初高中数学衔接知识数与式

p2 q3 .
2020年10月15日星期四
三、根式 式子 a (a 0) 叫做二次根式，性质：
(1) ( a )2 a(a 0), (2) a2 | a |, (3) ab a b(a 0, b 0), (4) b b (a 0, b 0).
aa
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三、根式
四、分式
解
: 原式
(x
x2 3x 3)( x2
9 3x
【例1】计算 ( x2 2 x 1 )2 3
解 : 原式 [ x2 ( 2x) 1]2
3
( x2 )2 ( 2x)2 (1)2 2x2( 2)x 2x2 1 2 1 ( 2x)
3
33
x4 2 2x3 8 x2 2 2 x 1 .
3
39
多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列
(4) ( x2 2xy y2 )( x2 xy y2 )2
解 : 原式= ( x y)2( x2 xy y2 )2 [( x y)( x2 xy y2 )]2 ( x3 y3 )2 x6 2x3 y3 y6 .
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一、乘法公式
【例3】计算： 已知x 2
21
11
15
(2a 3b2 )(6a 2b3 ) (3a 6b6 ),
(2)
(
p
1 4
q
3 8
)8
.
解 : (1)
(2a
21
b3 2
)(6a
11
b2 3
)
(3a
15
b6 6
)
4a
2 3
b 1
2
1 6
1 2
1 3
5 6
4ab0 4a,
(2)
(
p
1 4
q
3 8
)8
(
p
1 4
)8
(q
3 8
)8
p2q3
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一、乘法公式 【公式5】立方和公式 (a b)(a2 ab b2 ) a3 b3 请同学们证明 【公式6】立方差公式 (a b)(a2 ab b2 ) a3 b3
【例2】计算：
(1) (4 m)(16 4m m2 )
解 : 原式 43 m3 64 m3 .
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二、指数式
【例4】求下列各式的值：8
2 3
,
100
1 2
,
(
16
)
3 4
.
81
解
:
8
2 3
(
23
)
2 3
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23
2 3
22
4,
100
1 2
1
1
100 2
1
(102
)
1 2
1, 10
(
16
)
3 4
81
(
24 34
)
3 4
23 33
33 23
27 . 8
【例5】计算下列各式
(1)
解 : (1)原式= 3(2 3) (2 3)(2
3)
3(2 3) 22 3
6 3
3,
(2)原式= a b
a2b ab2 .
ab
ab
(3)原式=2 2x x x2 2 22 x 22
2x x x 2 2x 3 2x x x.
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四、分式
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3x
1
0, 求x3
1 x3
的值.
解 : x2 3x 1 0
1
x0 x 3
x
原式= ( x
1 )( x2 x
1
1 x2
)
( x 1 )[( x 1 )2 3] 3(32 3) 18.
x
x
请证明: a3 b3 c3 3abc (a b c)(a2 b2 c2 ab bc ca)
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二、指数式
当n N时, an a a a .
n个a
当n Q时,(1)零指数a0 1(a 0),
( 2)负指数a n
1 an
(a
0),
n
(3)分数指数 a m m an (a 0, m, n为正指数).
幂的运算法则(1)am an amn , (2)(am )n amn , (3)(ab)n anbn(a, b 0, m, n Z )
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一、乘法公式
【公式1】平方差公式 a2 b2 (a b)(a b) 【公式2】完全平方公式 (a b)2 a2 2ab b2 【公式3】完全立方公式 (a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3
【公式4】完全平方公式 (a b c)2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca 请同学们证明
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在初中，我们已学习了实数，知道字母可以表示数，用代 数式也可以表示数，我们把实数和代数式简称为数与式．代数 式中有整式（多项式、单项式）、分式、根式．它们具有实数 的属性，可以进行运算．在多项式的乘法运算中，我们学习了 乘法公式（平方差公式与完全平方公式），并且知道乘法公式 可以使多项式的运算简便．由于在高中学习中还会遇到更复杂 的多项式乘法运算，因此本节中将拓展乘法公式的内容，补充 三个数和的完全平方公式、立方和、立方差公式．在根式的运 算中，我们已学过被开方数是实数的根式运算，而在高中数学 学习中，经常会接触到被开方数是字母的情形，但在初中却没 有涉及，因此本节中要补充．基于同样的原因，还要补充“繁 分式”等有关内容．
证明: a3 b3 c3 (a b)(a2 ab b2 ) c3 =(a b)[(a b)2 3ab] c3 =(a b)3 3ab(a b) c3 (a b c)[(a b)2 c(a b) c2 3ab] (a b c)(a2 b2 c2 ab bc ca).
(2) ( 1 m 1 n)( 1 m2 1 mn 1 n2 )
5 2 25 10
4
解
:
原式= (1
m)3
1 (
n)3
1
m3 1 n3.
5
2
125
8
(3) (a 2)(a 2)(a4 4a2 16)
在进行代数式 运算时，要观察代 数式的结构是否满 足乘法公式的结 构．
解 : 原式= (a2 4)(a4 4a2 42 ) (a2 )3 43 a6 64.
解 : (1)原式= | 3 2 | | 3 1 | 2 3 3 1 1,
(2)原式=
|
x
1
|
|
x
2
|
( (
x x
1) 1)
( (
x x
2) 2)
2 1
x3 (1 x
(x 2)
2)
.
化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论．
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三、根式