锐角三角函数的知识点复习

c
a c2 cb a2 ab a2 c2 ab bc b2 ac ab bc
∴ ab cb
a bc b
ac ab bc b2 ac ab bc b2 1.
故选 C．
【点睛】 本题考查了特殊角的三角函数值、勾股定理的内容．在直角三角形中，两直角边的平方和 等于斜边的平方．注意作辅助线构造直角三角形是解题的好方法．
解得: x= 3 5
∴DF=4-x= 17 5
∴cos∠ADF= AD 15 DF 17
故选: C.
【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及解直角三角形，利用勾股定理结合 AF=1+x，求出 AF 的长度是解题的关键．
4．同学们参加综合实践活动时，看到木工师傅用“三弧法”在板材边角处作直角，其作法 是：如图： （1）作线段 AB，分别以点 A，B 为圆心，AB 长为半径作弧，两弧交于点 C； （2）以点 C 为圆心，仍以 AB 长为半径作弧交 AC 的延长线于点 D； （3）连接 BD，BC． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
33 ∴PQ=PE-QE=9+3 3 -（3+ 3 ）=6+2 3 ． 答：电线杆 PQ 的高度是（6+2 3 ）米．
故选：A． 【点睛】 本题考查解直角三角形的实际应用，解答关键是根据题意构造直角三角形解决问题.
7．如图，菱形 ABCD 的两个顶点 B、D 在反比例函数 y= 的图象上，对角线 AC 与 BD 的交 点恰好是坐标原点 O，已知点 A（1，1），∠ABC=60°，则 k 的值是（ ）
锐角三角函数的知识点复习
一、选择题 1．如图，在 Rt ABC 中， ACB 90 ， tan B 3 ， CD 为 AB 边上的中线， CE 平分
4 ACB ，则 AE 的值（ ）
AD
A． 3 5
【答案】D 【解析】
B． 3 4
C． 4 5
D． 6 7
【分析】
根据角平分线定理可得 AE：BE＝AC：BC＝3:4，进而求得 AE＝ 3 AB，再由点 D 为 AB 中点 7
∵点 B 在反比例函数 y= 的图象上，
D．﹣2
∴
，
解得，k=-3， 故选 C． 点睛：本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解答本题的关键是明确题 意，利用反比例函数的性质解答．
8．如图，点 O 为△ABC 边 AC 的中点，连接 BO 并延长到点 D,连接 AD、CD，若 BD=12， AC=8，∠AOD＝120°，则四边形 ABCD 的面积为（ ）
2
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了角平分线定理的应用及三角函数的应用，通过面积比证得 AE：BE＝AC：BC
是解决本题的关键．
2．在半径为1的 O 中，弦 AB 、 AC 的长度分别是 3 ， 2 ，则 BAC 为（ ）度．
A． 75
B．15 或 30
C． 75 或15
D．15 或 45
【答案】C
【解析】
2
2
故选：D． 【点睛】 本题考查了解直角三角形，三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边 垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理和解直角三角形．
5．如图，在△ABC 中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点 D 是 CB 延长线上的一点，且 AB＝BD，则 tanD 的值为（ ）
2
2
化简可得即 a2+c2=b2+ac，再把此式代入通分后所求的分式中，可求其值等于 1．
【详解】
解：过 A 点作 AD⊥BC 于 D，在 Rt△BDA 中，由于∠B=60°，
∴ DB 1 c, AD 3 c,
2
2
在 Rt△ADC 中，DC2=AC2﹣AD2，
∴
a
1 2
2
c
b2
3 4
c2，
即 a2+c2=b2+ac，
A．8 3
B．9 3
【答案】A
【分析】
根据题意画出草图，因为 C 点位置待定，所以分情况讨论求解．
【详解】
利用垂径定理可知：AD= 3 ，AE 2 ．
2
2
sin∠AOD= 3 ，∴∠AOD=60°； 2
sin∠AOE= 2 ，∴∠AOE=45°； 2
∴∠BAC=75°． 当两弦共弧的时候就是 15°． 故选：C． 【点睛】 此题考查垂径定理，特殊三角函数的值，解题关键在于画出图形.
得 AD＝ 1 AB，进而可求得 AE 的值．
2
AD
【详解】
解：∵ CE 平分 ACB ，
∴点 E 到 ACB 的两边距离相等， 设点 E 到 ACB 的两边距离位 h，
则 S△ACE＝ 1 AC·h，S△BCE＝ 1 BC·h，
2
2
∴S△ACE：S△BCE＝ 1 AC·h： 1 BC·h＝AC：BC，
3．如图，矩形纸片 ABCD， AB 4 ， BC 3，点 P 在 BC 边上，将 CDP 沿 DP 折 叠，点 C 落在点 E 处， PE 、 DE 分别交 AB 于点 O 、 F ，且OP OF ，则 cos ADF
的值为（ ）
A． 11 13
【答案】C 【解析】
B． 13 15
C． 15 17
由作法得 CA＝CB＝CD＝AB，故 B 正确；
∴点 B 在以 AD 为直径的圆上，
∴∠ABD＝90°，故 A 正确；
∴点 C 是△ABD 的外心，
在 Rt△ABC 中，sin∠D＝ AB ＝ 1 ， AD 2
∴∠D＝30°，∠A＝60°，
∴sinA＝ 3 ，故 C 正确；cosD＝ 3 ，故 D 错误，
A． 2 3
【答案】D 【解析】 【分析】
B． 3 3
C． 2 3
D． 2 3
设 AC＝m，解直角三角形求出 AB，BC，BD 即可解决问题． 【详解】
设 AC＝m， 在 Rt△ABC 中，∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝2m，BC＝ 3 AC＝ 3 m，
∴BD＝AB＝2m，DC＝2m+ 3 m，
A．﹣5
B．﹣4
C．﹣3
【答案】C
【解析】
分析：根据题意可以求得点 B 的坐标，从而可以求得 k 的值．
详解：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴BA=BC，AC⊥BD，
∵∠ABC=60°，
∴△ABC 是等边三角形，
∵点 A（1，1），
∴OA= ，
∴BO=
，
∵直线 AC 的解析式为 y=x， ∴直线 BD 的解析式为 y=-x， ∵OB= ， ∴点 B 的坐标为（− ， ），
10．如图，在矩形 ABCD 中， AB 4, DE AC ，垂足为 E ，设 ADE ，且 cos 3 ，则 AC 的长为（ ）
5
A．3
【答案】C 【解析】
B． 16 3
C． 20 3
D． 16 5
【分析】
根据同角的余角相等求出∠ADE=∠ACD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAC=∠
∵点 O 为△ABC 边 AC 的中点，AC=8， ∴AO=CO=4， ∵∠AOD＝120°， ∴∠AOB=60°，∠COD=60°，
∴ sin∠AOB AM AM 3 ， AO 4 2
sin∠COD CN CN 3 ， CO 4 2
∴AM= 2 3 ，CN= 2 3 ，
∴ S△ABD
BD AM 2
2
2
又∵S△ACE：S△BCE＝AE：BE，
∴AE：BE＝AC：BC，
∵在 Rt ABC 中， ACB 90 ， tan B 3 ， 4
∴AC：BC＝3:4， ∴AE：BE＝3:4
∴AE＝ 3 AB， 7
∵ CD 为 AB 边上的中线，
∴AD＝ 1 AB， 2
∴
AE
3 7
AB
6
，
AD 1 AB 7
12 2 2
3 12
3,
S△BCD
BD CN 2
12 2 2
3 12
3，
∴ S四边形ABCD =S△ABD S△BCD 12 3 12 3 24 3
故选：D. 【点睛】 本题考查了三角函数的内容，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.
9．在△ABC 中，a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边，若∠B=60°，则 c a 的值为 ab cb
A．∠ABD＝90°
B．CA＝CB＝CD
C．sinA＝ 3 2
D．cosD＝ 1 2
【答案】D
【解析】
【分析】
由作法得 CA＝CB＝CD＝AB，根据圆周角定理得到∠ABD＝90°，点 C 是△ABD 的外心，根
据三角函数的定义计算出∠D＝30°，则∠A＝60°，利用特殊角的三角函数值即可得到结
论．
【详解】
（）
A． 1 2
B． 2 2
C．1
D． 2
【答案】C 【解析】 【分析】
先过点 A 作 AD⊥BC 于 D，构造直角三角形，结合∠B=60°，利用 sin60 3 ，cos60°= 1 ,
2
2
可求 DB 1 c, AD 3 c, 把这两个表达式代入到另一个 Rt△ADC 的勾股定理表达式中，
解：∵矩形纸片 ABCD ，点 P 在 BC 边上，将 CDP 沿 DP 折叠，点 C 落在点 E 处，
根据折叠性质，可得：△DCP≌△DEP ， ∴.DC=DE=4， CP= EP， 在△OEF 和△OBP 中
EOF BOP B E 90 OP OF
∴△OEF≌△OBP(AAS) ∴ОE=OB， EF= ВР. 设 EF=x,则 BP=x，DF= DE-EF=4-X， 又∵ BF=OB+OF=OE+ OP=PE=PC, РС=ВC-BP=3-x, ∴AF=AB-BF=1+x. 在 Rt△DAF 中，AF2+AD2= DF2，即(1+x) 2+32= (4-x)2
∴tan∠ADC＝ AC ＝
m
＝2﹣
CD 2m 3m
3．
故选：D．
【点睛】
本题考查解直角三角形，直角三角形 30 度角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知
识，属于中考常考题型．
6．如图，从点 A 看一山坡上的电线杆 PQ ，观测点 P 的仰角是 45，向前走 6m 到达 B 点， 测得顶端点 P 和杆底端点 Q 的仰角分别是 60 和 30 ，则该电线杆 PQ 的高度（ ）
在直角△APE 中，∠A=45°，
AE=PE=x； ∵∠PBE=60° ∴∠BPE=30°
在直角△BPE 中，BE= 3 PE= 3 x， 33
∵AB=AE-BE=6 米，
则 x- 3 x=6， 3
解得：x=9+3 3 ． 则 BE=3 3 +3． 在直角△BEQ 中，QE= 3 BE= 3 （3 3 +3）=3+ 3 ．
D． 17 19
【分析】
根据折叠的性质可得出 DC=DE、CP=EP，由∠EOF=∠BOP、∠B=∠E、OP= OF 可得出△OEF≌ AOBP(AAS)根据全等三角形的性质可得出 0E=OB、EF=BP，设 EF=x，则 BP=x、DF=4-x、 BF=PC=3-x，进而可得出 AF=1+x，在 Rt△DAF 中，利用勾股定理可求出 x 的值，再利用余弦 的定义即可求出 cos∠ADF 的值． 【详解】
各性质并求出 BC 是解题的关键．
11．已知 B 港口位于 A 观测点北偏东 45°方向，且其到 A 观测点正北风向的距离 BM 的长
为 10 2 km，一艘货轮从 B 港口沿如图所示的 BC 方向航行 4 7 km 到达 C 处，测得 C 处
位于 A 观测点北偏东 75°方向，则此时货轮与 A 观测点之间的距离 AC 的长为（ ） km．
A．2 3
【答案】D
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B．2 2
C． 10
D． 24 3
【解析】 【分析】 分别过点 A、C 作 BD 的垂线，垂足分别为 M、N，通过题意可求出 AM、CN 的长度，可计 算三角形 ABD 和三角形 CBD 的面积，相加即为四边形 ABCD 的面积. 【详解】 解：分别过点 A、C 作 BD 的垂线，垂足分别为 M、N，
ACD，然后求出 AC．
【详解】
解：∵DE⊥AC，
∴∠ADE+∠CAD=90°，
∵∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠ACD=∠ADE=α，
∵矩形 ABCD 的对边 AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACD，
∵cosα= 3 ， AB 3 ， 5 AC 5
∴AC= 5 4 20 ．
3
3
故选：C．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，同角的余角相等的性质，熟记
A． 6 2 3
【答案】A
B． 6 3
C．10 3
D．8 3
【解析】 【分析】 延长 PQ 交直线 AB 于点 E，设 PE=x 米，在直角△APE 和直角△BPE 中，根据三角函数利用 x 表示出 AE 和 BE，列出方程求得 x 的值，再在直角△BQE 中利用三角函数求得 QE 的长，则 问题求解． 【详解】 解：延长 PQ 交直线 AB 于点 E，设 PE=x．