初中抛物线经典练习题(含详细答案)
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初中数学抛物线
经典试题集锦
【编著】黄勇权
【第一组题型】
1、已知二次函数y=x2 +bx+c 过点A(2,0),C(0,-8)
(1)求此二次函数的解析式,
(2)在抛物线上存在一点p使厶ABP的面积为15,请直接写出p点的
2、在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=2x2 +mx+n经过点A(5,0
),B(2,-6 ).
(1)求抛物线的表达式及对称轴
(2)设点B关于原点的对称点为C写出过A C两点直线的表达式
3、在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线的顶点C为(2, 4),并在x轴上截得的长度为6。
(1)写出抛物线与x轴交点A、B的坐标
(2)求该抛物线的表达式
(3)写出抛物线与y轴交点P的坐标
4、直线的解析式为y=2x+4,交x轴于点A,交y轴于点B,若以A为顶点,,
且开口向下作抛物线,交直线AB于点D,交y轴负半轴于点G
(1)若厶ABC的面积为20,求此时抛物线的解析式
(2)若厶BDO勺面积为8,求此时抛物线的解析式
【答案】
1、已知二次函数y=x2 +bx+c 过点A (2,0 ), C (0, -8 )
(1)求此二次函数的解析式,
(2)在抛物线上存在一点p使厶ABP的面积为15,请直接写出p点的坐标。
解:
【第一问】
因为函数y=x2 +bx+c 过点A (2,0 ), C (0,-8 )
分别将x=2, y=0 代入y=x2 +bx+c, 得0=4+2b+c——将
x=0, y=-8 代入y=x2 +bx+c,得-8=c ---------------------------
将②代入①,解得: b=2 -------------------------------------
③
此时,将② ③代入y=x2 +bx+c,
所以:二次函数的解析式y=x 2 + 2x -8
【第二问】
1
△ ABP的面积=I AB| * | y p | -------------------------
因为A B两点在x轴上,令x2 + 2x -8=0
(x-2 ) ( x+4) =0
解得:x i=2, X2= -4
所以:| AB | = I X i- X 2 I = I 2- (- 4 ) I =6——⑤ 又厶ABP的面积= ⑥
1
由④⑤⑥,得:*6* I y p I =15
y p =5
故有:y p= ± 5
即:p点的纵坐标为5或-5.
把y=5 代入y=x 2 + 2x -8 ,即:5=x2 + 2x -8
x 2 + 2x -13=0
解得:x= -1 ±14
那么,此时p点坐标(-1 +屮4, 5), (-1-, 5)——⑦
把y=-5 代入y=x 2 + 2x -8 ,即:-5=x 2 + 2x -8
x 2 + 2x -3=0
(x-1)(x+3)=0
解得:x= 1或x= -3
那么,此时p点坐标(1,-5),(-3,-5)---------------------- ⑧
由⑦ ⑧得,使△ ABP的面积为15,p点坐标是:
(-1 +、/74,5),(-1-历4,5),(1, -5),(-3,-5)
2、在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=2x2 +mx+n经过点A (5,0 ),B
(2,-6 ).
(1)求抛物线的表达式及对称轴
(2)设点B关于原点的对称点为G写出过A、C两点直线的表达式。
解:
【第一问】
因为抛物线y=2x2 +mx+n 经过点A (5, 0 ), B (2, -6 ).
将x=5 , y=0 代入y=2x 2 +mx+n , 得
0=50+5m+n ----------------- ①
将x=2 , y= -6 代入y=2x 2 +mx+n , 得
-6=8+2m+n ------------------ ^②
此时,由①、②,得:m= -12, n=10
所以,抛物线的表达式:y=2x2 -12x+10
再将抛物线表达式进行变形:
y=2x2 -12x+10
y=2 (x2 -6x+9)-8
y=2(x-3)2 -8
所以,抛物线的对称轴是x=3
【第二问】
因为B点坐标为(2,-6),
C是B关于原点的对称点,所以,C点的坐标(-2,6)
设过A、C两点的直线方程为:y=kx+b
因为过A(5,0 ),C(-2,6),
将x=5,y=0 代入y=kx+b,得:0= 5k +b ------------ ③
将x=-2,y=6 代入y=kx+b,得:6= -2k+b ---------- ④
6 30
由③④解得:k= - 7,b= y
所以,过A C两点的直线表达式为:y= - 7 x+ 3、在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线的顶点C为(2, 4),并在x轴上截得的长度为6。
(1)写出抛物线与x轴交点A、B的坐标
(2)求该抛物线的表达式
(3)写出抛物线与y轴交点P的坐标
解:
【第一问】
因为抛物线的顶点C为(2,4),
所以,对称轴是:x=2
又因为抛物线在x轴上截得的长度为6,
那么,对称轴x=2将6平分,
也就是说,A、B两点关于x=2对称,且他们到x=2的距离是3所以,A的横坐标:2-3 = -1
B的横坐标:2+3 = 5
故,抛物线与x轴交点A B的坐标是(-1,0),(5,0)
【第二问】
因为抛物线的顶点C为(2,4),
那么,抛物线的表达式直接可设为:
y=a(x-2)2 +4【特别提示,这个非常重要,大大简化了计算】再将A (-1,0 )代入y=a(x-2)2 +4,得,0=a(-1-2)2 +4 4
解得:a= - 9
4
所以,抛物线的表达式为,y= - 9 (x-2)2 +4
【第二问】
4 4
令x=0,代入y= - 9(x-2 )2+4 ,得y= - 9 (0-2 )2+4
20
y= J
一20
所以,抛物线与y轴交点P的坐标(0,—)