线性代数第四讲_矩阵的概念及其加减乘运算

( A B)2wenku.baidu.com A2 2AB B2
AB BA ( A B)2 A2 AB BA B2
AB BA
( A B)2 A2 2AB B2
4 方阵的幂：
只有方阵
对于方阵A及自然数k
才能自乘
记 Ak=AA A (k个A相乘)
规定 ( Ann )0 In 性质：(1) ArAsArs
0 6 3
（三） 矩阵的乘法 准备：矩阵乘积有意义的条件
(1) 不是任意二矩阵乘积AB都有意义 （2） 二矩阵乘积AB有意义的条件是： 左边的矩阵A的列数与右边的矩阵B的行数相等
A B 即 m×s t×n 有意义的条件是 s=t
且 Am×s Bs×n= Cm×n
例 (1)
A=
1 5
3 1 32
23
23
8 7 6
解： AB 1 2 1 2 3 3 0 3
3 1 2 1 0
5 7 9 3×3
23
例1 设 A 1 2 ， B = 1 2 3 求AB及BA
2 1 0 31
23
8 7 6
AB 1 2 1 2 3 3 0 3
3 1 2 1 0
amn±bmn
例1
设
1 A 3
2 4
B

5 7
6 8
求A+B=?
解
A
B
1 3
2 5 4 7
6 8

1+5 3+7
2+6 4+8
6 8 10 12
(二)矩阵的数乘 a11 a12 a1n
给定矩阵
A
a21
a22 a2n
8 7 6
3×3
23
例1 设 A 1 2 ， B = 1 2 3 求AB及BA
2 1 0
3 1 32
23
23
8 7 6
解： AB 1 2 1 2 3 3 0 3
3 1 2 1 0
3×3
23
例1 设 A 1 2 ， B = 1 2 3 求AB及BA
2 1 0
m×n
其中 cij ai1b1jai2b2j aisbsj
(i1, 2, , m；j1, 2, , n)
23
例1 设 A 1 2 ， B = 1 2 3 求AB及BA
2 1 0
3 1 32
23
23
解： AB 1 2
31
1 2 3 2 1 0
例 A= 1 2 3
45 6
B= 5 8 6 为同型矩阵
25 3
A= 1 2 3 9 B= 5 8 6
45 68
25 3
（2）同型矩阵才能相加减
不同型
（3）加法与减法法则:
同型矩阵对应元素相加减
矩阵加法和减法定义:
设A与B为两个mn矩阵
a11 a12 a1n
A
a21
a22 a2n
a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amn
2x1+5x2+7x3+ 9x4 =5 例如: x1 -3x2+7x3 + x4=3
3x1 -x2+ x3 + x4=10
2 5 7 9 x1
5
1 -3 7 1 x2 = 3
3 7
4 2
12 B=
25
则AB无意义
12 9
15 8 (2) C=
57 2
D= 2 5 2 764
则 CD有意义，且CD是2×3的矩阵
矩阵的乘法定义
设A是一个ms矩阵，B是一个sn矩阵
a11 a12 a1s a21 a22 a2s AB= ai1 ai2 ais am1 am2 ams
(2) (Ar)sArs
注: 一般 (AB)k≠AkBk 但 如果AB=BA,则 (AB)k=AkBk
1
例8 设 2
1
1 2
1 3
求 (1) A
3
(2) B (3) An ?
1
1
解 A
2 1
1 2
1 3


2
1 2 1
1
3 2

3
3
1 3
3 2
1

B 1
1 2
1 3
2

3
n个
3
An ( )n • • •...•
第二部分 矩阵理论
1850年西尔维斯特首先使用矩阵这个词.1855 年以后,英国数学家凯莱创立了矩阵理论,至二 十世纪,矩阵论已成为一个独立的数学分支,出 现了矩阵方程论,矩阵分解论,广义逆矩阵等矩 阵的现代理论.由于许多线性或非线性问题都可 以转化为对矩阵的讨论,所以它在物理、化学、 经济、工程以及现代科技的许多领域都有着广 泛的应用,矩阵部分主要讨论三个问题

aa12nn
a1n a2n ann
12 3 例如 2 5 8
3 86
23 8 6 37 4 2 84 9 7 6 2 7 10
二 矩阵的运算
(一) (二) (三) (四)
矩阵的加法,减法 矩阵的乘法 矩阵的转置 方阵的行列式
(五) 几种特殊矩阵
(一) 矩阵的加法,减法
（1）同型矩阵: 二矩阵行相同，列相同
04 10
10 =
1 0
1 0 2×2
注意四: AC=BC A=B 矩阵乘法一般不满足消去律
例6 线性方程组可用矩阵乘法表示 系数阵
a11x1a12x2 a1nxn b1 a21x1a22x2 a2nxn b2
am1x1am2x2 amnxnbm
例如
1, 2, 3, 4
5



2

7
4 对角矩阵： 如下形式的n阶矩阵称为对角矩阵
a11 0 0
=
0 a22 0
0 0 ann
记为 =diag(a11, a22, , ann)
例如
diag(1,2,3)
0 0 0
2 方阵 若矩阵A的行数与列数都等于n，
则称A为n阶矩阵，或称为n阶方阵
例如
1 A22 3
42
2 5 3 B33 1 2 2
7 4 4
3 行矩阵与列矩阵： 只有一行的矩阵称为行矩阵
只有一列的矩阵称为列矩阵
也可以用小写黑体字母 , , 表示
a22 a2n
am1 am2 amn
只能用[ ]或( ), 不能用{ }
一 部分特殊矩阵
1 零矩阵
所有元素均为 0 的矩阵称为零矩阵，记为O
0 0 0
例如 0
O22 0
0 0

O23


0 0
0 0
00


O33 0 0 0
5 7 9
BA 1 2 3 2 1 0
23
1 2 9 4
31
3 8 2×2
注意一: 矩阵乘法一般不满足交换律
即 ABBA
例2 设
A
1 0
1 1
，B
1 0
2 1
，求AB及BA
解
1 AB
0
1 1
1 0
21
10
3 1
BA 1 2 1 1 1 3 01 01 01
可交换阵:
例7 设矩阵A,B均为n阶方阵, 证明
(1) ( A B)2 A2 2AB B2
AB BA
(2) ( A B)2 A2 2AB B2
AB BA
(3) ( A B)( A B) A2 B2
AB BA
证明 (1)
( A B)2 (A B)(A B) A(A B) B(A B) A2 AB BA B2
一 矩阵的概念及四则运算 二 矩阵的初等变换与矩阵的秩
三 逆矩阵
第四讲 矩阵的概念及其运算
一 矩阵的定义：
由 mn 个数 aij(i1, 2, , m；j1, 2, , n)排成 的一个 m 行 n 列的矩形表称为一个 mn 矩阵
a11 a12 a1n
记作
Amn=
a21
0 0 1
单位矩阵是特殊的数量矩阵：a11a22anna1
1 0 0
例如
I3 E3 0
1
0
0 0 1
1 0 0 0
I4

E4

0

0 0
1 0 0
0 1 0
0
0 1

7 三角形矩阵：
例4 设
0 A
5 ， 求A2
00
解
A2 0 0
5 0
0 0
50
0
0
0 0 2×2
注意三: A2=O
A=O
例5 设 A= 1 2 03
10 ,B=
04
求AC=? BC=?
11 ,C=
00
解
AC


1 0
2 3

1 0
10 =
1 0
1 0 2×2
BC 10
显然AB=BA
如果AB=BA，则称矩阵A与矩阵B可交换
例3
设
A
2 4 1 2
，
B
24 3 6
，求AB及BA
解：
AB
2 4 1 2
BA
24 3 6
2 4 16 32
3 6
8 16 2×2
2 4 0 0
1 2 0 0 2×2
注意二: AB=O
A=O or B=O
b11 b12 b1j … b1n b21 b22 b2j … b2n
bs1 bs2 bsj … bsn
=
c11 c12 c1n c21 c22 c2n cm1 cm2 cmn
cij = A 的第 i 行与 B 的第 j 列的乘积

bn1 bn2 bnn
1 0 0 0
B


5 4 3
5 6 2
0 6 4
0
0 3

8 对称矩阵：
如果n阶矩阵A满足 ATA 即 aijaji ) ,则称A
为对称矩阵
A
aa1112
aa1222

如下形式的 n 阶矩 如下形式的 n 阶矩
阵称为上三角形矩阵 阵称为 下三角形矩阵
a11 a12 a1n
A
0
a22

a2n
0 0 ann
例如
1 A 0
2 4
3 7
0 0 6
b11 0 0 B b21 b22 0
am1 am2 amn
规定
ka11 ka12 ka1n
kA
ka21 ka22

ka2n
kam1 kam2
kamn
实数k遍乘A的所有
元素
1 0 3 B 4 5 2
0 2 1
3 0 9 3B 12 15 6
1 0
0
0 2 0
0 0 3
2 0 0 0
diag(2,1,3,4)


0 0 0
2 0 0
0 3 0
0
0 4

5 数量矩阵
如下形式的 n 阶矩阵称为数量矩阵
a 0 0 A 0 a 0
0 0 a
3 -1 1 1 x3
10
x4
x1 b1
x2

b2
xn bm
矩阵乘法总结:
矩阵乘法性质除下列几条外
其余和数乘法性质相同
(1) ABBA
乘法一般不满足交换律
(2) ACBC / AB 乘法一般不满足消去律, 如果C可逆,则A=B
(3) ABO / AO或BO
(4) A2O / AO
am1 am2 amn
b11 b12 b1n
B
b21
b22 b2n
bm1 bm2 bmn
A±B=
a11±b11 a21± b21 … am1±bm1
a12±b12 … a22 ±b22 …
…
…
am2±bm2 …
a1n±b1n a2n±b2n
数量矩阵是特殊的对角矩阵a11a22ann
例如
2 0
0 2
0 0
0 0 2
8 0 0 0 0 8 0 0

0 0
0 0
8 0
80
6 单位矩阵：
如下形式的n阶矩阵称为单位矩阵,记为 I 或E
1 0 0 I 0 1 0