运动的合成和分解

所以θ=arccosVs/Vc,因为0≤cosθ≤1,所以只有在 Vc>Vs时，船才有可能垂直于河岸横渡。
v vc θ v2 图2甲 v1 vs vc θ 图2乙
Vs A B E
v α 图2丙
Vc
θ
Vs
（3）如果水流速度大于船上在静水中的航行速度，则 不论船的航向如何，总是被水冲向下游。怎样才能使 漂下的距离最短呢？如图2丙所示，设船头Vc与河岸 成θ角，合速度V与河岸成α角。可以看出：α角越大 ，船漂下的距离x越短，那么，在什么条件下α角最大 呢？以Vs的矢尖为圆心，以Vc为半径画圆，当V与圆 相切时，α角最大，根据cosθ=Vc/Vs,船头与河岸的夹 角应为：θ=arccosVc/Vs. 船漂的最短距离为：
v水
A
θ
练习8.一只船在静水中的速度为0.4m/s，它要渡 过一条宽度为40m的河，河水的流速为0.3m/s。 则下列说法中正确的是 （ B ） A．船不可能渡过河 B．船有可能垂直到达对岸 C．船不能垂直到达对岸 D．船到达对岸所需时间都是100s
例9.河宽60m，水流速度6m/s，小船在静水中速 度为3m/s，则它渡河的最短时间为 20 s，最短航 程为 120 m。这时渡河的时间为 23.1 s。
例4.物体在几个力的共同作用下做匀速直线运动，当 其中一个力停止作用时，物体的可能运动形式是： （ BCDEF ） A. 匀速直线运动 B. 匀加速直线运动 C. 匀减速直线运动 D. 类似于平抛运动 E. 类似于斜抛运动 F. 圆周运动
带电粒子在速度选择器中匀速运动，当去掉电 场力后 做圆周运动。
a恒定 匀变速直线运动 a变化 变加速直线运动
F（a）跟v不在一直线上→曲线运动
a恒定 匀变速曲线运动 a变化 变加速曲线运动
例1．关于曲线运动，有下列说法, 其中正确的是
（ A D ） A．曲线运动一定是变速运动 B．曲线运动一定是匀速运动 C．在平衡力作用下，物体可以做曲线运动
练习9.在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人，假 设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度 为 v1，摩托艇在静水中的航速为 v2，战士救人的地 点A离岸边最近处O的距离为d．如战土想在最短时 间内将人送上岸，则摩托艇登陆的地点距 O点的距 离为 （ C ） dv 2 A． B．0 C． dv1 D． dv2
解析：设经过极短时间Δt物体由图示位置前进 S1 = v1Δt ， v 绳在Δt时间内拉过 S=v Δt ，
由运动的分解， S1 =S /cosα
∴v1 =v /cosα α逐渐增大， v1也逐渐增大 α S1 =v1Δt
α
例6.如图所示的装置中，AB杆水平固定，另一细 杆可绕AB杆上方距AB杆高为h 的O轴转动，两杆都 穿过P 环，若使可动细杆绕O 轴以角速度ω转动， 当可动细杆与竖直方向所成的锐角α=30o时，环的 4/3× ω h . 运动速率为 解：OP=h/cos 30o A
3、运动的合成与分解 （1）从已知的分运动来求合运动，叫做运动的合成. 包括位移、速度和加速度的合成，由于它们都是矢量， 所以遵循平行四边形定则. （2）求一个已知运动的分运动，叫运动的分解，解题 时应按实际“效果”分解，或正交分解. (3）两个匀变速直线运动的合运动一定是匀变速运 动．若合初速度方向与合加速度方向在同一条直线上 时，则是直线运动；若合初速度方向与合加速度方向 不在一条直线上时，则是曲线运动．
D．在恒力作用下，物体可以做曲线运动
练习1.下列关于曲线运动的描述中，正确的是 ( ABC ) A.曲线运动可以是匀速率运动 B.曲线运动一定是变速运动 C.曲线运动可以是匀变速运动 D.曲线运动的加速度可能为0
练习2.一质点在某段时间内做曲线运动，则在这 段时间内( B ) A.速度一定在不断改变，加速度也一定不断地改 变 B.速度一定在不断地改变，加速度可以不变
【解析】(1)当船头对准对岸行驶时(并不是到达 正对岸)，时间最短，船的轨迹如图所示， 最短时间： t=d/v1=300/5=60s 到达对岸，在出发点下游： s1=dctan=dv2/v1=180m.
(2)由于v1＞v2，所以船可以 垂直到达正对岸，速度矢量 图如图.
设船头与河岸夹角为 ，
A．2.08m/s
B．1.92m/s
C．1.58m/s 解：画出示意图， 最小的船速应垂直于合速度
D．1.42m/s
要避开危险区，则合速度方向应在AC 左侧，
120m
B
v船 v合
C
危险区
由几何关系得 AC=130m sin θ=5/13 ∴v船 = v水sin θ =25/13=1.92m/s
d=50m
解：画出运动示意图如图示：
v船 v合 v船 v合
d=60m
v水
ຫໍສະໝຸດ Baidu
v水
θ
当船头垂直河岸时，渡河的时间最短 t=d/v=20s 因为v船 < v水,只有当V船 ⊥ V合 时，过河的位移 最小， 如图示。 S=d/ Sinθ=120m Sinθ= v船 /v水 =1/2 θ =30 ° t 2= S/ v合 = d／（v船sin60° )= 60／（3×0.866 ) =23.1s
例2.一个静止的质点，在两个互成锐角的恒力F1，F2 作用下开始运动，经过一段时间以后突然撤去其中 一个力，则质点在撤去该力前后两个阶段的运动性 质是 ( B )
(A)匀加速直线运动，匀减速直线运动； (B)匀加速直线运动，匀变速曲线运动； (C)匀变速曲线运动，匀速圆周运动； (D)匀加速直线运动，匀速圆周运动。
v vc θ v2 图2甲 v1 vs vc θ 图2乙
Vs A B E
v α 图2丙
Vc
θ
Vs
t min
L Vc
(2)如图2乙所示，渡河的最小位移即河的宽度。为了使 渡河位移等于d，必须使船的合速度V的方向与河岸垂 直。这是船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角 度θ。根据三角函数关系有：Vccosθ─Vs=0.
C.速度可以不变，加速度一定不断地改变
D.速度可以不变，加速度也可以不变
二、运动的合成与分解
1、合运动和分运动：如果物体同时参与了几个运动， 那么物体实际发生的运动就叫做那几个运动的合运动， 那几个运动叫做这个实际运动的分运动． 2.合运动与分运动的特征： (1)等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动规律有 完全相同的效果． (2)等时性：合运动所需时间和对应的每个分运动所需 时间相等. (3)独立性：一个物体可以同时参与几个不同的分运动， 各个分运动独立进行，互不影响.
一、物体做曲线运动的条件
1.曲线运动的条件：质点受合外力的方向(或加速度方 向)跟它的速度方向不在同一直线上,且合外力方向一 定指向曲线的凹侧. 2.曲线运动的特点： （1）曲线运动的速度方向一定改变，所以是变速运动, 所以必有加速度. （2）质点在某一点（或某一时刻）的速度方向是在曲 线的这一点的切线方向．
O
设环在很短时间内从P1运动到P ， h
v1 = ω× OP= ωh/cos 30o
α v
P
ω P1
B
由运动的分解，v1 =vcos 30o
∴v = v 1/cos 30o = ωh/cos 230o =4 ωh/3
v1 v
v1
P
α
P1
练习6.一个在水平面内以角速度ω匀速转动的圆台， 其半径为 R ，圆台边缘 A处坐着一人，举枪想击中 O处 的目标，如子弹出口速度为v ，则 ( C ) (A) 应对准O点瞄准； (B) 瞄向O点右侧，枪管与OA夹角θ＝arcsin ωR/ v (C) 瞄向O点左侧，枪管与OA夹角θ＝arcsin ωR/ v (D) 瞄向O点右侧，枪管与OA夹角θ＝arccos ωR/ v 解：枪随圆盘转动具有沿切线 方向的速度v1= ω R， 所以射出的子弹同时参与两个 运动，只有合运动沿半径方向 才能击中O。如图示：
例7.一条宽度为L的河，水流速度为vs，已知船在静水 中的航速为vc，那么，（1）怎样渡河时间最短？（2） 若vs＜vc怎样渡河位移最小？（3）若vs＞vc，怎样渡 河船漂下的距离最短？ 分析与解：（1）如图2甲所示，设船上头斜向上游与 河岸成任意角θ，这时船速在垂直于河岸方向的速度 分量V1=Vcsinθ,渡河所需时间为： t=L/(vcsinθ) 可以看出：d、Vc一定时，t随sinθ增大而减小；当 θ=900时，sinθ=1,所以，当船头与河岸垂直时，渡河 时间最短.
【例5】如图所示，纤绳以恒定速率v沿水平方向通过 定滑轮牵引小船向岸边运动。试求当绳与水平方向夹 角为θ时，小船的瞬时速度。
练习5.如图所示，用一根轻绳拉住一置于水平地面 的物体，绳的另一端通过定滑轮被人拉住，则当人 用手匀速向左拉绳时，物体将做 （ C ） A．匀速运动 B．减速运动 C．加速运动 D．不能确定
xmin
L (Vs Vc cos ) Vc sin
此时渡河的最短位移为：
L Vs s L cos Vc
练习7.河宽300m，水流速度为3m/s，小船在静 水中的速度为5m/s，问
(1)以最短时间渡河，时间为多少?可达对岸的什 么位置?
(2)以最短航程渡河，船头应向何处?渡河时间又 为多少?
练习2.关于运动的合成与分解，下列说法正确的是 ( BD )
A.两个直线运动的合运动一定是直线运动 B.两个匀速直线运动的合运动一定是直线运动 C.两个匀加速直线运动的合运动一定是直线运动
D.两个初速度为0的匀加速直线运动的合运动一定是 直线运动
例3.关于互成角度的两个初速度不为零的匀变速直 线运动的合运动,下列说法正确的是: ( C ) A. 一定是直线运动 B. 一定是曲线运动 C. 可能是直线运动,也可能是曲线运动 D. 一定不是曲线运动
ω
O
θ R
v
∴sin θ=v 1/v= ω R /v
A v 1=ωR
三.渡河问题
设河宽为ｄ，船在静水中速度为ｖc，水流的速度为 ｖ s。 1.当θ=90o时，渡河时间最短，t=d/vc.即船头必须垂 直河岸； 2.要使过河的位移最短： (1)若ｖc＞ｖs，则当θ＝arc cosvs/vc,时，渡河位移最 小为d；即船头必须指向河岸上游方向, 使合速度垂直 河岸，最小位移等于河宽. (2)若V1＜V2，则当θ＝arc cosvc/vs时，渡河位移最 小为s=d/cosθ=vsd/vc.即只有当Vc ⊥ V合 时，过河 的位移最小.
vA
B
vB
A
质点在A点和B点 的瞬时速度方向在过A 和B点的切线方向上
3.重点掌握的两种情况：一是加速度大小、方向都 不变的曲线运动，叫匀变速曲线运动，如平抛运动； 另一是加速度大小不变、方向时刻改变的曲线运动， 如匀速圆周运动. 小结：力决定了给定物体的加速度，力与速度的方向关 系决定了物体的运动轨迹． F（a）跟v在一直线上→直线运动
则有: cos =v2/v1=3/5，
arccos 3/ 5
渡河时间：
t′=d/v=d/(v1sina)=75s.
例8.有一小船正在渡河，离对岸50m时，已知在下游 120m处有一危险区，假设河水流速为5m/s，为了使 小船不通过危险区到达对岸，那么，小船从现在起相 对于静水的最小速度应是 （ B ）
练习4.关于互成角度的两个初速度不为0的匀变速 直线运动的合运动，下述说法正确的是( C ) A.一定是直线运动 B.一定是抛物线运动 C.可能是直线运动，也可能是抛物线运动 D.以上说法都不对 当合加速度ａ和合初速度ｖ共线时，物体做直线运 动；当ａ与ｖ不共线时，物体做抛物线运动(不是平 抛)。而此题没有给出两个分运动的具体数值，上面两 种情况都有可能，所以正确答案是C.
v2 v1
2 2
v2
v1
［分析］设摩托艇登陆点离O点的距离为s，(如图示)． 为了在最短时间内将人进送到岸上，摩托艇必须 B O S 以v2速度正对着岸开， 根据运动合成与分解 dv1 及运动时间相等可得到：S
d
v2
v2
A
v1