2 k akk
k det Ak
(k 1,
, n)
（4）A是Hermite正定矩阵 分别称为A的k阶顺序主子阵和顺序主子式，则 k det Ak 0 (k 1, , n)
矩阵分析第4章课件
矩阵满秩分解不唯一;但同一矩阵的两个满
秩分解的因式矩阵之间存在密切的关系( 见P153,定理4.1.2).
ACrmn r=rank A min{m,n} A的秩等于它的行秩、列秩或行列式秩。A的行( 列)秩是它的最大线性无关组的行(列)数；A 的行列式秩是它的非0子式的最大阶数。 A=BC rank A rank B & rank A rank C
1
初等变换与初等矩阵性质
①3类初等矩阵都是可逆的(行列式不为0). ②将A依次作初等矩阵P1,…,Pr对应的行(列)初等变
换等价于左(右)乘A以可逆矩阵Pr,…,P1(P1,…,Pr).
③可适当选第一类初等矩阵的乘积P使PA(AP)的 行(列)是A的行(列)的任意排列.可适当选第三类 初等矩阵P(i,j(k))中的k使P(i,j(k))A的(i,j) 元变为0.可适当选第二类初等矩阵P(i(k))中的k 使P(i(k))A的非零(i,i)元变为1.综合起来推出: Er 0 存在初等矩阵的乘积P和Q,使 PAQ= 0 0 m n 其中r=rank A.一般地,ACr 都 Er 0 存在m,n阶可逆阵P和Q使 PAQ=
a11 a1n AB ann
b11 b1n a11b11 * bnn annbnn
a11 a1n 1/ a11 * 1 1 A , aii 0 det A 0 A det A a 1/ a nn nn
1 C11 1 2 C21 1 C22 2 n Cn1 1 Cn 2 2 ... Cnn n
第4章_矩阵的分解 2 矩阵分析简明教程 曾祥金 张亮
➢ U1 的列向量是R（A）的标准正交基。 右奇异向量 ➢ U2的列向量是R （A）的标准正交基。
例题：图像的数字化技术与矩阵的奇异值分解
计算机处理图像技术的第一步是图像的数字化 存储技术，即将图像转换成矩阵来存储。
转换的原理是将图形分解成象素（pixels）的一
个矩形的数阵，其中的信息就可以用一个矩阵
矩阵的分块
常见的矩阵标准形与分解
常见的标准形
等价标准形 相似标准形 合同标准形
本节分解：
Amn
pmm
Ir
0
0 0Qnn
Ann PJAP1
Ann CCT
AT=A
三角分解
满秩分解
等价标准形
可对角化矩阵的谱分解
相似标准形
4.1 LU分解(图灵Turing, 1948)
LU分解：AFnn， 存在下三角形矩阵L ， 上三角形矩阵U ，使得A=LU。
Remark: 这样的分解称之为QR分解。
Application: 可以求最小二乘解
实施步骤
A (1,2,...,n) 1, 2 ,..., n 1, 2,..., n
G-S正交化 单位化
1
A
(1,2
,...,
n
)
(
1,
2
,...,
n
)
QR
(1, 1 ) 2
... ...
( n , ( n ,
Problem: 矩阵的奇异值分解是酉等价型的分
解: AC m×n，酉矩阵UC m×m, VC
n×n ,使得A=U VH。
d1
矩阵A等价于=
D
0
0 0mn
D
d2
d
r
《矩阵谱分解》课件
图像处理：用于图像去噪、图像增强等 信号处理：用于信号分析、信号处理等 机器学习：用于特征提取、模型优化等 网络科学：用于网络分析、网络优化等
矩阵谱分解的方法
添加标题 添加标题 添加标题
概念：将矩阵分解为三个矩阵的乘积，分别是左奇异向量矩阵、对角矩 阵和右奇异向量矩阵
步骤：首先计算矩阵的奇异值和奇异向量，然后根据奇异值和奇异向量 构建左奇异向量矩阵、对角矩阵和右奇异向量矩阵
计算复杂度高：矩阵谱分解的计算复杂度较高，需要大量的计算资源和时间。 数值稳定性差：矩阵谱分解的数值稳定性较差，容易受到数值误差的影响。 适用范围有限：矩阵谱分解只适用于对称矩阵和正定矩阵，对于非对称矩阵和负定矩阵不适用。 难以解释：矩阵谱分解的结果难以解释，需要一定的数学背景和知识才能理解。
谱分解在数值计算 、信号处理等领域 有广泛应用
矩阵谱分解是将矩阵分解为两个或多个矩阵的乘积，这些矩阵的乘积等于原矩阵。
矩阵谱分解的目的是为了简化矩阵运算，提高计算效率。
矩阵谱分解可以分为实矩阵谱分解和复矩阵谱分解。
实矩阵谱分解可以将矩阵分解为两个实对称矩阵的乘积，而复矩阵谱分解可以将 矩阵分解为两个复对称矩阵的乘积。
应用：在数据压缩、图像处理、自然语言处理等领域有广泛应用
添加标题
优点：计算简单，易于实现，适用于大规模矩阵分解
特征值分解：将矩阵分解为特征值和特征向量的形式 特征值：矩阵的特征值是矩阵的特征方程的解 特征向量：矩阵的特征向量是满足矩阵乘以向量等于特征值乘以向量的向量 应用：特征值分解法在矩阵分析、数值计算、信号处理等领域有广泛应用
步骤四：计算矩 阵A的谱分解结果
确定矩阵A的奇异值或特征 向量
计算矩阵A的奇异值或特征 值
计算矩阵A的逆矩阵
矩阵分析第四章.
B1(θ1θ2)C1 = B1C1
因此有:
B1HB1(θ1θ2)C1C1H = B1HB1C1C1H
其中B1HB1, C1C1H都是可逆矩阵, 因此
θ1θ2 = E ⇒ θ2 = θ1−1
(2) 将(1)的结果代入CH(CCH)−1(BHB)−1BH即可得到.
第二节 矩阵的正交三角分解(UR, QR分解)
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
1 3 0 −1/ 3 10 / 3
r1←r1 −2r2 → 0 0 1 2 / 3 1/ 3
0 0 0 0
0
取第1列和第3列构成E2, 则B由A的第1列和第3列构成, 即
1 2 B = 2 1,
3 3
而C就是变换后的前2行，即
C
=
1 0
3 0
β1 k β 21 1
+
β
2
Lα3L=Lk31β1 + k32β2 + β3
α r = kr1β1 + kr2 β2 + L + kr,r−1βr−1 + βr
并设 ν1 =|| β1 ||−1 β1,ν 2 =|| β2 ||−1 β2 , L,ν r =|| βr ||−1 βr , 则:
α1 = k1′1ν1 α 2 = k2′1ν1 + k2′2ν 2 α3 = k3′1ν1 + k3′2ν 2 + k3′3ν 3
A = U1RLU2.
证明: 自己练习
− 2 1 − 2
例1：求矩阵A的UR分解, 其中
1 1 1
A=
1 1
−1 −1
0 1
解：设A = (α1, α2, α3), 用Schmidt方法将α1, α2, α3标准正交
矩阵分析与计算--04-矩阵分解-01-Jordan标准型
d i ( ) d i 1 ( ), i 1,2, r 1,
则 A( ) 的 k 级行列式因子为
Dk ( ) d1 ( )d 2 ( ) d k ( ), k 1,2, r.
26
2）（定理4） 矩阵的Smith标准形是唯一的. 证：设 矩阵 A( ) 的标准形为
A( ) 与C ( ) 等价.
16
2) A( )与 B( ) 等价 存在一系列初等矩阵
P1 PS , Q1 Qt 使 A( ) P1 PS B( )Q1 Qt .
17
七、λ－矩阵的对角化
都等价于下列形式的矩阵
d1 ( ) d 2 ( )
19
1 2 1 1 2 0 [1,3] 1 3 1 1 2 1 2 1 1 3 1 0 2 0 3 2 0 0 1 2 0 [21(2 1),[31( 1)]] 0 3 2
2.（定理2）任意一个非零的 s n 的 一矩阵 A( ) 称之为 A( )的 Smith标准 形.
d r ( )
0
0
其中 r 1, d i ( ) ( i 1,2, 多项式，且
, r ) 是首项系数为1的
d i ( ) d i 1 ( ) ( i 1,2,
1
( )
1
i行 j行 1
14
② 初等矩阵皆可逆.
p( i , j )1 p( i , j )
p( i (c ))1 p( i ( 1 c ))
p( i , j( ( ))) p( i , j( ( )))
则 A( ) 的 k 级行列式因子为
Dk ( ) d1 ( )d 2 ( ) d k ( ), k 1,2, r.
26
2）（定理4） 矩阵的Smith标准形是唯一的. 证：设 矩阵 A( ) 的标准形为
A( ) 与C ( ) 等价.
16
2) A( )与 B( ) 等价 存在一系列初等矩阵
P1 PS , Q1 Qt 使 A( ) P1 PS B( )Q1 Qt .
17
七、λ－矩阵的对角化
都等价于下列形式的矩阵
d1 ( ) d 2 ( )
19
1 2 1 1 2 0 [1,3] 1 3 1 1 2 1 2 1 1 3 1 0 2 0 3 2 0 0 1 2 0 [21(2 1),[31( 1)]] 0 3 2
2.（定理2）任意一个非零的 s n 的 一矩阵 A( ) 称之为 A( )的 Smith标准 形.
d r ( )
0
0
其中 r 1, d i ( ) ( i 1,2, 多项式，且
, r ) 是首项系数为1的
d i ( ) d i 1 ( ) ( i 1,2,
1
( )
1
i行 j行 1
14
② 初等矩阵皆可逆.
p( i , j )1 p( i , j )
p( i (c ))1 p( i ( 1 c ))
p( i , j( ( ))) p( i , j( ( )))
矩阵分析课件精品PPT
典型例题解析
例1
求矩阵A的特征值和特征向量，其中A=[[3,1],[2,2]]。
例2
已知矩阵A的特征值为λ1=2, λ2=3，对应的特征向量为 α1=[1,1]T, α2=[1,-1]T，求矩阵A。
解析
首先求出矩阵A的特征多项式为f(λ)=(λ-1)(λ-4)，解得特 征值为λ1=1, λ2=4。然后分别将特征值代入(A-λI)x=0求 解对应的特征向量。
应用举例
通过克拉默法则求解二元、三元线性方程组，并验证解的正确性 。
典型例题解析
01
例题1
求解三元线性方程组，通过高斯消元 法得到增广矩阵的上三角形式，然后 回代求解未知数列向量x。
02
03
例题2
例题3
判断四元线性方程组的解的情况，通 过计算系数矩阵的行列式|A|以及替换 列向量后的矩阵行列式|Ai|，根据克 拉默法则判断方程组的解是唯一解、 无解还是无穷多解。
特殊类型矩阵介绍
01
02
03
04
方阵
行数和列数相等的矩阵称为方 阵。
零矩阵
所有元素都是零的矩阵称为零 矩阵。
对角矩阵
除主对角线外的元素全为零的 方阵称为对角矩阵。
单位矩阵
主对角线上的元素全为1，其 余元素全为0的方阵称为单位 矩阵。
矩阵性质总结
Байду номын сангаас
01
结合律
02
交换律
03 分配律
04
数乘结合律
数乘分配律
• 对于每一个特征值m，求出齐次线性方程组(A-mI)x=0的一个基础解系，则A对应于特征值m的全部特征向量（其中I是与A 同阶的单位矩阵）。
特征值和特征向量求解方法
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
A R U R1U1
定理2.2：设
A
C mr r
，
则
A
可以唯一的分解为
A UR
U
U
mr r
R 是r 阶正线上三角阵
推论2.2：设
PAQ
Er 0
D
0
P
C mm m
Q
C nn n
A
P1
Er 0
D 0
Q1
P1
Er 0
Er
D Q1 BC
C
B
B
C mr r
,
C
C rn r
例题1.1, 1.2
矩阵的满秩分解是不唯一的，但是它们之间满足：
定理1.2：若 A BC B1C1 均为A的满秩分解，那么
(1)存在
C rR r
第8节 Hermite变矩阵、 Hermite二次齐式
对称矩阵，二次型
AH A AT A
定理8.1： 若A是n阶复矩阵，则，
（1）A是Hermite矩阵的充要条件是对任意 x Cn ，xH Ax是实数。 （2）A是Hermite矩阵的充要条件是对任意 S Cnn ， S H AS 是 Hermite矩阵。
证明：
A
C nn n
A (1, 2 ,
, n )
主对角线元 素为正的
(1, 2 , , n ) 正交化 (1, 2 , , n ) 单位化 (v1, v2 , , vn )
1 1
2
2
(2 , 1) (1, 1)
1
3
3
(3, 1) (1, 1)
1
( 3 , (2,
2 ) 2)
2
1 1
2
(2 , 1) (1, 1)
定理9.3: 对于给定的Hermite二次形 f (x) xH Ax 下列叙述是等价的:
(1) f (x) 是半正定的
(2) 对于任何 n阶可逆矩阵 P 都有 PH AP 为半正定矩阵 (3) A的 n个特征值全是非负的
(4) 存在 n 阶可逆矩阵 P 使得
PH
AP
Ir
0
0 0
(5) 存在秩为r 的 n 阶矩阵Q 使得 A QHQ
1
(3, 2 ) (2, 2)
2
3
, n ) 单位化
1 c11v1
(v1, v2 ,
2 c21v1 c22v2
3 c31v1 c32v2 c33v3
, vn )
n
(n , 1) (1, 1)
1
(n , n1) (n1, n1)
n1
n
n cn1v1 cn2v2 cnnvn
A (1, 2 ,
A
C mn r
行初等变换
Er D
0
0
PA
Er 0
D
0
P
C mm m
A
P1
Er
0
D
0
P1
Er
0
Er
B
D BC
C
B
C mr r
,
C
C rn r
定理1.1：设
A
C mn r
， 则存在
B
C mr r
,
C
C rn r
，使得
A BC
证明：
A
C mn r
（2) 若 A 的前r列向量是线性相关的，那么可以做相应的列初等 变换使其前r个列向量线性无关。
,
使得B
B1
,
C
1C1
(2)C H (CC H )1(BH B)1 BH C1H (C1C1H )1(B1H B1)1 B1H
4.2 矩阵的正交分解 （UR、QR分解）
定理2.1：设
A
C nn n
，
则
A
可以唯一的分解为
A UR A R1U1
R 是正线上三角阵
U , U1 U nn
R1 是正线下三角阵
f (x) xH Ax
(1) f (x) 是正定的. (2) 对于任何 n 阶可逆矩阵 P 都有 PH AP 为正定矩阵. (3) A 的 n个特征值都大于零. (4) 存在 n 阶可逆矩阵 P 使得 PH AP E (5) 存在 n 阶可逆矩阵 Q 使得 A QHQ (6) 存在正线上三角矩阵 R 使得 A RH R, 且此分解是唯一的.
第四章 矩阵分解
矩阵分解
❖ 矩阵的满秩分解 ❖ 正交三角分解 ❖ 奇异值分解 ❖ 极分解 ❖ 谱分解
4.1 矩阵的满秩分解
定理1.1：设
A
C mn r
， 则存在
B
C mr r
,
C
C rn r
，使得
A BC
证明：
A
C mn r
（1）因为A的秩是r，所以有r个线性无关的列，可以设 A 的 前r列向量是线性无关的。
c11 c21
, n ) (v1, v2,
,
vn
)
c22
cii
1
i
0
cn1
cn
2
UR
cnn
U U nn , R 正线上三角阵
A UR＝U R
U 1U＝RR1
酉矩阵
U 1U＝RR1 E
正线上矩阵
U＝U , R R 即，A UR 分解是唯一的。
单位矩阵
A UR
AT U R
TT
定理8.3： 若A是n阶复矩阵，则A是n阶Hermite矩阵的充要条件是 存在酉矩阵U，使得，
U H AU diag(1, 2 , , n )
定理8.2： 若A是n阶实矩阵，则A是n阶实对称矩阵的充要条件是 存在正交矩阵Q，使得，
QT AQ diag(1, 2 , , n )
Hermite二次齐式，实二次齐式（二次型）
B PH AP
Hermite二次齐式的标准型：定理8.5, 8.6
对角矩阵
第9节 正定Hermite二次齐式、 正定Hermite矩阵
Hermite二次齐式，实二次齐式（二次型）
f (x) f (x1, x2, , xn )
a n
i, j1 ij
xi x j
xH Ax
x 0
f (x) 0 正定的 f (x) 0 正定的
矩阵A正定的 矩阵A半正定的
f (x) 0 负定的 矩阵A负定的
f (x) 0 负半定的 矩阵A负半定的
非奇异线性变换不改变二次齐式的正定性，也就是相似矩 阵具有相同的正定性
与正定的实二次形一样, 关于正定的Hermite二次形我们有
定理9.1: 对于给定的Hermite二次形 下列叙述是等价的
f (x1, x2, , xn )
n i,
j 1
aij
xi
x
j
(aij aji )
x (x1, x2 , , xn )T C n
A (aij )nn
AH A
f (x1, x2 , , xn ) xH Ax x Py P 0
f (x1, x2 , , xn ) xH Ax (Py)H A(Py) yH PH APy yH By
1
2
3
( 3 , (1,
1 ) 1 )
1
( 3 , (2,
2 ) 2 )
2
3
n
n
(n , 1) (1, 1)
1
(n , n1) (n1, n1)
n1
n
(n , 1) (1, 1)
1
(n , n1) (n1, n1)
n1
n
1 1
(1, 2 ,
2
(2 , 1) (1, 1)
1
2
3
(3, 1) (1, 1)
定理2.2：设
A
C mr r
，
则
A
可以唯一的分解为
A UR
U
U
mr r
R 是r 阶正线上三角阵
推论2.2：设
PAQ
Er 0
D
0
P
C mm m
Q
C nn n
A
P1
Er 0
D 0
Q1
P1
Er 0
Er
D Q1 BC
C
B
B
C mr r
,
C
C rn r
例题1.1, 1.2
矩阵的满秩分解是不唯一的，但是它们之间满足：
定理1.2：若 A BC B1C1 均为A的满秩分解，那么
(1)存在
C rR r
第8节 Hermite变矩阵、 Hermite二次齐式
对称矩阵，二次型
AH A AT A
定理8.1： 若A是n阶复矩阵，则，
（1）A是Hermite矩阵的充要条件是对任意 x Cn ，xH Ax是实数。 （2）A是Hermite矩阵的充要条件是对任意 S Cnn ， S H AS 是 Hermite矩阵。
证明：
A
C nn n
A (1, 2 ,
, n )
主对角线元 素为正的
(1, 2 , , n ) 正交化 (1, 2 , , n ) 单位化 (v1, v2 , , vn )
1 1
2
2
(2 , 1) (1, 1)
1
3
3
(3, 1) (1, 1)
1
( 3 , (2,
2 ) 2)
2
1 1
2
(2 , 1) (1, 1)
定理9.3: 对于给定的Hermite二次形 f (x) xH Ax 下列叙述是等价的:
(1) f (x) 是半正定的
(2) 对于任何 n阶可逆矩阵 P 都有 PH AP 为半正定矩阵 (3) A的 n个特征值全是非负的
(4) 存在 n 阶可逆矩阵 P 使得
PH
AP
Ir
0
0 0
(5) 存在秩为r 的 n 阶矩阵Q 使得 A QHQ
1
(3, 2 ) (2, 2)
2
3
, n ) 单位化
1 c11v1
(v1, v2 ,
2 c21v1 c22v2
3 c31v1 c32v2 c33v3
, vn )
n
(n , 1) (1, 1)
1
(n , n1) (n1, n1)
n1
n
n cn1v1 cn2v2 cnnvn
A (1, 2 ,
A
C mn r
行初等变换
Er D
0
0
PA
Er 0
D
0
P
C mm m
A
P1
Er
0
D
0
P1
Er
0
Er
B
D BC
C
B
C mr r
,
C
C rn r
定理1.1：设
A
C mn r
， 则存在
B
C mr r
,
C
C rn r
，使得
A BC
证明：
A
C mn r
（2) 若 A 的前r列向量是线性相关的，那么可以做相应的列初等 变换使其前r个列向量线性无关。
,
使得B
B1
,
C
1C1
(2)C H (CC H )1(BH B)1 BH C1H (C1C1H )1(B1H B1)1 B1H
4.2 矩阵的正交分解 （UR、QR分解）
定理2.1：设
A
C nn n
，
则
A
可以唯一的分解为
A UR A R1U1
R 是正线上三角阵
U , U1 U nn
R1 是正线下三角阵
f (x) xH Ax
(1) f (x) 是正定的. (2) 对于任何 n 阶可逆矩阵 P 都有 PH AP 为正定矩阵. (3) A 的 n个特征值都大于零. (4) 存在 n 阶可逆矩阵 P 使得 PH AP E (5) 存在 n 阶可逆矩阵 Q 使得 A QHQ (6) 存在正线上三角矩阵 R 使得 A RH R, 且此分解是唯一的.
第四章 矩阵分解
矩阵分解
❖ 矩阵的满秩分解 ❖ 正交三角分解 ❖ 奇异值分解 ❖ 极分解 ❖ 谱分解
4.1 矩阵的满秩分解
定理1.1：设
A
C mn r
， 则存在
B
C mr r
,
C
C rn r
，使得
A BC
证明：
A
C mn r
（1）因为A的秩是r，所以有r个线性无关的列，可以设 A 的 前r列向量是线性无关的。
c11 c21
, n ) (v1, v2,
,
vn
)
c22
cii
1
i
0
cn1
cn
2
UR
cnn
U U nn , R 正线上三角阵
A UR＝U R
U 1U＝RR1
酉矩阵
U 1U＝RR1 E
正线上矩阵
U＝U , R R 即，A UR 分解是唯一的。
单位矩阵
A UR
AT U R
TT
定理8.3： 若A是n阶复矩阵，则A是n阶Hermite矩阵的充要条件是 存在酉矩阵U，使得，
U H AU diag(1, 2 , , n )
定理8.2： 若A是n阶实矩阵，则A是n阶实对称矩阵的充要条件是 存在正交矩阵Q，使得，
QT AQ diag(1, 2 , , n )
Hermite二次齐式，实二次齐式（二次型）
B PH AP
Hermite二次齐式的标准型：定理8.5, 8.6
对角矩阵
第9节 正定Hermite二次齐式、 正定Hermite矩阵
Hermite二次齐式，实二次齐式（二次型）
f (x) f (x1, x2, , xn )
a n
i, j1 ij
xi x j
xH Ax
x 0
f (x) 0 正定的 f (x) 0 正定的
矩阵A正定的 矩阵A半正定的
f (x) 0 负定的 矩阵A负定的
f (x) 0 负半定的 矩阵A负半定的
非奇异线性变换不改变二次齐式的正定性，也就是相似矩 阵具有相同的正定性
与正定的实二次形一样, 关于正定的Hermite二次形我们有
定理9.1: 对于给定的Hermite二次形 下列叙述是等价的
f (x1, x2, , xn )
n i,
j 1
aij
xi
x
j
(aij aji )
x (x1, x2 , , xn )T C n
A (aij )nn
AH A
f (x1, x2 , , xn ) xH Ax x Py P 0
f (x1, x2 , , xn ) xH Ax (Py)H A(Py) yH PH APy yH By
1
2
3
( 3 , (1,
1 ) 1 )
1
( 3 , (2,
2 ) 2 )
2
3
n
n
(n , 1) (1, 1)
1
(n , n1) (n1, n1)
n1
n
(n , 1) (1, 1)
1
(n , n1) (n1, n1)
n1
n
1 1
(1, 2 ,
2
(2 , 1) (1, 1)
1
2
3
(3, 1) (1, 1)