2019年闽南师范大学考研试题 数分分析

L
x2 y2
，其中 L 为摆线 x t sin t,
y 1 cos t 上从 ( , 0) 到 ( , 0) 的一段弧。 （1） 证明该曲线积分与路径无关； （2） 计算该曲线积分。
六、 （15 分）计算 yzdydz (x2 z 2 )ydzdx xydxdy ， S 其中 S 是曲面 4 y x2 z2( y 0) 的外侧。
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（2） 证明数列b2n 单调递减；
（3） 证明数列bn 收敛，并求它的极限。

四、 （15 分）已知幂级数 nxn 。 n1
（1） 求幂级数的收敛半径，收敛域及和函数；
（2）
求级数 n2n 的和。 3n
n1
五、
（15 分）已知曲线积分
(x y)dx (x y)dy
且 f (0)
f (1) 0,
f

1 2

1，证明：在
(0,1)
内方程
f
(x)
1至少有一实根。
三、
（16 分）已知数列bn 满足： b1 1, b2 2,
bn+1
1
1 bn
n 1, 2, 。
（1）
证明： bn+2

2
1 1 bn
n 1, 2, ；
七、
（20
分）已知函数
f
(x,
y)

( x 2
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y2 ) sin
1 ， x2 y2 0
x2 y2
。

0， x 2

y2
0
（1） 证明 f (x, y) 在点 (0, 0) 连续；
（2） 求 fx (0, 0) 和 f y (0, 0) ；
（3） 证明 f (x, y) 在点 (0, 0) 可微。
（以下空白）
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a
x
0
x
（5）
已知 z

f

xy,

x y

且

f
具有二阶连续偏导数，求 2 z xy
；
（6） 计算二重积分 d ，其中 D 为由直线 y 2x, x 2y 及 x y 3 所围成的三 D 角形区域。
二、 （15 分）设函数 f (x) 在[0,1] 上连续，在 (0,1) 上可导，
一、 计算题（每小题 9 分，共 54 分）
（1）
求极限
lim
n

1 n2 1

2 n2
2


n2
n
n

；
1
（2） 求极限 lim x 1 x2 x ； x

（3） 求定积分 2 ex sin xdx ； 0
（4） 从等式 b exydy eax ebx 出发，计算积分 eax ebx dx (b a 0) ；
闽 南 师 范 大 学 2019 年硕士研究生入学考试试题
考试科目： 数学分析
注意事项： 1、本卷满分为 150 分，考试时间为 3 小时； 2、本卷属试题卷，另有答题纸，答案一律写在答题纸上，写在该试卷或草稿纸上均无效； 3、必须用蓝黑钢笔或签字笔答题，其他均无效。
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