场波教案-3静电场-17--44剖析

工程中，通常将大地作为电位参考点。
电位相等的曲面称为等位面，其方程为 (x, y, z) C
由于电场强度的方向为电位梯度的负方向，而梯度方 向总是垂直于等位面，因此，电场线与等位面一定处处 保持垂直。
等位面分布的疏密程度也可表示电场强度的强弱。
E
电场线
等位面
均匀场中放进了介质球的电场
均匀场中放进了导体球的电场
3. 电位
静电场中某点的电位，其物理意义是单位正电荷在电
场力的作用下，自该点沿任一条路径移至无限远处过程
中电场力作的功。
W
q
这里所说的电位实际上是该点与无限远处之间的电位差，或
者说是以无限远处作为参考点的电位。当电荷分布在有限区
域时，通常选择无限远处作为电位参考点，因为此时无限远
处的电位为零。
W
qE dl
a
E dl
q
q
a
由 E 0 可定义 E
标量函数 称为电位。上式表明真空中静电场在某点
的电场强度等于该点电位梯度的负值。
点电荷产生的场中任一点的电位为：
线分布电荷 面分布电荷 体分布电荷
E dl
r
r
qer
4 0r
2
dr
q
4
0r
(r) 1 l (r ) dl
4π0 l | r r |
2
r
l cos
2
r2
求得
q
4π 0r 2
l cos
q
4π 0r 2
(l er )
式中l 的方向规定由负电荷指向正电荷。定义乘积 q l 为电偶极子的电矩，以 p 表示，即
p ql
电偶极子产生的电位为
p er
4π 0r 2
p cos 4π 0r 2
利用关系式 E ，求得电偶极子的电场强度为
后，一直达到动态平衡的过程如下图所示。
外加场Ea
合成场Ea+ Es
介质
二次场Es
极化
单位体积中电矩的矢量和称为极化强度，以P 表示，即
N
pi
P i1 V
式中 pi 为体积 V 中第 i 个电偶极子的电矩，N 为V 中电 偶极子的数目。
实验结果表明，大多数介质在电场的作用下发生极化 时，其极化强度 P 与介质中的合成电场强度 E 成正比，即
可以证明这些极化电荷产生的电位为
(r) 1
P(r) dS 1
P(r)dV
4π 0 S | r r | 4π 0 V | r r |
式中P(r为) 极化强度，它与极化电荷的关系为
S (r) P(r) en
(r) P(r)
S (r) P(r) en (r) P(r)
可见，总面极化电荷为
例 计算电偶极子的电场强度。
z
利用叠加原理计算多种分布电荷产
r+
生的电位和电场强度。电偶极子产
+q
r
生的电位应为
l
x
百度文库
O
r-
-q
y
q
4π 0 r
q
4π 0 r
q
4π 0
r r r r
若观察距离远大于两电荷的间距 l ，则可认为 ， er 与er 平er
行，则
r r l cos
r r
r
l cos
导体中的电子称为自由电子，携带的电荷称为自由电荷。 介质中的电荷是不会自由运动的，这些电荷称为束缚电荷。
在电场作用下，介质中束缚电荷发生位移，这种现象 称为极化。通常，无极分子的极化称为位移极化，有极分 子的极化称为取向极化。
无极分子 有极分子
Ea
无极分子
有极分子
介质极化现象是逐渐形成的。自外电场Ea 加入发生极化
P 0eE
式中e 称为极化率，它是一个正实数。
P 0eE 可见，极化强度与合成的电场强度的方向相同。极化率与 电场方向无关，这类介质称为各向同性介质。
另一类介质的极化强度P与电场强度 E 的关系可用下列矩
阵表示
Px Py
0
e11 e 21
e12 e 22
e13 e 23
qS
P(r) dS
S
再利用散度定理，求得内部总体极化电荷为
q V (r)dV V P(r)dV S P(r) dS
♣任一块介质内部体分布的束缚电荷与介质块的表面
束缚电荷是等值异性的。
5. 介质中的静电场方程
E E
x y
Pz
e31 e32 e33 Ez
介质的极化特性与电场强度方向有关，这类介质称为各向 异性介质。
空间各点极化率相同的介质称为均匀介质，否则，称为 非均匀介质。
极化率与电场强度的大小无关的介质称为线性介质， 否则，称为非线性介质。
若极化率是一个正实常数，则适用于线性均匀且各向 同性的介质。若前述矩阵的各个元素都是一个正实常数， 则适用于线性均匀各向异性的介质。
E
er
r
e
1 r
e
1
r sin
er
p cos 2π 0 r 3
e
p sin 4π 0 r 3
可见电偶极子的
1
r2
，E
1 r3
，而且两者均与方位角
有关。下图绘出了电偶极子的电场线和等位线的分布。
若电荷分布已知，计算静电场的三种方法是： 利用高斯定律计算电场强度 通过电位求出电场强度 直接根据电荷分布计算电场强度
点电荷位于一块介质上方的电场
点电荷位于一块导体平面上方的电场
电位微分方程
已知，电位 与电场强度 E 的关系为 E
对上式两边取散度，得 E 2
对于线性各向同性的均匀介质，电场强度 E 的散
度为
E
则 电位满足的微分方程式为
2
泊松方程
对于无源区，上式变为
2 0 拉普拉斯方程
(r) 1
S (r) dS
4π0 S | r r |
(r) 1 v (r ) dv
4π0 v| r r |
静电场中两点之间的电压等于两点间的电位差。
U ba
b
a
b
E
dl
a
E
dl
b
E
dl
a
E
dl
a
b
E
dl
电位参考点的选取原则：
（1）电位的表达式要有意义
（2）同一问题只能选取一个电位参考点。
4. 静电场中的导体与介质
导体
㊀㊀㊀ E' ⊕⊕⊕
E=0
E
静电平衡
㊀
㊀ E'+
㊀
E
⊕ =⊕0⊕⊕
㊀
E
导体中不可能存在静电场，导体内部不可能存在自由电荷。 处于静电平衡时，自由电荷只能分布在导体的表面上。
导体中的电位梯度为零，导体中电位不随空间变化。处于静 电平衡状态的导体是一个等位体，导体表面是一个等位面。
极化率与时间无关的介质称为静止媒质，否则称为 运动媒质。
介质的均匀与非均匀、线性与非线性、各向同性与 各向异性、静止与运动分别代表完全不同的概念， 不应混淆。
发生极化以后，介质表面出现面分布的束缚电荷。若 介质内部是不均匀的，在介质内部出现体分布的束缚电 荷。这种面分布及体分布的束缚电荷又称为极化电荷。