七年级数学知识点精讲精练——完全平方公式变形应用与配方法

完全平方公式变形与配方法

【知识点】

1．完全平方式

完全平方式的定义：a2±2ab+b2=（a±b）2

口诀：“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号看前方”．

（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用﹣，后边的符号都用+）”

2．配方法

配方法是指将一个式子（包括有理式和超越式）或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法。

配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2=（a±b）2

应用：利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．

【典型例题】

（2017春•秦淮区秦外期中）阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=（a±b）2．例如：（x﹣1）2+3是x2﹣2x+4的一种形式的配方，（x﹣2）2+2x是x2﹣2x+4的另一种形式的配方…

请根据阅读材料解决下列问题：

（1）比照上面的例子，写出x2﹣4x+1的两种不同形式的配方；

（2）已知x2+y2﹣4x+6y+13=0，求2x﹣y的值；

（3）已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4=0，求a+b+c的值．

【考点】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，掌握完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2是解题的关键．

【解答】解：（1）x 2﹣4x +1的两种配方分别为：x 2﹣4x +1=（x ﹣2）2﹣3，

x 2﹣4x +1=（x ﹣1）2﹣2x ；

（2）由x 2+y 2﹣4x +6y +13=0得：x 2﹣4x +4+y 2+6y +9=0，

∴（x ﹣2）2+（y +3）2=0

解得：x =2，y =﹣3

∴2x ﹣y =4+3=7；

（3）a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣3b ﹣2c +4

=（a 2﹣ab +14

b 2）+（34b 2﹣3b +3）+（

c 2﹣2c +1） =（a 2﹣ab +14b 2）+34（b 2﹣4b +4）+（c 2﹣2c +1） =（a ﹣12b ）2+34（b ﹣2）2+（c ﹣1）2=0，

从而有a ﹣12b =0，b ﹣2=0，c ﹣1=0， 即a =1，b =2，c =1，

故a +b +c =4．

【练习】

1．若m 2+2mn +2n 2﹣6n +9=0，则m n 2的值为 ．

2．若|m ﹣1|+n 2+6n +9=0，那么m = ，n = ．

3. （2016春•玄武区校级期中）阅读材料：若m 2﹣2mn +2n 2﹣6n +9=0，求m 、n 的值．

解：∵m 2﹣2mn +2n 2﹣6n +9=0，∴（m 2﹣2mn +n 2）+（n 2﹣6n +9）=0∴（m ﹣n ）2+（n ﹣3）2=0，∴（m ﹣n ）2=0，（n ﹣3）2=0，∴n =3，m =3．

根据你的观察，探究下面的问题：

（1）已知x 2﹣2xy +2y 2+8y +16=0，求xy 的值；

（2）已知△ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数，且满足a 2+b 2﹣12a ﹣16b +100=0，求△ABC 的最大边c 可能是哪几个值？

4.（2016春•南外期中）先阅读后解题：

若m 2+2m +n 2﹣6n +10=0，求m 和n 的值．

解：等式可变形为：m 2+2m +1+n 2﹣6n +9=0

即 （m +1）2+（n ﹣3）2=0

因为（m +1）2≥0，（n ﹣3）2≥0，

所以 m +1=0，n ﹣3=0

即 m =﹣1，n =3．

像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫做“配方法”．请利用配方法，解决下列问题：

（1）已知x 2+y 2+x ﹣6y +374=0，求x y 的值；

（2）已知△ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数，且满足2a 2+b 2﹣4a ﹣6b +11=0，则△ABC 的周长是 ；

（3）a 2+b 2+4a ﹣10b +30的最小值是 ．

5.阅读材料：把形如ax 2+bx +c 的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a 2±2ab +b 2=（a ±b ）2．

例如：x 2﹣2x +4=x 2﹣2x +1+3=（x ﹣1）2+ ；

x 2﹣2x +4=x 2﹣4x +4+2x =（x ﹣2）2+ ；

x 2﹣2x +4=14x 2﹣2x +4+34x 2=（12x ﹣2）2+ 是x 2﹣2x +4的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数

项、一次项、二次项﹣﹣见横线上的部分）．

请根据阅读材料解决下列问题：

（1）比照上面的例子，将二次三项式x 2﹣4x +9配成完全平方式（直接写出两种形式）；

（2）将a 2+3ab +b 2配方（写两种形式即可，需写配方过程）；

（3）已知a 2+b 2+c 2﹣2ab +2c +1=0，求a ﹣b +c 的值．

【练习解析】

1.解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9=0 ∴（m+n）2+（n﹣3）2=0，

∴m+n=0且n﹣3=0，

∴m=﹣3，n=3，

∴m

n2=−3

32

=﹣1

3

．

故答案为﹣1

3

．

2. 解：∵|m﹣1|+n2+6n+9=0，

∴|m﹣1|+（n+3）2=0，

∵|m﹣1|≥0，（n+3）2≥0

∴|m﹣1|=0，（n+3）2=0

解得m=1，n=﹣3

故应填：1，﹣3．

3. 解：（1）∵x2﹣2xy+2y2+8y+16=0，

∴（x2﹣2xy+y2）+（y2+8y+16）=0，

∴（x﹣y）2+（y+4）2=0，

∴（x﹣y）2=0，（y+4）2=0，

∴x=﹣4，y=﹣4，

∴xy=﹣4×（﹣4）=16；

（2）∵a2+b2﹣12a﹣16b+100=0，

∴（a2﹣12a+36）+（b2﹣16b+64）=0，

∴（a﹣6）2+（b﹣8）2=0，

∴（a﹣6）2=0，（b﹣8）2=0，

∴a=6，b=8，

∵△ABC的最大边是c，

∴8＜c＜14，

∵c是正整数，∴c可能是9，10，11，12，13．