第九章杆件的变形及刚度计算

梁的转角方程和挠曲线方程分别为
EIw Flx Fx2 2
EIw Flx2 Fx3 26
第九章 杆件的变形及刚度计算
y
F
A
l
Bx
wmax
max
max 和 wmax都发生在自由端截面处
max
|xl
Fl 2
EI
Fl 2 2EI
Fl 2 （ 2EI
）
wmax
w
|xl
Pl 3 3EI
（
）
第九章 杆件的变形及刚度计算
第九章 杆件的变形及刚度计算
§9-1 基本概念及工程实例 §9-2 杆件的刚度计算准则 §9-3 用积分法求弯曲变形 §9-4 用叠加法求弯曲变形 §9-5 简单的静不定问题 §9-6 提高弯曲刚度的措施
第九章 杆件的变形及刚度计算
§9-1 基本概念及工程实例
一、工程实例
l l FN (x) dx 0 EA
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刚度设计准则
对于受扭圆轴
[ ] , = /l []
M xl
GI p M x 180 [ ]
GI
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刚度设计准则
对于梁
w [w], [ ]
第九章 杆件的变形及刚度计算
§9-3 用积分法求弯曲变形
挠曲线方程为
w f (x)
式中,x 为梁变形前轴线上任一点的横坐标,w 为该点的挠度. w
A
C
B
x
挠曲线
C'
w挠度（
B 转角
第九章 杆件的变形及刚度计算
4.挠度与转角的关系
tan w ' w '(x)
w
A
挠曲线
C C'
转角
B
x
w挠度
B
第九章 杆件的变形及刚度计算
5.挠度和转角符号的规定
一、基本概念
1.挠度
横截面形心 C （即轴线上的点）在垂直于 x 轴方向的线位移, 称为该截面的挠度.用w表示.
w
A
C
B
x
w挠度
C'
B'
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2.转角
横截面对其原来位置的角位移,称为该截面的转角. 用 表示
w
A
C
B
x
C'
w挠度（
B 转角
第九章 杆件的变形及刚度计算
3.挠曲线 —— 梁变形后的轴线称为挠曲线 .
M ( x) ql x q x2 22
EIw ql x q x2 22
EIw ql x2 q x3 C 46
EIw ql x3 q x4 Cx D 12 24
第九章 杆件的变形及刚度计算 边界条件x=0 和 x=l时, w 0
q
wmax
梁的转角方程和挠曲线方程 A 分别为
q (6lx2 4x3 l 3 )
挠度向上为正,向下为负.
转角自x 转至切线方向,逆时针转为正,顺时针转为负.
w
A
C
B
x
挠曲线
w挠度 C'
B 转角
第九章 杆件的变形及刚度计算
二、推导公式
1.纯弯曲时曲率与弯矩的关系
1M
EI
横力弯曲时, M 和 都是x的函数.略去剪力对梁的位移的影
响, 则
1 M(x)
( x) EI
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24EI w qx (2lx2 x3 l 3 )
24EI
A
x
FRA
B
B
l
FRB
最大转角和最大挠度分别为
在 x=0 和 x=l 处转角的绝对值相等且都是最大值，
max
A
B
ql 3 24EI
在梁跨中点处有最大挠度值
wmax
w
x l 2
5ql4 384EI
第九章 杆件的变形及刚度计算
例题3 图示一抗弯刚度为EI的简支梁, 在D点处受一集中力F的作 用.试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并求其最大挠度和最大转 角.
第九章 杆件的变形及刚度计算
例题2 图示一抗弯刚度为 EI 的简支梁,在全梁上受集度为q 的
均布荷载作用.试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其 max
和 wmax
q
A
B
l
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q
解:由对称性可知,梁的两
个支反力为
A
B
FRA
FRB
ql 2
x
l
FRA
FRB
此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为
O M 0 w 0
x
第九章 杆件的变形及刚度计算
w
(1
w2
3
)
2
M(x) EI
w2与 1 相比十分微小而可以忽略不计,故上式可近似为
w" M(x)
(6.5)
EI
此式称为 梁的挠曲线近似微分方程
近似原因 : （1） 略去了剪力的影响; （2） 略去了 w2项;
（3） tan w w( x)
2.由数学得到平面曲线的曲率
1
(x)
(1
| w |
w2
3
)
2
(1
|
w | w2 )
3
2
M(x) EI
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在规定的坐标系中,x 轴水平向右 w
M
M
为正, w轴竖直向上为正.
x
O
曲线向下凸时: w 0 M 0
M 0
曲线向上凸时: w 0 M 0 w
w 0
M
M
因此, w与 M 的正负号相同
第九章 杆件的变形及刚度计算
但在另外一些情况下,有时却要求构件具有较大的弹性变 形,以满足特定的工作需要.
例如,车辆上的板弹簧,要求有足够大的变形,以缓解车辆受 到的冲击和振动作用.
F
F
2
2
F
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§9-2 杆件的刚度设计准则
刚度设计准则
对于拉压杆
FPFP
u
u [u]
l
FNl EA
第九章 杆件的变形及刚度计算 三、微分方程的积分
w M ( x) EI
若为等截面直梁, 其抗弯刚度EI为一常量上式可改写成
EIw M( x)
1.积分一次得转角方程
EIw M( x)dx C1
2.再积分一次,得挠度方程
EIw M( x)dxdx C1x C2
第九章 杆件的变形及刚度计算
四、积分常数的确定
1.边界条件 2.连续条件
A
在简支梁中, 左右两铰支座处的
挠度 wA 和 wB 都等于0.
wA 0
在悬臂梁中,固定端处的挠度 wA
和转角 A 都应等于0.
A
wA 0
A 0
B
wB 0
B
第九章 杆件的变形及刚度计算
例题1 图示一抗弯刚度为 EI 的悬臂梁, 在自由端受一集中力 F
作用.试求梁的挠曲线方程和转角方程, 并确定其最大挠度 wmax
和最大转角 max
F w
A
Bx
l
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解： （1） 弯矩方程为
w A
M( x) F (l x) (1)
（2） 挠曲线的近似微分方程为
x
l
EIw M( x) Fl Fx (2)
对挠曲线近似微分方程进行积分
EIw
Flx
Fx 2 2
C1
(3)
EIw
Flx 2 2
Fx 3 6
C 1x
C2
(4)
F
Bx
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EIw
Flx
Fx 2 2
C1
(3)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
EIw
Flx 2 2
Fx 3 6
C 1x
C
2
(4)
边界条件 x 0, w 0
x 0, w 0
将边界条件代入（3）（4）两式中,可得 C1 0 C2 0