矩阵分析 课件 第四章 矩阵分解

A R U R1U1
定理2.2：设
A
C mr r
，
则
A
可以唯一的分解为
A UR
U
U
mr r
R 是r 阶正线上三角阵
推论2.2：设
PAQ
Er 0
D
0
P
C mm m
Q
C nn n
A
P1
Er 0
D 0
Q1
P1
Er 0
Er
D Q1 BC
C
B
B
C mr r
,
C
C rn r
例题1.1, 1.2
矩阵的满秩分解是不唯一的，但是它们之间满足：
定理1.2：若 A BC B1C1 均为A的满秩分解，那么
(1)存在
C rR r
第8节 Hermite变矩阵、 Hermite二次齐式
对称矩阵，二次型
AH A AT A
定理8.1： 若A是n阶复矩阵，则，
（1）A是Hermite矩阵的充要条件是对任意 x Cn ，xH Ax是实数。 （2）A是Hermite矩阵的充要条件是对任意 S Cnn ， S H AS 是 Hermite矩阵。
证明：
A
C nn n
A (1, 2 ,
, n )
主对角线元 素为正的
(1, 2 , , n ) 正交化 (1, 2 , , n ) 单位化 (v1, v2 , , vn )
1 1
2
2
(2 , 1) (1, 1)
1
3
3
(3, 1) (1, 1)
1
( 3 , (2,
2 ) 2)
2
1 1
2
(2 , 1) (1, 1)
定理9.3: 对于给定的Hermite二次形 f (x) xH Ax 下列叙述是等价的:
(1) f (x) 是半正定的
(2) 对于任何 n阶可逆矩阵 P 都有 PH AP 为半正定矩阵 (3) A的 n个特征值全是非负的
(4) 存在 n 阶可逆矩阵 P 使得
PH
AP
Ir
0
0 0
(5) 存在秩为r 的 n 阶矩阵Q 使得 A QHQ
1
(3, 2 ) (2, 2)
2
3
, n ) 单位化
1 c11v1
(v1, v2 ,
2 c21v1 c22v2
3 c31v1 c32v2 c33v3
, vn )
n
(n , 1) (1, 1)
1
(n , n1) (n1, n1)
n1
n
n cn1v1 cn2v2 cnnvn
A (1, 2 ,
A
C mn r
行初等变换
Er D
0
0
PA
Er 0
D
0
P
C mm m
A
P1
Er
0
D
0
P1
Er
0
Er
B
D BC
C
B
C mr r
,
C
C rn r
定理1.1：设
A
C mn r
， 则存在
B
C mr r
,
C
C rn r
，使得
A BC
证明：
A
C mn r
（2) 若 A 的前r列向量是线性相关的，那么可以做相应的列初等 变换使其前r个列向量线性无关。
,
使得B
B1
,
C

1C1
(2)C H (CC H )1(BH B)1 BH C1H (C1C1H )1(B1H B1)1 B1H
4.2 矩阵的正交分解 （UR、QR分解）
定理2.1：设
A
C nn n
，
则
A
可以唯一的分解为
A UR A R1U1
R 是正线上三角阵
U , U1 U nn
R1 是正线下三角阵
f (x) xH Ax
(1) f (x) 是正定的. (2) 对于任何 n 阶可逆矩阵 P 都有 PH AP 为正定矩阵. (3) A 的 n个特征值都大于零. (4) 存在 n 阶可逆矩阵 P 使得 PH AP E (5) 存在 n 阶可逆矩阵 Q 使得 A QHQ (6) 存在正线上三角矩阵 R 使得 A RH R, 且此分解是唯一的.
第四章 矩阵分解
矩阵分解
❖ 矩阵的满秩分解 ❖ 正交三角分解 ❖ 奇异值分解 ❖ 极分解 ❖ 谱分解
4.1 矩阵的满秩分解
定理1.1：设
A
C mn r
， 则存在
B
C mr r
,
C
C rn r
，使得
A BC
证明：
A
C mn r
（1）因为A的秩是r，所以有r个线性无关的列，可以设 A 的 前r列向量是线性无关的。
c11 c21
, n ) (v1, v2,
,
vn
)
c22
cii
1
i
0
cn1
cn
2
UR
cnn
U U nn , R 正线上三角阵
A UR＝U R
U 1U＝RR1
酉矩阵
U 1U＝RR1 E
正线上矩阵
U＝U , R R 即，A UR 分解是唯一的。
单位矩阵
A UR
AT U R
TT
定理8.3： 若A是n阶复矩阵，则A是n阶Hermite矩阵的充要条件是 存在酉矩阵U，使得，
U H AU diag(1, 2 , , n )
定理8.2： 若A是n阶实矩阵，则A是n阶实对称矩阵的充要条件是 存在正交矩阵Q，使得，
QT AQ diag(1, 2 , , n )
Hermite二次齐式，实二次齐式（二次型）
B PH AP
Hermite二次齐式的标准型：定理8.5, 8.6
对角矩阵
第9节 正定Hermite二次齐式、 正定Hermite矩阵
Hermite二次齐式，实二次齐式（二次型）
f (x) f (x1, x2, , xn )
a n
i, j1 ij
xi x j
xH Ax
x 0
f (x) 0 正定的 f (x) 0 正定的
矩阵A正定的 矩阵A半正定的
f (x) 0 负定的 矩阵A负定的
f (x) 0 负半定的 矩阵A负半定的
非奇异线性变换不改变二次齐式的正定性，也就是相似矩 阵具有相同的正定性
与正定的实二次形一样, 关于正定的Hermite二次形我们有
定理9.1: 对于给定的Hermite二次形 下列叙述是等价的
f (x1, x2, , xn )
n i,
j 1
aij
xi
x
j
(aij aji )
x (x1, x2 , , xn )T C n
A (aij )nn
AH A
f (x1, x2 , , xn ) xH Ax x Py P 0
f (x1, x2 , , xn ) xH Ax (Py)H A(Py) yH PH APy yH By
1
2
3
( 3 , (1,
1 ) 1 )
1
( 3 , (2,
2 ) 2 )
2
3
n
n
(n , 1) (1, 1)
1
(n , n1) (n1, n1)
n1
n
(n , 1) (1, 1)
1
(n , n1) (n1, n1)
n1
n
1 1
(1, 2 ,
2
(2 , 1) (1, 1)
1
2
3
(3, 1) (1, 1)