高等数学练习题(附答案)

《高等数学》

专业 ____________ 年级 ____________ 学号_________ 姓名 ___________

一、判断题.将“或＞填入相应的括号内•(每题2分，共20分) ()1•收敛的数列必有界•

()2.无穷大量与有界量之积是无穷大量•

()3•闭区间上的间断函数必无界•

()4.单调函数的导函数也是单调函数•

()5.若f (x)在X。点可导，则f(X )也在X。点可导•

()6•若连续函数y f (x)在x0点不可导，则曲线y f (x)在(x0, f (x0))点没有切

线•

()7.若f (x)在［a,b］上可积，则f (x)在［a,b］上连续•

()8.若z f (x, y)在(x0, y0)处的两个一阶偏导数存在，则函数z f (x, y)在

(X o,y。)处可微.

()9.微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解

( )10.设偶函数f(x)在区间(1,1 )内具有二阶导数，且 f (0) f (0) 1,则

f (0)为f (x)的一个极小值.

二、填空题•(每题2分，共20分)

2

1. 设f(x 1) X ,贝y f (x 1) _______ •

1

2X 1

2. 若f(x) 1 ，贝U lim ______________ .

x 0

2X 1

3. 设单调可微函数f (x)的反函数为g(x) , f (1) 3, f (1) 2, f (3) 6则

g (3) --------------

x ,

4. 设u xy ,贝U du ________________

y

6. 设f(x)为可导函数，f(1) 1,F(x) f(-) f(x2),则F (1) ___________

x

f(

X) 2 2

7. 若t dt x (1 x),则f (2)

8. f (x) x 2 x在［0,4］上的最大值为___________________ .

9.广义积分0 e2x dx -----------------------------

三、计算题（每题5分，共40 分）

4.计算定积分•. sin3x sin5xdx.

5.求函数f (x, y) x3 4x2 2xy y2的极值.

6. 设平面区域D是由y x, y

sin y

x围成，计算dxdy .

1, xy 2,y

D y 匚

7. 计算由曲线xy x, y 、3x围成的平面图形在第一象限的面积

8. 求微分方程y 2x厶…” y 的

通解

y

四、证明题（每题10分，共20 分）

1.证明：arc tanx

x

(). 2

10.设D为圆形区域x y21, y .1 x5dxdy

D

1. 计算lim(A

n n2

1

(n 1)2

).

2 3

2. 求y (x 1)(x 2) (x 3)

10

（x 10）在（0, + ）内的导数

3.求不定积分一dx.

x)

1

2.设f(x)在闭区间［a,b ］上连续，且f(x) 0,

证明：方程F(x)

x F(x) 0 f (t)dt

0在区间(a,b)内有且仅有

x

dt

b

f(t)

个实根

《高等数学》参考答案

、判断题. 1.V ； 2.x 将"或X 填入相应的括号内(每题

;3.X ； 4.X ;5. x ； 6. x ； 7. X ; 2分，共20分)

8.x ； 9";

(每题2分, 共 20 分) 1. x 2

4x 2. 1； 3. 1/2; 4.(y

1/ y)dx

(x

x/ y 2

)dy ； 5. 2/3 ; 6. 1 ； 7. 3 36 ; 8. 9. 1/2

10. 0.

三、计算题(每题 1.解：因为

5分，共40分) 丄

~2 n n 1

2

(2n)

1

(n

1)2 1 2

(2n)

由迫敛性定理知:

In

2.解：先求对数 1 y y y (x

1

(2n)2

丄 n 2 lim n n

lim (

n

ln(x 1 1

lim

n

1)

(x 1

(n 1)2

1) 2ln(x 2 2

10)(

3

.解:原式=2 J" x"x

=2 --------------- d x

1 ( x)2

—)=0

(2n)2 2)

10l n(x

10 10

10)

10 x 10)

4•解: 5•解:

=2 arcs in、x c

原式=0 sin 3xco s2xdx

3

2cosxsin2xdx

3

2 sin 2 xd sin x

2

=_[sin

5

5

2x]2

=4/5

(0,

3x2

3

cosxsin2xdx

2

3

sin2xdsinx

2

5[sin

8x 2y

(8) ( 2)

0)为极大值点

；时f"2)

4 ( 2)

6•解:D= (x,y) 0 y i,y

sin y dxdy 1

dy

0 7

2x

sin

y

2 y

22

D

x]_

2

y 2x

8 , f yy(0,0)

2y

f xy(0,0) 2 220 且A= 8

f(0,0) 0

f yy(2,2)

无法判断

f xy(2,2) 2

y dx =

y

0晳心

0 y dy