线性代数---特殊行列式及行列式计算方法总结
行列式的计算技巧和方法总结
行列式的计算技巧和方法总结行列式是线性代数中的重要概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
正确计算行列式有助于解决线性方程组、特征值等问题。
下面将总结行列式的计算技巧和方法。
一、行列式的定义和性质：行列式是一个数，是由方阵中元素按照一定规律排列所组成的。
设A为n阶方阵，行列式记作det(A)或，A，定义如下：det(A) = ，A， = a11*a22*...*ann - a11*a23*...*a(n-1)n +a12*a23*...*ann-1*n + ... + (-1)^(n-1)*a1n*a2(n-1)*...*ann 其中，a_ij表示A的第i行第j列的元素。
行列式具有以下性质:1. 若A = (a_ij)为n阶方阵，若将A的第i行和第j行互换位置，则det(A)变为-det(A)。
2. 若A = (a_ij)为n阶方阵，若A的其中一行的元素全为0，则det(A) = 0。
3. 若A = (a_ij)为n阶三角形矩阵，则det(A) = a11*a22*...*ann。
4. 若A = (a_ij)和B = (b_ij)为n阶方阵，则det(AB) = det(A)* det(B)。
5. 若A = (a_ij)为n阶可逆方阵，则det(A^(-1)) = 1/det(A)。
二、行列式计算的基本方法：1.二阶行列式：对于2阶方阵A = (a_ij)，有det(A) = a11*a22 - a12*a212.三阶行列式：对于3阶方阵A = (a_ij)，有det(A) = a11*a22*a33 +a12*a23*a31 + a13*a21*a32 - a13*a22*a31 - a12*a21*a33 -a11*a23*a323.高阶行列式：对于n阶方阵A，可以利用行列式按行展开的性质来计算。
选择其中一行（列）展开，计算每个元素乘以其代数余子式的和，即：det(A) = a1j*C1j + a2j*C2j + ... + anj*Cnj其中，Cij为A的代数余子式，表示去掉第i行第j列后所得子矩阵的行列式。
线性代数知识点总结
大学线性代数知识点总结第一章 行列式 二三阶行列式N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n nn nj j j j j j j j j n ij a a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ奇偶排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换,其值不变.转置行列式T D D = ②行列式中某两行列互换,行列式变号.推论：若行列式中某两行列对应元素相等,则行列式等于零. ③常数k 乘以行列式的某一行列,等于k 乘以此行列式. 推论：若行列式中两行列成比例,则行列式值为零； 推论：行列式中某一行列元素全为零,行列式为零. ④行列式具有分行列可加性⑤将行列式某一行列的k 倍加到另一行列上,值不变 行列式依行列展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1(定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零.克莱姆法则：非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时,有唯一解：)21(n j DD x j j ⋯⋯==、齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时,则只有零解逆否：若方程组存在非零解,则D 等于零特殊行列式：①转置行列式：332313322212312111333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a =③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零④三线性行列式:3331222113121100a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零,..化为三角形行列式⑤上下三角形行列式: 行列式运算常用方法主要行列式定义法二三阶或零元素多的 化零法比例化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章 矩阵矩阵的概念：n m A *零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵矩阵的运算：加法同型矩阵---------交换、结合律 数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律乘法nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑==注意什么时候有意义一般AB=BA,不满足消去律；由AB=0,不能得A=0或B=0转置A A T T =)( T T T B A B A +=+)( T T kA kA =)( T T T A B AB =)(反序定理 方幂：2121k k k k A A A +=2121)(k k k kA A +=几种特殊的矩阵：对角矩阵：若AB 都是N 阶对角阵,k 是数,则kA 、A+B 、 AB 都是n 阶对角阵 数量矩阵：相当于一个数若…… 单位矩阵、上下三角形矩阵若…… 对称矩阵 反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方 都是0 分块矩阵：加法,数乘,乘法：类似,转置：每块转置并且每个子块也要转置注：把分出来的小块矩阵看成是元素逆矩阵：设A 是N 阶方阵,若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的, B A =-1非奇异矩阵、奇异矩阵|A|=0、伴随矩阵 初等变换1、交换两行列 2.、非零k 乘某一行列3、将某行列的K 倍加到另一行列初等变换不改变矩阵的可逆性 初等矩阵都可逆初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换得到的对换阵 倍乘阵 倍加阵等价标准形矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=O O O I D r r矩阵的秩rA ：满秩矩阵 降秩矩阵 若A 可逆,则满秩 若A 是非奇异矩阵,则rAB=rB 初等变换不改变矩阵的秩求法：1定义2转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区别：都是数表；行列式行数列数一样,矩阵不一样；行列式最终是一个数,只要值相等,就相等,矩阵是一个数表,对应元素相等才相等；矩阵n ij n ij a k ka )()(=,行列式n ij nn ij a k ka =逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆；③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A 可逆,则其逆矩阵是唯一的.矩阵的逆矩阵满足的运算律：1、可逆矩阵A 的逆矩阵也是可逆的,且A A =--11)(2、可逆矩阵A 的数乘矩阵kA 也是可逆的,且111)(--=A kkA 3、可逆矩阵A 的转置T A 也是可逆的,且T T A A )()(11--=4、两个可逆矩阵A 与B 的乘积AB 也是可逆的,且111)(---=A B AB 但是两个可逆矩阵A 与B 的和A+B 不一定可逆,即使可逆,但11)(--+≠+B A B AA 为N 阶方阵,若|A|=0,则称A 为奇异矩阵,否则为非奇异矩阵. 5、若A 可逆,则11--=A A伴随矩阵：A 为N 阶方阵,伴随矩阵：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=22211211*A A A A A 代数余子式 特殊矩阵的逆矩阵：对1和2,前提是每个矩阵都可逆1、分块矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=C O B A D 则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-----11111C O BC A AD 2、准对角矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4321A A A A A , 则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-----141312111A A A A A 3、 I A A A AA ==** 4、1*-=A A A A 可逆 5、1*-=n A A 6、()()A AA A 1*11*==--A 可逆7、()()**T TA A = 8、()***AB AB =判断矩阵是否可逆：充要条件是0≠A ,此时*11A AA =- 求逆矩阵的方法：定义法I AA =-1伴随矩阵法AA A *1=-初等变换法()()1||-=A I I A n n 只能是行变换初等矩阵与矩阵乘法的关系： 设()nm ij aA *=是mn 阶矩阵,则对A 的行实行一次初等变换得到的矩阵,等于用同等的m 阶初等矩阵左乘以A ：对A 的列实行一次初等变换得到的矩阵,等于用同种n 阶初等矩阵右乘以A 行变左乘,列变右乘第三章 线性方程组消元法 非齐次线性方程组：增广矩阵→简化阶梯型矩阵rAB=rB=r 当r=n 时,有唯一解；当n r ≠时,有无穷多解 rAB ≠rB,无解齐次线性方程组：仅有零解充要rA=n 有非零解充要rA<n 当齐次线性方程组方程个数<未知量个数,一定有非零解 当齐次线性方程组方程个数=未知量个数,有非零解充要|A|=0齐次线性方程组若有零解,一定是无穷多个N 维向量：由n 个实数组成的n 元有序数组.希腊字母表示加法数乘 特殊的向量：行列向量,零向量θ,负向量,相等向量,转置向量 向量间的线性关系: 线性组合或线性表示向量组间的线性相关无：定义179P向量组的秩：极大无关组定义P188定理：如果rj j j ααα,.....,21是向量组s ααα,.....,21的线性无关的部分组,则它是 极大无关组的充要条件是：s ααα,.....,21中的每一个向量都可由rj j j ααα,.....,21线性表出.秩:极大无关组中所含的向量个数.定理：设A 为mn 矩阵,则r A r =)(的充要条件是：A 的列行秩为r.现性方程组解的结构：齐次非齐次、基础解系线性组合或线性表示注：两个向量αβ,若βαk =则α是β线性组合单位向量组任意向量都是单位向量组的线性组合 零向量是任意向量组的线性组合任意向量组中的一个都是他本身的线性组合 向量组间的线性相关无注： n 个n 维单位向量组一定是线性无关 一个非零向量是线性无关,零向量是线性相关 含有零向量的向量组一定是线性相关 若两个向量成比例,则他们一定线性相关向量β可由n ααα,..,21线性表示的充要条件是)...()...(2121T Tn TTTnTTr r βαααααα=判断是否为线性相关的方法：1、定义法：设n k k k ....21,求n k k k ....21适合维数低的2、向量间关系法183P ：部分相关则整体相关,整体无关则部分无关3、分量法n 个m 维向量组180P ：线性相关充要n r Tn T T <⇒)....(21ααα 线性无关充要n r T n T T =⇒)....(21ααα推论①当m=n 时,相关,则0321=T T T ααα；无关,则0321≠T T T ααα ②当m<n 时,线性相关推广：若向量s ααα,...,21组线性无关,则当s 为奇数时,向量组13221,...,αααααα+++s 也线性无关；当s 为偶数时,向量组也线性相关.定理：如果向量组βααα,,...,21s 线性相关,则向量β可由向量组s ααα,...,21线性表出,且 表示法唯一的充分必要条件是s ααα,...,21线性无关. 极大无关组注：向量组的极大无关组不是唯一的,但他们所含向量的个数是确定的；不全为零的向量组的极大无关组一定存在； 无关的向量组的极大无关组是其本身； 向量组与其极大无关组是等价的. 齐次线性方程组I 解的结构：解为...,21αα I 的两个解的和21αα+仍是它的解； I 解的任意倍数αk 还是它的解；I 解的线性组合s s c c c ααα+++....2211也是它的解,s c c c ,...,21是任意常数.非齐次线性方程组II 解的结构：解为...,21μμII 的两个解的差21μμ-仍是它的解；若μ是非齐次线性方程组AX=B 的一个解,v 是其导出组AX=O 的一个解,则u+v 是II 的一个解. 定理：如果齐次线性方程组的系数矩阵A 的秩n r A r <=)(,则该方程组的基础解系存在,且在每个基础解系中,恰含有n-r 个解.若μ是非齐次线性方程组AX=B 的一个解,v 是其导出组AX=O 的全部解,则u+v 是II 的全部解.第四章 向量空间向量的内积 实向量定义：α,β=n n T b a b a b a +++=....2211αβ 性质：非负性、对称性、线性性 α,k β=k α,β; k α,k β=2k α,β;α+β,δγ+=α,γ+α,δ+β,γ+β,δ;),(),(1111j i sj j ri i j sj j ri i i l k l k βαβα∑∑∑∑===== n R ∈δγβα,,,,向量的长度),(ααα=0=α的充要条件是α=0；α是单位向量的充要条件是α,α=1单位化 向量的夹角正交向量：αβ是正交向量的充要条件是α,β=0 正交的向量组必定线性无关 正交矩阵：ｎ阶矩阵Ａ I A A AA T T ==性质：1、若A 为正交矩阵,则Ａ可逆,且T A A =-1,且1-A 也是正交矩阵；２、若A 为正交矩阵,则1±=A ；３、若A 、Ｂ为同阶正交矩阵,则ＡＢ也是正交矩阵； ４、ｎ阶矩阵Ａ＝ij a 是正交矩阵的充要条件是Ａ的列行向量组是 标准正交向量；第五章 矩阵的特征值和特征向量 特征值、特征向量A 是N 阶方阵,若数λ使AX=λX,即λI-A=0有非零解,则称λ为A 的一 个特征值,此时,非零解称为A 的属于特征值λ的特征向量. |A|=n λλλ...**21 注： 1、AX=λX2、求特征值、特征向量的方法0=-A I λ 求i λ 将i λ代入λI-AX=0求出所有非零解 3、对于不同的矩阵,有重根、单根、复根、实根主要学习的特殊：n I )(λ的特征向量为任意N 阶非零向量或)(21不全为零i n c c c c ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4、特征值： 若)0(≠λλ是A 的特征值则1-A --------λ1 则m A --------m λ则kA --------λk若2A =A 则-----------λ=0或1若2A =I 则-----------λ=-1或1若k A =O 则----------λ=0迹trA ：迹A=nn a a a +⋯⋯++2211性质：1、N 阶方阵可逆的充要条件是A 的特征值全是非零的2、A 与1-A 有相同的特征值3、N 阶方阵A 的不同特征值所对应的特征向量线性无关4、5、P281相似矩阵定义P283：A 、B 是N 阶矩阵,若存在可逆矩阵P,满足B AP P =-1,则矩阵A 与B 相似,记作A~B性质1、自身性：A~A,P=I2、对称性：若A~B 则B~A B AP P =-1 1-=PBP A A BP P =---111)(3、传递性：若A~B 、B~C 则A~C B AP P =-111 C BP P =-212---C P P A P P =-)()(211214、若AB,则A 与B 同不可逆5、若A~B,则11~--B A B AP P =-1两边同取逆,111---=B P A P6、若A~B,则它们有相同的特征值. 特征值相同的矩阵不一定相似7、若A~B,则)()(B r A r = 初等变换不改变矩阵的秩例子：B AP P =-1则1100100-=P PB AO AP P =-1 A=OI AP P =-1 A=II AP P λ=-1 A=I λ矩阵对角化定理：N 阶矩阵A 与N 阶对角形矩阵相似的充要条件是A 有N 个线性无关的特征向量注：1、P 与^中的i i x λ与顺序一致2、A~^,则^与P 不是唯一的推论：若n 阶方阵A 有n 个互异的特征值,则~^A P281定理：n 阶方阵~^A 的充要条件是对于每一个i K 重特征根i λ,都有i i K n A I r -=-)(λ注：三角形矩阵、数量矩阵I λ的特征值为主对角线.约当形矩阵约当块：形如⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλ111J 的n 阶矩阵称为n 阶约当块； 约当形矩阵：由若干个约当块组成的对角分块矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n J J J J 21i J 是约当块称为约当形矩阵. 定理：任何矩阵A 都相似于一个约当形矩阵,即存在n 阶可逆矩阵J AP P =-1.第六章 二次型二次型与对称矩阵只含有二次项的n 元多项式f 称为一个n 元二次型,简称二次型. 标准型：形如 的二次型,称为标准型.规范型：形如 的二次型,称为规范型.线性变换矩阵的合同：设AB 是n 阶方阵,若存在一个n 阶可逆矩阵C,使得 则称A 与B 是合同的,记作A B.合同的性质：反身性、对称性、传递性、秩、化二次型为标准型：配方法、做变换二次型中不含有平方项。
线性代数---特殊行列式及行列式计算方法总结
特殊行列式及行列式计算方法总结一、 几类特殊行列式1. 上（下）三角行列式、对角行列式（教材P7例5、例6）2. 以副对角线为标准的行列式11112112,1221222,11,21,11,112,1(1)212,11000000000000000(1)n n n n nn n n n n n nnn n n n n nnn n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---------===- 3. 分块行列式（教材P14例10）一般化结果：00n n m n n m n m m n m m nmA C A AB BC B ⨯⨯⨯⨯==⋅0(1)0n m n n m nmn n m mm nmm nA C A AB BC B ⨯⨯⨯⨯==-⋅4. 范德蒙行列式（教材P18例12） 注：4种特殊行列式的结果需牢记！以下几种行列式的特殊解法必须熟练掌握！！！ 二、 低阶行列式计算二阶、三阶行列式——对角线法则 （教材P2、P3） 三、 高阶行列式的计算 【五种解题方法】1) 利用行列式定义直接计算特殊行列式；2) 利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式；3) 利用行列式的行（列）扩展定理以及行列式的性质，将行列式降阶进行计算——适用于行列式的某一行或某一列中有很多零元素，并且非零元素的代数余子式很容易计算； 4) 递推法或数学归纳法； 5) 升阶法（又称加边法）【常见的化简行列式的方法】1. 利用行列式定义直接计算特殊行列式 例1 （2001年考研题）0001000200019990002000000002001D=分析：该行列式的特点是每行每列只有一个元素，因此很容易联想到直接利用行列式定义进行计算。
解法一：定义法(1,2,...,2,1,)012...19990(1)2001!(1)2001!2001!n n n D τ--+++++=-=-=解法二：行列式性质法利用行列式性质2把最后一行依次与第n -1,n -2,…,2,1行交换（这里n =2001），即进行2000次换行以后，变成副对角行列式。
行列式的计算方法及一些特殊行列式的计算
～
Ｄ
ｘ 一１ … ０
０
一
●
Ｏ Ｄ＝ ０
ｌ Ｏ
Ｏ … ０ １ … ０
一
●
０
Ｏ …
＿ ．
。 ２
■■
加
行 列 式 的 计 算 方 法 及 一 些 特 殊 行 列 式 的 计 算
陈 洁
（ 湖北 工 业 大 学 理 学 院 ， 湖北 武汉 摘
一
４ ３ ０ ０ ６ ８ ）
１ ＋ａ
引 Ｉ １
１ ｌ ＋ａ ２
● ● ●
０
１ １
● ● ●
递 推 法 是 根 据 行 列 式 的性 质 ， 建 立 阶行 列 式 和 阶 行 列 式 的关 系．
４ ３
●墨
１ ２ ３ … ｎ
２
１
０ … ０ ｌ … Ｏ
例５ ． 计 算 行 列 式
Ｘ
Ｏ 例７ ． 计算Ｄ ＝ ３ ｎ
一
要： 行 列 式 的 计 算 是 线 性 代 数 的 基 础 和 重要 内容 之
本 文 通过 一 些 具 体 的 例 子 ， 介 绍 了 计 算 行 列 式 的 一般 方 法 ７ ２ ． 一 些特 殊行 列 式 的计 算．
．
例３ ． 计算行列式Ｄ ＝
●
１
● ●
关键 词 ： 行 列式 降 阶 法 升 阶 法
一
１
１
、
１ ． 化为“ 三 角形 ”
Ｉ
化为 “ 三角形 ” 是利 用行列式 的性质 ， 把 所 求 行 列 式 的 主
对 角 线 下 方 的 元 素 全化 为零 ．
３
线性代数行列式计算方法总结
线性代数行列式计算方法总结在线性代数中，行列式是一个非常重要的概念，它在矩阵运算和线性方程组的求解中起着至关重要的作用。
本文将总结一些常见的行列式计算方法，希望能够帮助读者更好地理解和运用线性代数中的行列式。
1. 代数余子式法。
代数余子式法是一种常见的计算行列式的方法。
对于一个n阶矩阵A，它的行列式可以通过以下公式来计算：det(A) = a11A11 + a12A12 + ... + a1nA1n。
其中，a11, a12, ..., a1n是矩阵A的第一行元素，A11, A12, ..., A1n分别是对应元素的代数余子式。
代数余子式的计算方法是先将对应元素所在的行和列去掉，然后计算剩下元素构成的(n-1)阶矩阵的行列式，再乘以对应元素的符号（正负交替）。
通过递归的方式，可以计算出整个矩阵的行列式。
2. 克拉默法则。
克拉默法则是一种用于求解线性方程组的方法，它也可以用来计算行列式。
对于一个n阶方阵A，如果它的行列式不为0，那么可以通过克拉默法则来求解它的逆矩阵。
逆矩阵的元素可以通过矩阵A的各个元素的代数余子式和行列式的比值来计算。
虽然克拉默法则在实际计算中并不常用，但它对于理解行列式的性质和逆矩阵的计算方法有一定的帮助。
3. 初等行变换法。
初等行变换法是一种通过对矩阵进行一系列行变换来简化行列式计算的方法。
这些行变换包括交换两行、某一行乘以一个非零常数、某一行加上另一行的若干倍。
通过这些行变换，可以将一个矩阵化简为上三角形矩阵或者对角矩阵，从而更容易计算它的行列式。
需要注意的是，进行行变换时要保持行列式的值不变，即每一次行变换都要乘以一个相应的系数。
4. 特征值法。
特征值法是一种通过矩阵的特征值和特征向量来计算行列式的方法。
对于一个n阶矩阵A，它的行列式可以表示为其特征值的乘积。
通过计算特征值和特征向量，可以得到矩阵A的行列式的值。
特征值法在实际计算中比较复杂，但它对于理解矩阵的性质和特征值分解有一定的帮助。
八大类型行列式及其解法
八大类型行列式及其解法一、行列式的定义行列式是一个重要的线性代数概念，用于刻画矩阵的性质和求解线性方程组。
对于一个n阶方阵A，其行列式记作det(A)或|A|。
行列式的定义如下：对于2阶方阵A = [a11 a12] ，其行列式定义为det(A) = a11 * a22 - a12 * a21。
对于3阶及以上的方阵，行列式的定义并不直观，可以通过划线法、拉普拉斯展开等方法进行计算。
接下来，我们将介绍八大类型的行列式及其解法。
二、二阶行列式二阶行列式的计算非常简单，直接应用行列式的定义即可。
对于2阶方阵A =[a11 a12；a21 a22] ，其行列式计算公式为：det(A) = a11 * a22 - a12 * a21。
三、对角行列式对角行列式是指所有非对角元素都为0的行列式。
对于n阶对角行列式A =diag(a1, a2, …, an)，其行列式计算公式为：det(A) = a1 * a2 * … * an。
四、三角行列式三角行列式是指所有主对角线以下元素为0的行列式。
对于n阶上三角行列式A，其行列式计算公式为：de t(A) = a11 * a22 * … * ann。
五、上三角行列式上三角行列式是指所有主对角线及以上元素为0的行列式。
对于n阶上三角行列式A，其行列式计算公式为：det(A) = a11 * a22 * … * ann。
六、下三角行列式下三角行列式是指所有主对角线及以下元素为0的行列式。
对于n阶下三角行列式A，其行列式计算公式为：det(A) = a11 * a22 * … * ann。
七、轮换行列式轮换行列式的计算是一种常用的方法，可以通过对行列式中元素的位置进行变换，从而简化计算过程。
对于n阶轮换行列式A，其行列式计算公式为：det(A) = a1 * a2 * … * an。
八、范德蒙行列式范德蒙行列式是一类特殊的行列式，可以应用于插值、多项式拟合等问题中。
对于n阶范德蒙行列式A，其行列式计算公式为：det(A) = Π i<j (xi - xj)。
几种特殊类型行列式及其计算
几种特殊类型行列式及其计算特殊类型行列式是指其中元素满足一定的特殊规律或形式的行列式。
下面将介绍几种常见的特殊类型行列式及其计算方法。
1.对角行列式：对角行列式是指除了主对角线上的元素外，其余元素都为0的行列式。
对角行列式的计算非常简单，只需将主对角线上的元素相乘即可。
例如，行列式a00b00的值为a*b*c。
2.上三角行列式：上三角行列式是指除了主对角线及其上方的元素外，其余元素都为0的行列式。
上三角行列式的计算方法是将主对角线上的元素相乘。
例如，行列式120400的值为1*4*6=243.下三角行列式：下三角行列式是指除了主对角线及其下方的元素外，其余元素都为0的行列式。
下三角行列式的计算方法与上三角行列式相同，将主对角线上的元素相乘。
例如行列式708910111的值为7*9*12=7564.三角行列式：三角行列式是指一个矩阵的主对角线两侧的元素相同。
例如，行列式122334的值可以通过利用矩阵的对称性进行计算。
首先，将第二行减去第一行得到121134然后，再将第三行减去第一行的三倍得到12110-2-然后，再将第三行减去第二行的两倍得到121100-最后，将主对角线上的元素相乘，即1*1*(-2)=-2，即该行列式的值为-25.雅可比行列式：雅可比行列式是指一种特殊的三阶行列式形式。
∂(f1,f2,f3)---------∂(x,y,z)表示函数f1,f2,f3关于x,y,z的偏导数。
以上介绍了几种特殊类型的行列式及其计算方法。
了解不同类型的行列式有助于我们更好地理解和应用线性代数的相关理论和方法。
行列式的计算方法-计算行列式的格式
资料范本本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载行列式的计算方法-计算行列式的格式地点：__________________时间：__________________说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容行列式的计算方法摘要：线性代数主要内容就是求解多元线性方程组，行列式产生于解线性方程组, 行列式的计算是一个重要的问题。
本文依据行列式的繁杂程度，以及行列式中字母和数字的特征，给出了计算行列式的几种常用方法：利用行列式的定义直接计算、化为三角形法、降阶法、镶边法、递推法，并总结了几种较为简便的特殊方法：矩阵法、分离线性因子法、借用“第三者”法、利用范德蒙德行列式法、利用拉普拉斯定理法，而且对这些方法进行了详细的分析，并辅以例题。
关键词：行列式矩阵降阶The Methods of Determinant CalculationAbstract：Solving multiple linear equations is the main content of the linear algebra, determinants produced in solving linear equations, determinant calculation is an important issue.This article is based on the complexity degree of the determinant, and the characteristics of letters and numbers of the determinant ,and then gives several commonly used methods to calculate the determinant: direct calculation using the definition of determinant, into the triangle, reduction method, edging method , recursion, and summarizes several relatively simple and specific methods: matrix, linear separation factor method, to borrow "the third party" method, using Vandermonde determinant method, using Laplace theorem,also analyze these methods in detail,and supported by examples.Keywords: determinant matrix reduction.1．引言线性代数主要内容就是求解多元线性方程组，行列式产生于解线性方程组,然而它除了用于研究线性方程组、矩阵、特征多项式等代数问题外,还在各种工程领域有着广泛的应用,是一种不可缺少的运算工具，所以说行列式的计算是一个重要的问题。
行列式的计算方法和技巧大总结
行列式的计算方法和技巧大总结行列式是线性代数中的一个重要概念，用于表示线性方程组的性质和解的情况。
在计算行列式时，有许多方法和技巧可以帮助我们简化计算过程。
以下是行列式计算方法和技巧的大总结。
1. 二阶矩阵行列式：对于一个2x2的矩阵A，行列式的计算方法是ad-bc，其中a、b、c和d分别为矩阵A的元素。
2. 三阶矩阵行列式：对于一个3x3的矩阵A，行列式的计算方法是a(ei-fh) - b(di-fg) + c(dh-eg)，其中a、b、c、d、e、f、g和h分别为矩阵A的元素。
3.行变换法：行变换是一种常用的简化计算行列式的方法。
行变换可以通过交换行、倍乘行和行加减法三种操作来实现。
当进行行变换时，行列式的值保持不变。
4.行列式的性质：行列式有以下性质：a)交换行，行列式的值相反；b)两行交换位置，行列式的值相反；c)同行相等，行列式的值为0；d)其中一行乘以一个数k，行列式的值变为原来的k倍；e)两行相加（减），行列式的值保持不变。
5.定义展开法：行列式的定义展开法可以通过选取任意一行或一列对行列式进行展开。
展开定理是一种递归的方法，它将一个复杂的行列式分解成若干个简单的行列式，从而简化计算过程。
6.三角矩阵行列式：对于一个上（下）三角矩阵，它的行列式等于对角线上的元素相乘。
这是因为在上（下）三角矩阵中，除了对角线上的元素外，其他元素都为0，因此它们的乘积为0。
7.克拉默法则：克拉默法则适用于解线性方程组时的行列式计算。
克拉默法则使用行列式来计算方程组的解。
具体来说，对于n个方程n个未知数的线性方程组，如果系数矩阵的行列式不为零，那么该方程组有唯一解，可以通过求解该方程组的克拉默行列式来得到方程组的解。
8.外积法则：在向量代数中，我们可以使用外积法则计算向量的叉乘。
对于两个三维向量a和b，它们的叉乘可以表示为a×b，它的模就是行列式的值。
具体计算方法是：ijka1a2a3b1b2b3其中，i、j和k是单位向量，a1、a2、a3和b1、b2、b3分别为向量a和向量b的坐标。
行列式的计算技巧与方法总结
行列式的计算技巧与方法总结行列式是线性代数中的重要概念，广泛应用于各个领域，如线性方程组的求解、线性变换的判断等。
在实际应用中，计算行列式是一个必不可少的环节。
本文将对行列式的计算技巧和方法进行总结，以便读者能够更加轻松地解决行列式相关问题。
一、行列式的定义行列式是一个数。
行列式的定义通常有多种不同的形式，其中最常见的是按照矩阵的形式定义的。
对于一个n阶方阵A=(a_ij)，其行列式记作det(A)，可以通过以下方式计算：det(A) = a_11 * C_11 + a_12 * C_12 + ... + (-1)^(n+1) * a_1n * C_1n其中，C_ij是指元素a_ij的代数余子式。
二、行列式的计算方法1.二阶行列式的计算对于2阶方阵A=(a_11,a_12;a_21,a_22)，其行列式可以直接通过以下公式计算：det(A) = a_11 * a_22 - a_12 * a_212.三阶行列式的计算对于3阶方阵A=(a_11,a_12,a_13;a_21,a_22,a_23;a_31,a_32,a_33)，可以通过Sarrus法则来计算行列式：det(A) = a_11*a_22*a_33 + a_12*a_23*a_31 + a_13*a_21*a_32 -a_13*a_22*a_31 - a_12*a_21*a_33 - a_11*a_23*a_323.高阶行列式的计算对于n(n>3)阶方阵A，一般采用高斯消元法将矩阵转化为上三角矩阵，然后再计算行列式的值。
具体操作如下：a)对第一列进行第二行、第三行、..、第n行的倍加，使得第一列除了第一个元素外的其他元素都为0。
b)接着在第二列中对第三行、第四行、..、第n行的倍加，使得第二列除了第二个元素外的其他元素都为0。
c)重复以上步骤，直到将矩阵转化为上三角矩阵。
d)上三角矩阵的行列式等于主对角线上的元素相乘。
4.行列式的性质行列式具有以下性质，可以在计算中灵活运用：a)行互换或列互换，行列式的值不变，其符号变为相反数。
行列式的多种计算方法
行列式的多种计算方法行列式是线性代数中一个重要的概念，常用于表示线性方程组的性质和解的情况。
本文将介绍行列式的多种计算方法，包括定义法、按行展开法、秩法、特殊行列式计算法以及Laplace展开法。
一、定义法行列式的定义法是最基本也是最直观的计算方法。
对于二阶行列式，定义为：abcd行列式的值等于对角线上元素的乘积减去反对角线上元素的乘积，即ad-bc。
对于高阶行列式，可以通过对行列式进行展开，将矩阵分解成若干个二阶行列式，然后递归地计算这些二阶行列式的值，最终得到整个行列式的值。
二、按行展开法按行展开法是一种递归计算行列式的方法。
对于n阶行列式，可以通过展开第一行或第一列得到：a11a12 (1)a21a22 (2)............an1 an2 ... ann按照第一行展开：det(A) = a11 * det(A11) - a12 * det(A12) + a13 * det(A13) - ... + (-1)^(1+n) * a1n * det(A1n)其中Aij是删除第i行第j列后剩下的(n-1)阶行列式。
通过递归计算子行列式的方法，可以得到整个行列式的值。
三、秩法秩法是一种基于线性方程组的计算方法。
对于n个未知数的线性方程组，可以写成矩阵形式AX=B，其中A是一个n×n的矩阵，X和B都是n 维向量。
如果A的行列式非零，方程组有唯一解；如果A的行列式为零，则方程组无解或者有无穷多解。
所以，通过计算矩阵A的行列式，可以判断线性方程组的解的情况。
具体计算方法是将A进行行变换，化为上三角矩阵，然后将对角线上的元素相乘即得行列式的值。
四、特殊行列式计算法对于一些特殊的行列式，可以使用简便的计算方法。
例如，对于单位矩阵I，其行列式的值为1、对于对角矩阵D，其行列式的值等于对角线上元素的乘积。
对于三角形上下边对称的矩阵，其行列式的值为对角线元素与次对角线元素的乘积之差。
五、Laplace展开法Laplace展开法是一种递归计算行列式的方法。
线性代数特殊行列式及行列式计算方法总结
线性代数特殊行列式及行列式计算方法总结线性代数是现代数学的一个分支，研究向量、向量空间和线性变换等代数结构的性质与特征。
行列式是线性代数中的一个重要概念，它在解线性方程组、求逆矩阵以及描述线性变换的性质等方面起到了关键作用。
在这篇文章中，我将总结特殊行列式的特点以及行列式的计算方法。
一、特殊行列式1.恒等行列式：表示为，I，其中I是一个n阶单位矩阵。
恒等行列式的值始终为12.零行列式：当矩阵的其中一行（列）全为0时，行列式的值为0。
3.对角行列式：当一个矩阵只有两条对角线上的元素不为0，其他元素都为0时，该行列式称为对角行列式。
对角行列式的值等于对角线上的数的乘积。
4.正交行列式：当一个矩阵的行（列）两两正交时，该行列式称为正交行列式。
正交行列式的值为1或-15.上三角行列式和下三角行列式：当一个矩阵上方（下方）所有元素都为0时，该行列式称为上三角行列式（下三角行列式）。
上三角行列式和下三角行列式的值等于对角线上的数的乘积。
二、行列式的计算方法1.全选定理：对于一个n阶行列式，可以通过全选定理将其划分为n 个部分，每个部分都取自不同行不同列的元素。
根据全选定理，行列式的值等于每个部分的和。
2.代数余子式法：通过将行列式的每个元素都与其代数余子式相乘，并加减得到行列式的值。
代数余子式是从行列式中划去一行一列后剩下的(n-1)阶行列式。
3.列展开法：选择行或列展开，将行列式的展开式记作以第i行（列）展开为Ai，行列式的值可以表示为Ai与其对应的元素的代数余子式的乘积的和。
4.递推关系式：行列式有一个重要的性质，即当对调行（列）的位置时，行列式的值相反。
利用这一性质，可以通过多次对调行（列）将矩阵化简为上三角行列式或下三角行列式，进而求解行列式的值。
5.三角行列式：对于上三角行列式和下三角行列式，可以直接用对角线上的元素的乘积得到行列式的值。
总结：线性代数中的特殊行列式具有一些独特的特点，包括恒等行列式、零行列式、对角行列式、正交行列式以及上三角行列式和下三角行列式。
线性代数行列式计算总结
11
返回
故 An - An－1 是以 为公比的等比数列(n 3, 4,L ).
A2 ( )2 2 2 ,
即 归纳可得，
同理,
A2 ( ) 2
A2 A1 2，
An An1 n，
An An1 n.
00
196 10
2
返回
2. 用倍加变换化零按一行（列）展开，降阶 法（基本方法）1 4 1 4
例10. 计算
2 D
1
4
3
4 2 3 11
解.
30 9 2
7 0 17 8
7 17 8
21 4 D
3 (1)22 0 5 5
0 0 5 5
392
30 9 2
7 25 8
c2
c3
L
cn
0
Dn
0
a2 a3
n i2
ai a1
n i2
bi ai
ci
M
O
0
4 an
返回
3. 各行（列）相加法，“加边”法。
适用于各行（或列）的和相等；或各行（列）元有相同规 律，而主对角线元与众不同的情况。
例12. 计算 解. 法一
x y y y x y Dn y y x
8
返回
法二：
1 a1 a2 L
Dn
a1 L
1 a2 L LL
a1
a2 L
n
1 ai
a2
L
an
i 1
n
an L
1 i1 ai 1 a2 L
线性代数---特殊行列式及行列式计算方法汇总
线性代数---特殊行列式及行列式计算方法汇总————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：特殊行列式及行列式计算方法总结一、 几类特殊行列式1. 上（下）三角行列式、对角行列式（教材P7例5、例6）2. 以副对角线为标准的行列式11112112,1221222,11,21,11,112,1(1)212,1100000000000000(1)n n n n n n n n n n n nnn n n n n nnn n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---------===-L L L LL L MM M M M M M M M NL LLL 3. 分块行列式（教材P14例10）一般化结果：00n n m n n m n m m n m m nmA C A AB BC B ⨯⨯⨯⨯==⋅0(1)0n m n n m nmn n m mm nmm nA C A AB BC B ⨯⨯⨯⨯==-⋅4. 范德蒙行列式（教材P18例12） 注：4种特殊行列式的结果需牢记！以下几种行列式的特殊解法必须熟练掌握！！！ 二、 低阶行列式计算二阶、三阶行列式——对角线法则 （教材P2、P3） 三、 高阶行列式的计算 【五种解题方法】1) 利用行列式定义直接计算特殊行列式；2) 利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式；3) 利用行列式的行（列）扩展定理以及行列式的性质，将行列式降阶进行计算——适用于行列式的某一行或某一列中有很多零元素，并且非零元素的代数余子式很容易计算； 4) 递推法或数学归纳法； 5) 升阶法（又称加边法）【常见的化简行列式的方法】1. 利用行列式定义直接计算特殊行列式 例1 （2001年考研题）0001000200019990002000000002001D =L LM M M M M M L L L分析：该行列式的特点是每行每列只有一个元素，因此很容易联想到直接利用行列式定义进行计算。
线性代数行列式计算方法总结
线性代数行列式计算方法总结线性代数中，行列式是一个非常重要的概念。
它是一种用于表示线性变换、矩阵和线性方程组性质的数值指标。
在实际应用中，我们常常需要计算行列式的值。
下面将总结一些常用的行列式计算方法。
一、定义法行列式的定义法是最基本的计算方法。
对于一个n阶方阵A=[a[i][j]]，其行列式表示为det(A)，可以通过如下公式进行计算：det(A) = Σ[(-1)^perm] * a[1][p[1]] * a[2][p[2]] * ... *a[n][p[n]]其中，Σ表示求和，perm表示排列p[1]、p[2]、..、p[n]的所有可能情况。
公式中的(-1)^perm是一个符号因子，当一些排列具有奇数个逆序时，符号为负；当一些排列具有偶数个逆序时，符号为正。
这种方法简单直观，但对于大型的n阶矩阵计算复杂度较高。
因此，我们需要探索一些优化方法。
二、拉普拉斯展开法拉普拉斯展开法也是一种常用的行列式计算方法。
它基于行列式的定义法，并通过将行列式展开为一系列子行列式的和来计算。
对于一个n阶方阵A=[a[i][j]]，其行列式表示为det(A)，可以通过以下公式进行计算：det(A) = Σ[(-1)^(i+1)] * a[i][j] * det(A[i][j])其中，A[i][j]表示A删去第i行和第j列后的子矩阵。
公式中的Σ表示求和，从j=1到j=n进行累加。
拉普拉斯展开法的优点是可以通过递归地计算子矩阵的行列式来减少计算量，但其复杂度仍然为O(n!)，对于大型矩阵仍然不够高效。
三、行变换法行变换法是一种常用的行列式计算方法，通过矩阵的初等行变换将矩阵转化为易于计算的上（下）三角形式，从而求得行列式的值。
对于一个n阶方阵A=[a[i][j]]，其行列式表示为det(A)，可以通过以下步骤进行计算：1.对A进行初等行变换，将其转化为上（下）三角形形式。
2.计算上（下）三角形矩阵对角线上的元素的乘积，即可得到行列式的值。
行列式的计算技巧与方法汇总
行列式的计算技巧与方法汇总行列式是线性代数中非常重要的概念，它在许多数学和科学领域中都有广泛的应用。
本文将汇总一些行列式的计算技巧和方法，帮助读者更好地理解和运用行列式。
一、定义和符号行列式是一个数，是由方阵中的元素按照特定的规则计算而得到的。
行列式通常用两种符号表示，分别是方括号和竖线。
例如，一个3x3的矩阵A的行列式可以表示为det(A)，或者用竖线表示为，A。
二、一阶和二阶行列式的计算一阶行列式是一个1x1的矩阵，只有一个元素。
计算一阶行列式非常简单，即该元素本身。
二阶行列式是一个2x2的矩阵，如下所示：abcd计算二阶行列式的方法是将对角线上的两个元素相乘，并将结果减去另外两个元素的乘积。
即det(A) = ad - bc。
三、三阶行列式的计算三阶行列式是一个3x3的矩阵，如下所示：abcdefghi计算三阶行列式的方法是按照下面的规则计算：1.将每个元素与其相交的两个行和两个列组成的2x2矩阵的行列式相乘。
2.第一行的元素与第二行和第三行组成的2x2矩阵的行列式相乘，再加上第二行和第三行组成的2x2矩阵的行列式与符号相反。
3.将这些结果相加得到最终的行列式。
四、高阶行列式的计算对于高阶行列式，计算的方法和三阶行列式类似，也是按照逐步展开的方式计算。
五、行列式的性质行列式具有以下几个重要的性质：1.行列互换性质：交换行的位置，行列式的值不变。
2.列列互换性质：交换列的位置，行列式的值不变。
3.行列式的倍数性质：将行的倍数乘以一个数，行列式的值也乘以这个数。
4.行列式的零行性质：如果行列式的其中一行全为0，则行列式的值为0。
5.行列式的行之和性质：如果行列式的其中一行的各元素都是两个数之和，那么行列式的值可以分拆成两个行列式之和。
6.行列式的行之差性质：如果行列式的其中一行的各元素都是两个数之差，那么行列式的值可以分拆成两个行列式之差。
利用这些性质，我们可以简化行列式的计算。
六、行列式的性质之递推关系行列式的递推关系是行列式计算的重要方法之一、具体来说，如果矩阵A的第k列元素全为0，那么det(A)可以根据矩阵A去掉第k列得到一个更小的矩阵来计算。
行列式的计算方法
行列式的计算方法行列式是线性代数中重要的概念和计算方法之一，可以用于解线性方程组、求特征值和特征向量等问题。
行列式的计算方法有多种，包括按定义展开式法、初等变换法和特殊行列式计算法等。
下面将详细介绍这些方法。
1. 定义展开式法行列式的定义展开式法是一种通过递归计算的方法。
对于一个2×2的行列式A= [a b; c d]，其行列式的计算公式为：|A| = ad - bc。
对于一个3×3的行列式A= [a b c; d e f; g h i]，可以通过以下公式计算行列式：|A| = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)这个方法的缺点是计算步骤繁琐，计算复杂度高，所以对于高阶的行列式往往不适用。
2. 初等变换法初等变换是指对行列式的某两行（列）进行加减乘除等操作，可以改变行列式的值，但保持行列式的性质。
通过进行初等变换，将原始的行列式变换为一个上三角矩阵的行列式，即只有主对角线以下的元素全为0。
这样，行列式就可以简化为：|A| = a11 * a22 * … * ann，其中a11、a22、…、ann分别为上三角矩阵的对角线上的元素。
由于初等变换不改变行列式的值，我们可以根据这个特性进行计算。
例如，对于一个3×3的行列式A= [a b c; d e f; g h i]，首先使用初等变换将矩阵变换为上三角矩阵：对第三行乘以a11，然后第三行减去第一行的a13倍，再将第二行减去第一行的a12倍：[a b c; d e f; g h i] -> [a b c; d e f; 0 h i - g*a11]接着对第三行进行初等变换将第三行的元素变为0：[a b c; d e f; 0 h i - g*a11] -> [a b c; d e f; 0 h i - g*a11 - h*a22]最终得到的上三角矩阵为：[a b c; d e f; 0 0 i - g*a11 - h*a22]根据行列式的性质，我们可以得出：|A| = a * e * (i - g*a11 - h*a22)= e * (ai - ag*a11 - ah*a22)= e * i - e * (g*a11 + h*a22) + e * ag*a11 + e * ah*a22这样，行列式的计算就变为了替代计算。
行列式的多种计算方法
2 三角化法：通过变换将行列式变换成三角行列式，再利用形式求出行列式的值.
2.1特殊行列式 2.2 箭形行列式
例2
解：
2.3 可化为箭形的行列式
3 降阶法 降阶法是利用行列式按其行（列）展开的性质，将高阶行列
式转化为低阶行列式进行计算
4 升阶法 将原行列式增加一行一列，而保持原行列式值不变或与原行列式有某种巧妙的关系，且便于后面的
列式S，称为D的一个k阶子式.如：
D=
则D的一个2阶子式为：S= 在一个n阶行列式中，任取k行，由此产生的k阶子式有个. (2) 设S为D的一个k阶子式，划去S所在的k行k列，余下的元素按原来 的相对位置组成的n-k阶行列式M称为S的余子式.又设S的各行位于D中 的第i1,i2…ik行，S的各列位于D中的第j1,j2…jk列，称
的行列式；或把D拆分为两个行列式的积.
例8（1）
（2）设Sk=1k+2k++nk(k=1,2…),求证：
7 利用拉普拉斯定理求行列式的值.
拉普拉斯定理是行列式按某一行（或列）展开定理的推广.
定义(1) 在n阶行列式D中，任取k行k列
(1kn),位于这k行k列交叉处的k2个元素按原来的相对位置组成的k阶行
21特殊行列式22箭形行列式23可化为箭形的行列式降阶法是利用行列式按其行列展开的性质将高阶行列式转化为低阶行列式进行计算升阶法将原行列式增加一行一列而保持原行列式值不变或与原行列式有某种巧妙的关系且便于后面的计算递推法
例文一：行Байду номын сангаас式的计算方法
介绍7种常用方法 1 三角化方法：通过行列初等变换将行列式化为三角型行列式. 例1 计算n+1阶行列式 2 把某一行（列）尽可能化为零 例2 计算： 3 递归法（数学归纳法）：设法找出Dn和低级行列式间的关系，然后 进行递归.
特殊行列式的计算方法总结
特殊行列式的计算方法总结一、引言在线性代数中，行列式是一个非常重要的概念。
它不仅有着广泛的应用，还是解线性方程组、计算矩阵的逆、求特征值等问题的基础。
然而，在实际计算中，我们经常会遇到一些特殊的行列式，它们的计算方法与普通行列式略有不同。
本文将总结并介绍这些特殊行列式的计算方法。
二、对称行列式对称行列式是指行列式的元素满足某种对称关系的行列式。
例如，当行列式的第i行和第j列元素相等时，这个行列式就是对称行列式。
对称行列式的计算方法相对简化，可以通过选取对称元素，对其余元素进行变换，从而减少计算量。
具体步骤如下：步骤1：选取对称元素，即第i行第j列与第j行第i列元素相等的元素；步骤2：对除选取元素外的其余元素进行行变换或列变换，使其变为下三角行列式或上三角行列式；步骤3：计算下三角行列式或上三角行列式的值；步骤4：根据选取元素的个数确定行列式的正负号，将计算结果乘以(-1)的对应次方。
三、三角行列式三角行列式是指行列式的元素满足某种三角关系的行列式。
例如，当行列式的下三角元素或上三角元素都为0时，这个行列式就是三角行列式。
三角行列式的计算方法相对简单，可以通过按行或按列展开，逐步计算得到。
具体步骤如下：步骤1：选择按行展开还是按列展开；步骤2：选取第i行或第j列的一个元素，将行列式分解为两个较小的行列式；步骤3：递归计算较小的行列式的值；步骤4：根据选取元素的位置确定行列式的正负号，将计算结果乘以(-1)的对应次方；步骤5：将所有较小行列式的计算结果相加，得到最终行列式的值。
四、Vandermonde行列式Vandermonde行列式是一种特殊的行列式形式，它的元素由一组数的幂组成。
Vandermonde行列式的计算方法相对复杂，需要利用数学归纳法和代数运算来完成。
具体步骤如下：步骤1：根据Vandermonde行列式的定义，将其展开为一组幂函数的乘积；步骤2：利用数学归纳法证明Vandermonde行列式的递推关系；步骤3：利用递推关系计算Vandermonde行列式的值。
线性代数知识点及总结
线性代数知识点总结第一章 行列式1. n 阶行列式()()121212111212122212121==-∑n nnn t p p p n p p np p p p n n nna a a a a a D a a a a a a 2.特殊行列式1212n nλλλλλλ=，()()1122121n n n nλλλλλλ-=-3.行列式的性质定义记111212122212nn n n nna a a a a a D a a a =，112111222212n n T nnnna a a a a a D a a a =，行列式TD 称为行列式D 的转置行列式。
性质1行列式与它的转置行列式相等。
性质2 互换行列式的两行()↔i j r r 或列()↔i j c c ，行列式变号。
推论如果行列式有两行〔列〕完全一样〔成比例〕，则此行列式为零。
性质3 行列式*一行〔列〕中所有的元素都乘以同一数()⨯j k r k ，等于用数k 乘此行列式； 推论1 D 的*一行〔列〕中所有元素的公因子可以提到D 的外面; 推论2 D 中*一行〔列〕所有元素为零，则=0D 。
性质4 假设行列式的*一列〔行〕的元素都是两数之和，则1112111212222212()()()i i n i i n n n ni ninna a a a a a a a a a D a a a a a '+'+='+11121111121121222*********12i n i n i n i n n n ninnn n ninna aa a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ''=+' 性质6 把行列式的*一列〔行〕的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式的值不变。
而算得行列式的值。
4. 行列式按行〔列〕展开余子式在n 阶行列式中，把元素ij a 所在的第i 行和第j 列划去后，留下来的1n -阶行列式叫做元素ij a 的余子式，记作ij M 。
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特殊行列式及行列式计算方法总结一、 几类特殊行列式1. 上（下）三角行列式、对角行列式（教材P7例5、例6）2. 以副对角线为标准的行列式11112112,1221222,11,21,11,112,1(1)212,1100000000000000000(1)n n n n nn n n n n n nnn n n n n nnn n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---------===- 3. 分块行列式（教材P14例10）一般化结果：00n n m n n m n m m n m m nmA C A AB BC B ⨯⨯⨯⨯==⋅0(1)0n m n n m nmn n m mm nmm nA C A AB BC B ⨯⨯⨯⨯==-⋅4. 范德蒙行列式（教材P18例12） 注：4种特殊行列式的结果需牢记！以下几种行列式的特殊解法必须熟练掌握！！！ 二、 低阶行列式计算二阶、三阶行列式——对角线法则 （教材P2、P3） 三、 高阶行列式的计算 【五种解题方法】1) 利用行列式定义直接计算特殊行列式；2) 利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式；3) 利用行列式的行（列）扩展定理以及行列式的性质，将行列式降阶进行计算——适用于行列式的某一行或某一列中有很多零元素，并且非零元素的代数余子式很容易计算； 4) 递推法或数学归纳法； 5) 升阶法（又称加边法）【常见的化简行列式的方法】1. 利用行列式定义直接计算特殊行列式 例1 （2001年考研题）0001000200019990002000000002001D=分析：该行列式的特点是每行每列只有一个元素，因此很容易联想到直接利用行列式定义进行计算。
解法一：定义法(1,2,...,2,1,)012...19990(1)2001!(1)2001!2001!n n n D τ--+++++=-=-=解法二：行列式性质法利用行列式性质2把最后一行依次与第n -1,n -2,…,2,1行交换（这里n =2001），即进行2000次换行以后，变成副对角行列式。
2001(20011)20011200112000020010001000200(1)(1)(1)2001!2001!019990002000000D ⨯---=-=--=解法三：分块法00010002000199900020000000002001D =利用分块行列式的结果可以得到2000(2000-1)2000102=2001=2001(-1)2000!=200101999002000000D ⋅⋅！解法四：降阶定理展开按照每一行分别逐次展开，此处不再详细计算。
2. 利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式 例21111111111111111a a D b b+-=+-分析：该行列式的特点是1很多，可以通过12r r -和34r r -来将行列式中的很多1化成0. 解：214143220011001100111111110110000110011111111110111100011001100r r r r r r a a a a a D ababb b b b ba aba b b------===----==-例33223111111322322222232233333333223444444a ab a b b a a b a b b D a a b a b b a a b a b b = ，(0)i a ≠ 分析：该类行列式特点是每行a 的次数递减，b 的次数增加。
特点与范德蒙行列式相似，因此可以利用行列式的性质将D 化成范德蒙行列式。
解：2311111123222222333312342333333323444444333331241234123433331234141()()()1()()()1()()()1()()()(,,,)()ji j i ij b bb a a a b b b a a a D a a a a b b b a a a b b b a a a b b b b a a a a V a a a a b b a a a a a a ≤<≤=⋅=⋅=⋅-∏练习：（11-12年 IT 专业期末考试题）若实数z y x ,,各不相等，则矩阵⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222111z y x z y x M 的行列式=M __________ 3. 利用行列式的行（列）扩展定理以及行列式的性质，将行列式降阶进行计算 例400000000n a b a b D a b ba=分析：该行列式特点是a 处于主对角线，b 在a 后的一个位置，最后一行中b 是第一个元素，a 是最后一个元素。
解：按第一列展开：11111110000(1)(1)0000(1)(1)n n n n n n n na b b ababD a ba b abaa ab b a b ++-+-+=⋅-+-⋅=⋅+-⋅=+-练习：（11-12年期中考试题）xyy x x yx y x D n 00000000000000 =4. 行（列）和相等的行列式 例5n a b b b ab D b ba=分析：该行列式的特点是主对角线上元素为a ，其余位置上都是b 。
可将第2,3，…，n 列加到第1列上。
（类似题型：教材P12例8，P27 8(2)） 解：111110[(1)][(1)]11[(1)]()n n bb b b a b a b D a n b a n b baa ba nb a b --=+-⋅=+-⋅-=+--5. 箭头形（爪行）行列式 例60111120010301D n= 分析：该类行列式特点是第一行、第一列及主对角上元素不为0，其余位置都为0.解此类行列式方法，是将行列式化成上三角行列式。
解：分别从第2,3,…,n 列提出因子2,3，…，n ，然后将第2,3,…,n 列分别乘以-1，再加到第1列上。
22111111102323110001001!!!()10100010111ni ni i n n D n n n i -=-===-∑∑注：爪形行列式非常重要，很多看似复杂的行列式通过简单变化以后都可以化成爪形行列式进行计算！ 练习：1) 教材习题P28: 8(6) 2) （11-12年期末考试题）23(1)2000300010000n a n n a a A n a na-----=-3) （11-12年IT 期末考试题）nxn x x xa a a a x D n n n 00100002000011211-=-+例7123123123123n n n nx a a a a x a a D a a x a a a a x = 分析：该类行列式特点是每一行只有主对角线上的元素与第一个元素不同。
解：1231122113311312112233112221221122000001100()()()101010011()()()01001(n n n n n nn n ni n i i in nn n i i x a a a a x x a D a x x a a x x a a a x a x a x a x a x a x a x a x a a a a x a x a x a x a x a x a x a =--=---------=-⋅----+---=-⋅--=-∑11)[1]n nii i i ia x a ==+-∑∏6. 递推法或数学归纳法该方法用于行列式结构具有一定的对称性，教材P15例11就是递推法的经典例题。
利用同样的方法可以计算教材P27 8(4)。
7. 升阶法通常计算行列式都采用降阶的方法，是行列式从高阶降到低阶，但是对于某些行列式，可以通过加上一行或一列使得行列式变成特殊行列式，再进行计算。
例8 （教材P28 8(6)）121+1111+1=111+n na a D a , (0)i a ≠分析：该题有很多解法，这里重点介绍升阶法。
因为行列式中有很多1，因此可以增加一行1，使得行列式变成比较特殊或者好处理的行列式。
注意：行列式是方形的，因此在增加一行以后还要增加一列，以保持行列式的形状。
为了使行列式的值不改变，因此增加的列为1,0,0, 0111-32212=1111100011111+11-1001=11+1=-100=...(1+)111+-10i nr r n n i i nna a D a a a a a a a a ∑定理例9 （教材P27 6(4)）222244441111=a b c d D abcda b c d分析：此行列式可以应用性质6将行列式化为上三角行列式，也可以对比范德蒙行列式的形式，通过添加一行和一列把行列式变成范德蒙行列式以后再进行计算。
解法一：2433221213122222222222222222111100()()()0()()()111=()()()()()()100()()()()()()()(r a r r ar r ar c c c c b a c a d a D b b a c c a d d a b b a c c a d d a b a c a d a b cdb b ac c ad d a b a c a d a bc bd bb b ac c a b b ad d a b --------=---------+++=-----++-++-按第一列展开2222)()()()()()()()()()()()()()()b ac bd b b a c a d a c c a b b a d d a b b a a b a c a d b c b d c d a b c d +--=---+-++-+=------+++按第一行展开解法二：25322224444333341111()()()()()()()()()()1a b c d D a b c d a b c d x a x b x c x d b a c a d a c x x a b c d d x b x b d c ==----------3x 的系数是D -，因此D 等于3x 的系数的相反数，由此可计算得到结果。