特征值与特征向量
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各不相等x,1则p1 p1x, 2pp22, , pm线xm性pm无关0..
则 Ax1 p1 x2 p2 xm pm 0, 即
1 x1 p1 2 x2 p2 m xm pm 0,
类推之，有
k x p 1 11
k x p 222
k x m
m
pm
0.
k 1,2,,m 1
把上列各式合写成矩阵形式，得
得基础解系为：
0 p2 1 ,
1
1 p3 0,
4
所以对应于2 3 2的全部特征向量为:
k2 p2 k3 p3 (k2 , k3 不 同 时 为 0).
例４ 证明：若 是矩阵A的特征值，x是A的属于 的特征向量，则
(1) m是Am的特征值m是任意常数 (.2) 当A可逆时,1是A1的特征值.
为
p
2
1. 1
1
例２
求矩阵A
4
1 3
0 0的特征值和特征向量
1 0 .2
解 A的特征多项式为
1 1 0
A E 4 3 0 (2 )(1 )2 ,
1
0 2
所以A的特征值为1 2,2 3 1.
当1 2时,解方程( A 2E)x 0.由
3 A 2E 4
1 1
3 2 1 x1 0, 1 3 2 x2 0
即
x1 x2 0, x1 x2 0.
解得 x1 x2, 所以对应的特征向量可取
为
当2 4时,由
1
p1
. 1
3 Fra Baidu bibliotek4
1
x1
0,
即
1
1
x1
0 ,
1 3 4 x2 0 1 1 x2 0
解得 x1 x2 ,所以对应的特征向量可取
令 (A) B 2A1 3A2E , 则 () 2 32,
从而可得 B 的特征值为
(1) 1, (1) 3, (2) 3.
| B | (1)(1) (2)
9.
二、特征值和特征向量的性质
定理1 设1,2 ,,m是方阵A的m个特征值, p1, p2
,
, pm依次是与之对应的特征向量.如果1 ,2 ,证明,m 设有常数 x1, x2 ,, xm 使
一、特征值与特征向量的概念
定义1 设A是n阶矩阵,如果数和n维非零列向量
x 使关系式
Ax x 成立,那末, 这样的数称为方阵A的特征值, 非零 向 量x称为A的对应于特征值的特征向量.
说明 1. 特征向量x 0, 特征值问题是对方阵而言的.
2. n阶方阵A的特征值,就是使齐次线性方程 组
A E x 0 有非零解的 值 , 即满足方程A E
所以向量组 p , p ,, p 线性无关.
注意
１. 属于不同特征值的特征向量是线性无关 的．
２. 属于同一特征值的特征向量的非零线性 组合仍是属于这个特征值的特征向量．
３. 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征 值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一； 一个特征向量不能属于不同的特征值．
因为, 如果设x同时是A的属于特征值1 ,2
证明 1 Ax x
AAx Ax Ax x A2 x 2x
再继续施行上述步骤 m 2次，就得 Am x mx 故m 是矩阵Am的特征值,且 x 是 Am 对应于m的
特 征向量.
2当A可逆时, 0,
由Ax x可得
A1Ax A1x A1x
A1 x 1x 故1是 矩 阵 A1的 特 征 值 , 且x是A 1对 应 于 1
1 AE 0
1 3
1 1
0
~
0
0 1
1 0 ,
4 1 4
0 0
0
得基础解系
1 p1 0, 1
故对应于1 1的全体特征向量为
k p1
(k 0).
当2 3 2时,解方程A 2E x 0.由
4 A 2E 0
1 0
1 0
~
4 0
1 0
1 0,
4 1 1 0 0 0
的特征向量.
例 13 设三阶矩阵 A 的特征值为 1, 1, 2 ,
设矩阵 B A*3A2E , 试求:
(1) B 的特征值; (2) | B |.
解 因 A 的特征值全不为 0，所以 A 可逆， 故 A = | A | A-1 . 而 | A | = 123 = -2，所以
B A*3A2E 2A1 3A2E .
所以k p2 (k 0)是对应于 2 3 1的全部特征值.
例３
设A
2 0
1 2
1 0,求A的特征值与特征向量．
4 1 3
解
2 1 1
A E 0 2 0
4 1 3
( 1) 22 , 令 ( 1) 22 0
得A的特征值为1 1,2 3 2.
当1 1时,解方程A E x 0.由
1 的2 的特征向量,即
有
Ax 1x, Ax 2x
1 x 2 x
0的都是矩阵A的特征值.
3. A E 0
a11
a12
a21
a22
a1n
a2n
0
an1
an2 ann
称以为未知数的一元 n次方程 A E 0
为A的特征方程.
记 f A E ,它是的n次多项式, 称
为方阵A的 特征多项式 其
.
4. 设 n阶方阵A a 的特征值为 , ,,
ij
12
n ,则有
(1) 1 2 n a11 a22 ann;
(2) 12 n A.
例1
求A
.
3 1
31的特征值和特征向量
解 A的特征多项式为
3 1 (3 )2 1 1 3
8 6 2 (4 )(2 )
所以A的特征值为1 2, 2 4.
当1 2时,对应的特征向量应满足
0 0
~
1 0
0 1
0 0,
1
0
0
0
0
0
0
得基础解系
p1 0,
所以k p1(k 0)是对应于1 12的全部特征值.
当2 3 1时,解方程( A E)x 0.由
2 A E 4
1 2
0 0
~
1 0
0 1
1 2,
1 0 1 0 0 0
得基础解系
1 p2 2, 1
1
x1 p1, x2 p2 ,, xm pm 1
1
1
2
m
m1 1
m1 2
0,0,,0
m1 m
上式等号左端第二个矩阵的行列式为范德蒙行
列
式,当各i不相等时,该行列式不等于0,从而该矩
阵 可逆.于是有 x1 p1 , x2 p2 , , xm pm 0,0, ,0, 即xj pj 0j 1,2,,m.但 pj 0,故 xj 0j 1,2,,m.
则 Ax1 p1 x2 p2 xm pm 0, 即
1 x1 p1 2 x2 p2 m xm pm 0,
类推之，有
k x p 1 11
k x p 222
k x m
m
pm
0.
k 1,2,,m 1
把上列各式合写成矩阵形式，得
得基础解系为：
0 p2 1 ,
1
1 p3 0,
4
所以对应于2 3 2的全部特征向量为:
k2 p2 k3 p3 (k2 , k3 不 同 时 为 0).
例４ 证明：若 是矩阵A的特征值，x是A的属于 的特征向量，则
(1) m是Am的特征值m是任意常数 (.2) 当A可逆时,1是A1的特征值.
为
p
2
1. 1
1
例２
求矩阵A
4
1 3
0 0的特征值和特征向量
1 0 .2
解 A的特征多项式为
1 1 0
A E 4 3 0 (2 )(1 )2 ,
1
0 2
所以A的特征值为1 2,2 3 1.
当1 2时,解方程( A 2E)x 0.由
3 A 2E 4
1 1
3 2 1 x1 0, 1 3 2 x2 0
即
x1 x2 0, x1 x2 0.
解得 x1 x2, 所以对应的特征向量可取
为
当2 4时,由
1
p1
. 1
3 Fra Baidu bibliotek4
1
x1
0,
即
1
1
x1
0 ,
1 3 4 x2 0 1 1 x2 0
解得 x1 x2 ,所以对应的特征向量可取
令 (A) B 2A1 3A2E , 则 () 2 32,
从而可得 B 的特征值为
(1) 1, (1) 3, (2) 3.
| B | (1)(1) (2)
9.
二、特征值和特征向量的性质
定理1 设1,2 ,,m是方阵A的m个特征值, p1, p2
,
, pm依次是与之对应的特征向量.如果1 ,2 ,证明,m 设有常数 x1, x2 ,, xm 使
一、特征值与特征向量的概念
定义1 设A是n阶矩阵,如果数和n维非零列向量
x 使关系式
Ax x 成立,那末, 这样的数称为方阵A的特征值, 非零 向 量x称为A的对应于特征值的特征向量.
说明 1. 特征向量x 0, 特征值问题是对方阵而言的.
2. n阶方阵A的特征值,就是使齐次线性方程 组
A E x 0 有非零解的 值 , 即满足方程A E
所以向量组 p , p ,, p 线性无关.
注意
１. 属于不同特征值的特征向量是线性无关 的．
２. 属于同一特征值的特征向量的非零线性 组合仍是属于这个特征值的特征向量．
３. 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征 值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一； 一个特征向量不能属于不同的特征值．
因为, 如果设x同时是A的属于特征值1 ,2
证明 1 Ax x
AAx Ax Ax x A2 x 2x
再继续施行上述步骤 m 2次，就得 Am x mx 故m 是矩阵Am的特征值,且 x 是 Am 对应于m的
特 征向量.
2当A可逆时, 0,
由Ax x可得
A1Ax A1x A1x
A1 x 1x 故1是 矩 阵 A1的 特 征 值 , 且x是A 1对 应 于 1
1 AE 0
1 3
1 1
0
~
0
0 1
1 0 ,
4 1 4
0 0
0
得基础解系
1 p1 0, 1
故对应于1 1的全体特征向量为
k p1
(k 0).
当2 3 2时,解方程A 2E x 0.由
4 A 2E 0
1 0
1 0
~
4 0
1 0
1 0,
4 1 1 0 0 0
的特征向量.
例 13 设三阶矩阵 A 的特征值为 1, 1, 2 ,
设矩阵 B A*3A2E , 试求:
(1) B 的特征值; (2) | B |.
解 因 A 的特征值全不为 0，所以 A 可逆， 故 A = | A | A-1 . 而 | A | = 123 = -2，所以
B A*3A2E 2A1 3A2E .
所以k p2 (k 0)是对应于 2 3 1的全部特征值.
例３
设A
2 0
1 2
1 0,求A的特征值与特征向量．
4 1 3
解
2 1 1
A E 0 2 0
4 1 3
( 1) 22 , 令 ( 1) 22 0
得A的特征值为1 1,2 3 2.
当1 1时,解方程A E x 0.由
1 的2 的特征向量,即
有
Ax 1x, Ax 2x
1 x 2 x
0的都是矩阵A的特征值.
3. A E 0
a11
a12
a21
a22
a1n
a2n
0
an1
an2 ann
称以为未知数的一元 n次方程 A E 0
为A的特征方程.
记 f A E ,它是的n次多项式, 称
为方阵A的 特征多项式 其
.
4. 设 n阶方阵A a 的特征值为 , ,,
ij
12
n ,则有
(1) 1 2 n a11 a22 ann;
(2) 12 n A.
例1
求A
.
3 1
31的特征值和特征向量
解 A的特征多项式为
3 1 (3 )2 1 1 3
8 6 2 (4 )(2 )
所以A的特征值为1 2, 2 4.
当1 2时,对应的特征向量应满足
0 0
~
1 0
0 1
0 0,
1
0
0
0
0
0
0
得基础解系
p1 0,
所以k p1(k 0)是对应于1 12的全部特征值.
当2 3 1时,解方程( A E)x 0.由
2 A E 4
1 2
0 0
~
1 0
0 1
1 2,
1 0 1 0 0 0
得基础解系
1 p2 2, 1
1
x1 p1, x2 p2 ,, xm pm 1
1
1
2
m
m1 1
m1 2
0,0,,0
m1 m
上式等号左端第二个矩阵的行列式为范德蒙行
列
式,当各i不相等时,该行列式不等于0,从而该矩
阵 可逆.于是有 x1 p1 , x2 p2 , , xm pm 0,0, ,0, 即xj pj 0j 1,2,,m.但 pj 0,故 xj 0j 1,2,,m.