第二章 数学基础PPT课件

(2.14) (2.15)
▪13
第二章 数学基础
齐次坐标
空间某点P的直角坐标和齐次坐标
x
p
y
z
x wx
p
y
wy
z wz
1
w
规定：p[x y z 0]T 代表方向
p[0 0 0 0]T 没有意义
p[0 0 0 1]T 代表原点
第二章 数学基础
▪14
齐次变换 矩阵
1 0 0
BP
B
P
y
BPx 0BPy 1BPz 0
B P z
0 0 1
r11
r12
r13
APBPx r21BPy r22BPz r23
r31
r32
r33
r11 r21
r12 r22
r13 r23
BBPPLeabharlann Baiduy
BARBP
r31 r32 r33BPz
( 2 .1 1)
图 2.4旋 转 变 换
已知{B}系相对于{A}系的变换矩阵，即 ABT 的值已知。如何
得到{A}系相对于{B}系的齐次变换
TB
A
。
BAR 0
AP1BO AB0R
BP1AO I
BARABRI B ARBPAO APBO 0
ABT1BATBA0RT
BARTAPBO
1
BPAOB ARTAPBO
第二章 数学基础
▪21
例3
几种基本的旋转矩阵
c 0 s
R(y,
)
0
1
0
(2 .7 )
s 0 c
z
W'
w
o
O'
u
x
U'
vy
第二章 数学基础
▪6
2.1 位置和姿态的表示
几种基本的旋转矩阵
c s 0 R(z,) s c 0 ( 2 .8 )
0 0 1
yA yB
xB xA
第二章 数学基础
▪7
例1
{B}系相对于{A}系绕Z轴旋转30度。
齐次变换矩阵的物理解释：
1.齐次变换矩阵描述了坐标系{B} 相对于{A}系的位置和方位；
A B
R
APBO
0
1
2.齐次变换矩阵的第四列描述了{B} 系的原点在{A}系中的位置。
齐次变换矩阵也代表旋转变换和平移变换的复合
B AR 0
A1 PBI0 33
APBB AR 0 10 1
▪15
第二章 数学基础
例子：
齐次变换矩阵如下：
第二章 数学基础
▪16
典型的齐次坐标变换 矩阵
1 0 0 a Trans(a,b,c) 0 1 0 b
0 0 1 c 0 0 0 1
1 0 0 0
Rot(x,) 0 c s 0 0 s c 0
0 0 0 1
c 0 s 0
Rot(y,)
0
1 0 0
s 0 c 0
第二章 数学基础
2.1 位置和姿态的表示 位置描述
px
A
p
p
y
p z
(2 .1)
图 2.1位 置 表 示
描述一个矢量时，需要注明这个矢量是相对哪一个参考描述的。 AP表示矢量P在参考系A中的描述。
机器人学导论
▪1
方位描述
BAR AxB
AyB
r11 r12 r13
AzB r21 r22 r23
AyB
AzB I3
AzBT
R R A T A 1
B
B
即，旋转矩阵的转置等于它的逆。
机器人学导论
▪4
2.1 位置和姿态的表示
几种基本的旋转矩阵
1 0 0
R(x,) 0 c s ( 2 .6 ) 0 s c
W'
U'
u x
z w
O'
o
图 2-5
V'
vy
▪5
第二章 数学基础
2.1 位置和姿态的表示
已知BP=[0, 2, 0]T, 求AP。
yB
yA
c s 0 R(z,) s c 0
0 0 1
0.866 0.5 0
R A
B
0.5
0.866 0
0
0 1
1 APBARBP 1.732
0
xB xA
第二章 数学基础
▪8
坐标系的描述
相对参考系，坐标系的原点位置和坐标轴 的方位，分别由位置矢量和旋转矩阵描述。 这样，刚体的位姿可由坐标系来描述，即 有
{ B }B A RA p Bo
(2.9 )
▪9
第二章 数学基础
2.2 坐标变换
平移坐标变换
ApBpApBo
(2.10)
图 2.3平 移 变 换
▪10
第二章 数学基础
旋转坐标变换
r11 r12 r13
BAR
x A B
y A B
Z A B
r21
r22
r23
r31 r32 r33
B Px
0
0 0 1
c s 0 0
Rot(z,) s c 0 0
0 0 1 0
0
0 0 1
第二章 数学基础
▪17
例2
{B}系相对于{A}系绕Z轴旋转30度,沿XA平移10个单位， 再沿YA平移5个单位。求齐次变换矩阵；
第二章 数学基础
▪18
2.4 物体的变换及逆变换
复合变换
B pCBTCp
r31 r32 r33
代表坐标系{B}的三个主轴单位矢量相对坐标系{A}的描述。
称这个矩阵为旋转矩阵。
RA
B
表示系{B}到系{A}的变换。
▪2
机器人学导论
旋转矩阵的意义
BAR AxB
AyB
r11 r12 r13
AzB r21 r22 r23
r31 r32 r33
xB xA xB yA
xB zA
yB xA yB yA yB zA
zB xA zB yA zB zA
标量rij可用{B}系三个主轴单位矢量在{A}系主轴方向上的投影 的分量来表示。于是可以写成上面的形式。 两个单位矢量的点积可得到两个矢量夹角的余弦，因此R矩阵 也称为方向余弦阵。
机器人学导论
▪3
旋转矩阵的性质
BARTBARA AxyB BTT AxB
{B}系相对于{A}系绕Z轴旋转30度,沿XA平移4个单位， 再沿YA平移3个单位。求齐次变换矩阵及其逆变换
第二章 数学基础
▪22
2.5 变换方程
变换方程初步
要规定各种坐标系来描述机器人与环境的相 对位姿关系。
位姿关系可用相应的齐次变换来描述，机器 人控制和规划的目标与其他变换之间的关系可用空 间尺寸链（有向变换图）来表示。
▪11
第二章 数学基础
复合变换
实际上，复合变换可以理解为{B}系的原点处有一个与 {A}系只有平移关系的{C}系。
{B} —> {C} —> {A}
ApB ARBpApBo
▪12
第二章 数学基础
2.3 齐次坐标变换
齐次变换
ApB ARBpApBo
A1PBA0R AP 1BOB1P
矩阵形式：
A pABTBp
{C} CP
ApA BTBpA BTC BTCp
{B}
CATABTCBT
{A}
▪19
第二章 数学基础
复合变换
CATABTCBT
C ATA BTC B TB A 0 R
AP BO C BR 10
BP CO 1
BAR0CBR
BARBPCOAPBO
1
{A}
{B}
{C} CP
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▪20
齐次变换的逆变换