【精准解析】辽宁省沈阳市东北育才学校2020届高三第六次模拟考试数学(理)试题
2020年辽宁省沈阳市东北育才中学高三第六次模拟考试理科综合试题-含答案
2020年辽宁省沈阳市东北育才中学高三第六次模拟考试理科综合试题（考试时间：150分钟试卷满分：300分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，将答案直接在线上点击选项即可。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上相应位置，整张答题纸完整拍照上传即可。
4．考试结束后，将答案上传结束，点击提交。
可能用到的原子量:H1 B11 C12 N14 O16 Na23 Ga70第Ⅰ卷1.蛋白质和核酸是生物体内普遍存在的大分子物质，下列有关蛋白质和核酸结构和功能的说法正确的是（）A.有些蛋白质具有信息传递功能，比如生长素和性激素B.线粒体内膜的蛋白质种类和含量多于线粒体外膜C.人体细胞内的DNA和RNA都是储存遗传信息的物质D.原核细胞没有染色体，但是有DNA和蛋白质共同组成的染色质2.下列关于生物学实验的叙述，正确的是（）A.用光学显微镜观察染色后的洋葱鳞片叶内表皮细胞，可以观察到染色体B.观察DNA和RNA在细胞中的分布实验中，使用盐酸的作用是将细胞分离C.探究酵母菌细胞呼吸方式的实验中，两个实验组的结果都是事先未知的D.纸层析法分离叶绿体中的色素时，要用毛细吸管吸取滤液在滤纸条上连续重复画线3.科研人员研究发现,肿瘤细胞能释放一种叫“微泡”的泡状结构,这些“微泡”在离开肿瘤组织时携带一种特殊的“癌症蛋白”。
当“微泡”与血管上皮细胞融合时,它所携带的“癌症蛋白”就会触发促进新血管异常形成的机制,使这些新生血管向着肿瘤方向生长。
下列与此相关的叙述中不合理的是（）A．“癌症蛋白”的形成需要内质网以及高尔基体进行加工B．“癌症蛋白”的作用影响了血管上皮细胞基因的选择性表达C．“微泡”和血管上皮细胞能够融合,与细胞膜的流动性有关D．新生血管向着肿瘤方向生长后,上皮细胞的细胞周期会延长4.小麦高产与低产是由两对同源染色体上的两对等位基因（A1和a1、A2和a2）控制，且含显性基因越多产量越高。
辽宁省沈阳市东北育才学校2020届高三第六次模拟数学文科试题及参考答案(9页)
辽宁省沈阳市东北育才学校2020届高三第六次模拟数学文科试题数学（文科）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{1,0,1,2,3}A =-，{}2|20B x x x =->，则A B ⋂=（ ） A ．{3} B ．{2,3} C ．{1,3}- D ．{0,1,2}2．若复数2()1a ia R i-∈+为纯虚数，则|3|ai -=（ ） AB ．13C ．10D3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若28515a a a +=-，则9S 等于（ ） A ．18B ．36C ．45D ．604．已知4cos 25πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，322ππθ<<，则sin2θ的值等于（ ） A ．1225 B ．1225- C ．2425 D ．2425- 5．若实数,x y 满足001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则2z y x =-的最小值为（ ）A ．2B ．2-C ．1D ．1-6．新中国成立以来，我国文化事业得到了充分发展，尤其是党的十八大以来，文化事业发展更加迅速，下图是从2014年到2019年六年间我国公共图书馆业机构数（个）与对应年份编号的散点图（为便于计算，将2014年编号为1，2015年编号为2，…，2019年编号为6，把每年的公共图书馆业机构个数作为因变量，把年份编号从1到6作为自变量进行回归分析），得到回归直线ˆ13.7433095.7yx =+，其相关系数0.9817r =，给出下列结论，其中正确的个数是（ ）①公共图书馆业机构数与年份的正相关性较强；②公共图书馆业机构数平均每年增加13.743个； ③可预测2020年公共图书馆业机构数约为3192个． A ．0B ．1C ．2D ．37．已知11ln 2x =，122x e -=，3x 满足方程ln xe x -=，则（ ）A ．123x x x <<B ．132x x x <<C ．213x x x <<D ．312x x x <<8．如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1B F ∥面1A BE ，则F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是（ ）A ．aB ．2aC D ．29．已知函数())0,22f x x ππωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭，1,03A ⎛⎫⎪⎝⎭为()f x 图象的对称中心，B ，C 是该图象上相邻的最高点和最低点，若4BC =，则()f x 的单调递增区间是（ ）A ．242,2,33k k k Z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭ B ．242,2,33k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭C ．244,4,33k k k Z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭D ．244,4,33k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭10．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，当[0,1]x ∈时，()f x x =．函数|1|()x g x e--=，(1,3)x ∈-，则()f x 与()g x 的图象所有交点的横坐标之和为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．611．一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一周岁生日开始，每年到银行储蓄a 元一年定期，若年利率为r 保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁生日时不再存入，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为（ ）A ．17(1)a r +B ．18(1)a r +C ．17(1)(1)a r r r ⎡⎤+-+⎣⎦ D ．18(1)(1)a r r r⎡⎤+-+⎣⎦ 12．已知函数244()ln ,[4,)x f x k x k k x -⎛⎫=++∈+∞ ⎪⎝⎭，曲线()y f x =上总存在两点()11,M x y ，()22,N x y ，使曲线()y f x =在M ，N 两点处的切线互相平行，则12x x +的取值范围为（ ）A ．8,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．16,5⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．8,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．16,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知向量(3,2)a =-r，(,1)b m =r ．若(2)a b b -r r r ∥，则m =________．14．已知数列{}n a 满足11a =，()*111,2n n a a a n N n -=+++∈≥L ，则{}n a 通项公式n a =________．15．如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西45°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ的值为_________．16．已知直三棱柱111ABC A B C -外接球的表面积为52π，1AB =，2AC =若ABC △外接圆的圆心在AC 上，则直三棱柱111ABC A B C -的体积为_________． 三、解答题：17．某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于65分到145分之间（满分150分），将统计结果按如下方式分成八组：第一组[65,75)，第二组[75,85)，…，第八组[135,145]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．（Ⅰ）求第七组的频率；（Ⅱ）用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值）；（Ⅲ）若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差的绝对值小于10分的概率．18．在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且22sin 30C C -++=． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若b =，ABC △的面积为sin 2A B ，求sin A 及c 的值．19．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，侧面PAB 是正三角形，2AB =，BC =，PC =E 、H 分别为PA 、AB 的中点．（Ⅰ）求证：PH AC ⊥；（Ⅱ）求点P 到平面DEH 的距离．20．已知点(1,0)M -，(1,0)N 若点(,)P x y 满足||||4PM PN +=． （Ⅰ）求点P 的轨迹方程；（Ⅱ）过点(Q 直线l 与（Ⅰ）中曲线相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求AOB △面积的最大值及此时直线l 的方程．21．已知函数2()ln f x x mx =-，21()2g x mx x =+，m R ∈，()()()F x f x g x =+． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间及极值；（Ⅱ）若关于x 的不等式()1F x mx -„恒成立，求整数m 的最小值． 请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为cos sin x y αααα⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（α为参数），坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 26πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（Ⅰ）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）直线l 与y 轴的交点为P ，经过点P 的动直线m 与曲线C 交于A 、B 两点，证明：||||PA PB ⋅为定值．23．选修4-5：不等式选讲已知函数()|1||2|()f x x x m m R =-++∈． （Ⅰ）若2m =时，解不等式()3f x „；（Ⅱ）若关于x 的不等式()|23|f x x -„在[0,1]x ∈上有解，求实数m 的取值范围．高三年级第六次模拟考试 数学（文科）试题参考答案CACCBD ADCADB13．32-14．12n - 15．17 16．617．解：（1）由频率分布直方图得第七组的频率为：1(0.0040.0120.0160.0300.0200.0060.004)100.08-++++++⨯=．（2）用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分为：700.00410800.01210900.016101000.030101100.020101200.00610130⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+0.008101400.00410102⨯⨯+⨯⨯=（3）样本成绩属于第六组的有0.00610503⨯⨯=人，样本成绩属于第八组的有0.00410502⨯⨯=人，从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，基本事件总数2510n C ==，他们的分差的绝对值小于10分包含的基本事件个数22324m C C =+=，∴他们的分差的绝对值小于10分的概率42105m p n ===．18．解：（1）22sin 30C C -++=Q ，可得：22(1cos )30C C --++=，22cos 10C C ∴++=，cos C ∴= 0C π<<Q ，34C π∴=．（2）2222222cos 325c a b ab C a a a =+-=+=Q ，c ∴=，sin C A ∴=，sinA C ∴==1sin sin 22ABC S ab C A B ==Q △，∴1sin sin 22ab C A B =，∴2sin ()sin sin sin sin a b c C C A B C⋅⋅==，1c ∴==．19．解：（1）证明：PAB Q 为正三角形，2AB =，2PB AB ∴==，BC =Q PC =222PC BC PB ∴=+∴BC PB ⊥，ABCD Q 为矩形，BC AB ∴⊥，又PB Q ，AB ⊂面PAB 且交于点B ， BC ∴⊥面PAB ，BC ⊂Q 面ABCD ，∴面PAB ⊥面ABCD ，H Q 为AB 的中点，PAB 为正三角形，PH AB ∴⊥，PH ∴⊥平面ABCD ，AC ⊂Q 平面ABCD ，PH AC ∴⊥．（Ⅱ）解：取CD 中点E ，以H 为原点，HA 为x 轴，HB 为y 轴，HP 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则(0P ，0，(1D ，2，0)，(1A ，0，0)，1(,0,)22E ，(0H ，0，0)， (1HD =u u u r ，2，0)，1(,0,22HE =u u u r ，(0HP =uuu r ，0，设平面DEH 的法向量(n x =r，y ，)z ，则20102n HD x y n HE x ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩u u u rr u u u r r ，取1y =，得(2n =-r ，1， ∴点P 到平面DEH的距离||||n HP d n ⋅==u u u r r r．20．解：（Ⅰ）由||||4PM PN +=且4||2MN >=，可得P 点的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆且24a =，1c =．因此椭圆的方程为22143x y +=．（Ⅱ）设直线l的方程为x ty =-与椭圆22143x y +=交于点11(,)A x y ，22(,)B x y ， 联立直线与椭圆的方程消去x可得22(34)30t y +--=，得12y y +=122334y y t -=+． AOB △面积可表示为1211||||22AOB S OQ y y =⋅-=△2216223434t t ===++u =，则1u ≥，上式可化为26633u u u u=++当且仅当u =t =时等号成立， 因此AOB △，此时直线l的方程为x y =- 21．解：（1）定义域为(0,)+∞，2112()2mx f x mx x x-'=-=，①当0m „时()0f x '>恒成立，()f x ∴在(0,)+∞上是增函数，无极值， ②当0m >时令()0f x '>，0x ∴<<()0f x '<，x ∴>，所以函数()f x在上为增函数，在)+∞为减函数，所以当x =1(ln 21)2m -+，无极小值，（2）：由()1F x mx -„恒成立知22(ln 1)x x m x x++-…恒成立，令22(ln 1)()x x h x x x++=-，则222(1)(2ln )()(2)x x x h x x x -++'=+，令()2ln x x x ϕ=+，因为11()ln 4022ϕ=-<，(1)10ϕ=>，则()x ϕ为增函数． 故存在01(,1)2x ∈，使0()0x ϕ=，即002ln 0x x -=，当00x x <<时，()0h x '>，()h x 为增函数，当0x x <时，()0h x '<，()h x 为减函数． 所以00max 0220002(ln 1)1()()(2)x x h x h x x x x ++===+， 而01(,1)2x ∈，所以1(1,2)x ∈，所以整数m 的最小值为2． 22．解：（1）由2222(cos )(sin )4x y αααα+=++=，得曲线22:4C x y +=．直线l的极坐标方程展开为1cos sin 222ρθρθ-=，故l40y --=． （2）显然P 的坐标为(0,4)-，不妨设过点P 的直线方程为cos 4sin x t y t αα=⎧⎨=-+⎩（t 为参数），代入22:4C x y +=得28sin 120t t α-+=，设A ，B 对应的参数为1t ，2t所以12||||||12PA PB t t ⋅==为定值．23．解：（1）若2m =时，|1||22|3x x -++„，当1x -„时，原不等式可化为1223x x -+--„解得43x -…，所以413x --剟，当11x -<<时，原不等式可化为1223x x -++„得0x „，所以10x -<„， 当1x …时，原不等式可化为1223x x -++„解得23x „，所以x ∈Φ， 综上述：不等式的解集为4{|0}3x x -剟；（2）当[0,1]x ∈时，由()|23|f x x -„得1|2|32x x m x -++-„， 即|2|2x m x +-„，故222x x m x -+-剟得223x m x ---剟，又由题意知：min max (2)(23)x m x ---剟， 即32m -剟， 故m 的范围为[3,2]-．。
2019-2020学年辽宁省沈阳市东北育才学校高三(下)第六次模拟数学试卷(理科)(3月份)
2019-2020学年辽宁省沈阳市东北育才学校高三（下）第六次模拟数学试卷（理科）（3月份）一、选择题：木大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题日要求的.1. 在复平面内，已知复数z对应的点与复数−2−i对应的点关于实轴对称，则zi=() A.1−2i B.1+2i C.−1+2i D.−1−2i【答案】B【考点】复数的运算【解析】由已知求得z，代入zi，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】由题意，z＝−2+i，则zi =−2+ii=(−2+i)(−i)−i2=1+2i．2. 已知集合A＝{(x, y)|2x+y＝0}，B＝{(x, y)|x+my+1＝0}．若A∩B＝⌀，则实数m＝（）A.−2B.−12C.12D.2【答案】C【考点】交集及其运算【解析】利用A∩B＝⌀，所以直线2x+y＝0与直线x+my+1＝0平行，得出结论．【解答】因为A∩B＝⌀，所以直线2x+y＝0与直线x+my+1＝0平行，所以m=12，3. 在等比数列{a n}中，已知a3＝6，a3−a5+a7＝78，则a5＝（）A.12B.18C.24D.36【答案】C【考点】等比数列的通项公式【解析】根据题意，设{a n}公比为q，由等比数列的通项公式可得6−6q2+6q4＝78，解可得q2的值，计算可得答案．【解答】根据题意，等比数列{a n}中，设其公比为q，已知a 3＝6，a 3−a 5+a 7＝78，则6−6q 2+6q 4＝78，解可得q 2＝4或q 2＝−3，舍； 故a 5＝6q 2＝24，4. 某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数为（ ）A.f(x)＝ln (1−x)−ln (1+x)B.f(x)=2x +12x −1C.f(x)＝2x +2−xD.f(x)＝x 2ln (1+x 2)【答案】 A【考点】 程序框图 【解析】由程序框图可知，函数f(x)为奇函数且存在零点，然后逐一分析四个选项得答案． 【解答】由程序框图可知，函数f(x)为奇函数且存在零点．对于A 、f(x)＝ln (1−x)−ln (1+x)，定义域为(−1, 1)，且f(−x)＝ln (1+x)−ln (1−x)＝−[ln (1−x)−ln (1+x)]＝−f(x)，函数为奇函数，又f(0)＝0，函数存在零点；对于B 、f(x)=2x +12x −1，∵ 在定义域内2x +1>0恒成立，∴ f(x)不存在零点； 对于C 、f(x)＝2x +2−x >0恒成立，f(x)不存在零点；对于D 、f(x)＝x 2ln (1+x 2)，定义域为R ，f(−x)＝f(x)，函数为偶函数． ∴ 可以输出的函数为f(x)＝ln (1−x)−ln (1+x)，5. 一组数据的平均数为m ，方差为n ，将这组数据的每个数都加上a(a >0)得到一组新数据，则下列说法正确的是（ ） A.这组新数据的平均不变 B.这组新数据的平均数为am C.这组新数据的方差为a 2n D.这组新数据的方差不变【答案】 D【考点】众数、中位数、平均数 极差、方差与标准差 【解析】考查平均数和方差的性质，基础题． 【解答】设这一组数据为X＝(a1,…a n)，由E(X+a)＝E(X)+a，D(X+a)＝D(X)，6. 直线x−y+m＝0与圆x2+y2−2x−1＝0有两个不同交点的一个必要不充分条件是（）A.0<m<1B.−4<m<0C.m<1D.−3<m<1【答案】C【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】求出圆的标准方程，利用直线和圆相交的条件求出m的取值范围，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】圆的标准方程为(x−1)2+y2＝2，圆心为(1, 0)，半径r=√2，若直线与圆有两个不同的交点，则圆心到直线的距离d=√2<√2，即|1+m|<2，得−2<1+m<2，得−3<m<1，则−3<m<1的一个必要不充分条件是m<1，7. 2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数（注：素数也叫做质数）猜想的一个弱化形式．孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数p使得p+2是素数，素数对(p, p+2)称为孪生素数，从20以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率为（）A.1 14B.17C.314D.13【答案】B【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】20以内的素数共有8个，从中选两个共包含n=C82=28个基本事件，利用列举法求出20以内的孪生素数包含4个基本事件，由此能求出从20以内的素数中任取两个，其中能构成字生素数的概率．【解答】依题意，20以内的素数共有8个，从中选两个共包含n=C82=28个基本事件，而20以内的孪生素数有(3, 5)，(5, 7)，(11, 13)，(17, 19)共四对，包含4个基本事件，所以从20以内的素数中任取两个，其中能构成字生素数的概率为p=428=17．8. 设抛物线C:y2＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线C与圆C′:x2+(y−√3)2＝3交于MN 两点，若|MN|=√6，则P＝（）A.√22B.√32C.√2D.√3B【考点】直线与抛物线的位置关系【解析】由圆的方程可得过原点，而抛物线的顶点为原点，所以抛物线与圆的取值一个交点为原点O，设另一个交点M的坐标，由MN的值可得M的坐标与p的关系，两个方程联立可得M的纵坐标，代入MN的值可得p的值．【解答】由题意可得圆C′的圆心为：(0, √3)，半径为√3，过原点O，而抛物线的顶点在原点，即抛物线与圆的其中一个交点为O与N重合，设M坐标(y022p , y0)，由题意|MN|＝6可得y044p2+y02＝6，①，联立抛物线与圆的方程{x0=y022px02+(y0−√3)2=3可得：y044p2+y02−2√3y0②，①②联立可得：y0=√3，代入①可得94p2+3＝6，p>0，解得：p=√32，9. 在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1＝4，AB＝2，点E，F分别为棱BB1，CC1上两点，且BE=14BB1，CF=12CC1，则（）A.D1E≠AF，且直线D1E，AF异面B.D1E≠AF，且直线D1E，AF相交C.D1E＝AF，且直线D1E，AF异面D.D1E＝AF，且直线D1E，AF相交【答案】A【考点】异面直线的判定【解析】作图，通过计算可知D1E≠AF，取点M为BC的中点，则AMFD1共面，显然点E不在面AMFD1内，由此直线D1E，AF异面．【解答】∵D1E=√D1B12+B1E2=√17,AF=√AC2+CF2=√12≠D1E，如图，取点M为BC的中点，则AD1 // MF，故AMFD1共面，点E在面AMFD1面外，故直线D1E，AF异面．10. 己知奇函数f(x)＝2cos(ωx+φ)(ω>0, 0<φ≤π)满足f(π4+x)＝f(π4−x)．则ω的取值可能是（）A.4B.6C.8D.12【答案】B【考点】余弦函数的对称性根据函数的奇偶性和对称性，建立方程关系进行求解即可． 【解答】∵ f(x)＝2cos (ωx +φ)(ω>0, 0<φ≤π) ∴ φ=π2，则f(x)＝2cos (ωx +π2)＝−2sin ωx ，∵ f(π4+x)＝f(π4−x)． ∴ x =π4是函数的一条对称轴，则π4ω＝kπ+π2，即ω＝4k +2，k ∈Z 当k ＝0时，ω＝2， 当k ＝1时，ω＝6， 当k ＝2时，ω＝10， 当k ＝3时，ω＝14，11. 直线x ＝2与双曲线x 216−y 29=1的渐近线交于A ，B 两点，设P 为双曲线上任意一点，若OP →=aOA →+bOB →（a ，b ∈R ，O 为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（ ） A.|ab|＝2 B.a 2+b 2≥4C.|a −b|≥2D.|a +b|≥2【答案】 D【考点】双曲线的离心率 【解析】由题意可得A ，B 的坐标再由OP →=aOA →+bOB →可得P 的坐标，由P 在双曲线上可得ab ＝1，进而可得所给命题的真假，选出结果． 【解答】由题意，双曲线的渐近线方程为y =±34x ，联立直线x ＝2，解得y =±32，∴ 不妨设A(2, 32)，B(2, −32)，P(x, y)，∵ OP →=aOA →+bOB →，∴ x ＝2a +2b ，y =32a −32b ， ∵ P 为双曲线C 上的任意一点，∴(2a+2b)216−(32a−32b)29=1，∴ ab ＝1，∴ (a +b)2＝a 2+b 2+2ab ≥4ab ＝4 （a ＝b 时等号成立），可得|a +b|≥2，12. 已知函数f(x)＝ln x −12ax 2+(a −1)x +a(a >0)的值域与函数f （f(x)）的值域相同，则a 的取值范围为（ ） A.(0, 1] B.(1, +∞)C.(0,43] D.[43, +∞)【答案】【考点】函数的值域及其求法【解析】求出f(x)的单调区间和值域，从而得出f(x)的最大值与单调区间端点的关系，从而得出a的范围【解答】函数f(x)＝ln x−12ax2+(a−1)x+a(a>0)，其定义域满足：x>0．则f′(x)=1x−ax+(a−1)(a>0)令f′(x)＝0，可得x=−1a（舍去），x＝1．当x∈(0, 1)时，f′(x)>0，f(x)在区间(0, 1)递增；当x∈(1, +∞)时，f′(x)<0，f(x)在区间(1, +∞)递减；∴当x＝1时，f(x)取得最大值为32a−1；f(x)）的值域为(−∞, 32a−1]，∴函数f（f(x)）的值域为(−∞, 32a−1]，则32a−1≥1；解得：a≥43．则a的取值范围为[43, +∞)；二、填空题：本大共4小题.每小题5分．已知(1x+√x)n的展开式的所有项的系数和为64，则其展开式中的常数项为________．【答案】15【考点】二项式定理及相关概念【解析】令x＝1得所有项的系数之和为2n＝64，解得n＝6，再根据通项公式可得其展开式中的常数项．【解答】令x＝1，可得(1x+√x)n的展开式的所有项的系数和为2n＝64，n＝6．故已知(1x +√x)n=(1x+√x)6，故它的展开式的通项公式为T r+1=C6r⋅x32r−6，令3r2−6＝0，求得r＝4，可得其展开式中的常数项为C64=15，如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________．【答案】√2【考点】异面直线及其所成的角【解析】取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，则可得直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角，利用圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，可得C1D=√2AD，从而可得结论．【解答】解：取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，则∵C是圆柱下底面弧AB的中点，∴AD // BC∴直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角∵C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，∴C1D⊥圆柱下底面∴C1D⊥AD∵圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，∴C1D=√2AD∴直线AC1与AD所成角的正切值为√2∴异面直线AC1与BC所成角的正切值为√2故答案为：√2．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a2＝1，S5+S7>31，则S10的取值范围是________．【答案】(45, +∞)【考点】等差数列的性质【解析】由已知结合等差数列的通项公式及求和公式，解不等式可得d的范围，进而可求．【解答】∵a2＝1，S5+S7>31，∴ S 5+S 7＝5a 3+7a 4＝5(1+d)+7(1+2d)>31， ∴ d >1，∴ S 10＝10a 1+45d ＝10(1−d)+45d ＝10+35d >45．已知函数f(x)={2x ,x ≤ax 2,x >a，①若a ＝1，则不等式f(x)≤2的解集为________；②若存在实数b ，使函数g(x)＝f(x)−b 有两个零点，则a 的取值范围是________． 【答案】(−∞, √2],(−∞, 2)∪(4, +∞) 【考点】函数的零点与方程根的关系 【解析】第一空：将a ＝1代入可得f(x)解析式，进而可解得f(x)≤2的解析； 第二空：分类讨论a 的情况即可． 【解答】①当a ＝1时，f(x)={2x ,x ≤1x 2,x >1 ，则令f(x)≤2，即有2x ≤2或x 2≤2，解得x ≤1或1<x ≤√2，故f(x)≤2的解集为(−∞, √2]；②由函数g(x)＝f(x)−b 只有一个零点时，2x ＝x 2时，x ＝2或x ＝4， 当a ＝2时，f(x)={2x ,x ≤2x 2,x >2 ，此时g(x)＝f(x)−b 只有一个零点；当a <2时，g(x)有2个零点；同理当a ＝4时，f(x)={2x ,x ≤4x 2,x >4，g(x)＝f(x)−b 只有一个零点；当a >4时，有2个零点，故可得a 的取值范围是(−∞, 2)∪(4, +∞)，三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（一）必考题；共60分.在①3c 2＝16S +3(b 2−a 2)；②5b cos C +4c ＝5a ，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设△ABC 的面积为S ，已知 ① ． （1）求tan B 的值；（2）若S ＝42，a ＝10，求b 的值． 【答案】∵ 3c 2＝16S +3(b 2−a 2)，∴ 3(c 2+a 2−b 2)＝16s 即3×2ac cos B ＝16×12ac sin B ， 所以3cos B ＝4sin B 即tan B =34； 由（1）可得sin B =35，cos B =45，∴ S =12ac sin B =12×10c ×35=3c ＝42，即c ＝14，由余弦定理可得，45=100+196−b 22×10×14，整理可得，b ＝6√2．选②5b cos C +4c ＝5a ，（1）5b ×a 2+b 2−c 22ab+4c ＝5a ，5a 2+5b 2−5c 2+8ac ＝10a 2， 5a 2+5c 2−5b 2＝8ac ， cos B =a 2+c 2−b 22ac =45，B ∈(0, π)，sin B =35，故tan B =34．（2）由（1）可得sin B =35，cos B =45， ∴ S =12ac sin B =12×10c ×35=3c ＝42，即c ＝14， 由余弦定理可得，45=100+196−b 22×10×14，整理可得，b ＝6√2． 【考点】 正弦定理 【解析】（1）先对选项结合余弦定理及三角形的面积公式进行化简可求tan B ，（2）结合（1）可求cos B ，然后利用余弦定理及三角形的面积公式即可求解． 【解答】∵ 3c 2＝16S +3(b 2−a 2)，∴ 3(c 2+a 2−b 2)＝16s 即3×2ac cos B ＝16×12ac sin B ， 所以3cos B ＝4sin B 即tan B =34；由（1）可得sin B =35，cos B =45，∴ S =12ac sin B =12×10c ×35=3c ＝42，即c ＝14， 由余弦定理可得，45=100+196−b 22×10×14，整理可得，b ＝6√2．选②5b cos C +4c ＝5a ，（1）5b ×a 2+b 2−c 22ab+4c ＝5a ，5a 2+5b 2−5c 2+8ac ＝10a 2， 5a 2+5c 2−5b 2＝8ac ， cos B =a 2+c 2−b 22ac =45，B ∈(0, π)，sin B =35，故tan B =34．（2）由（1）可得sin B =35，cos B =45， ∴ S =12ac sin B =12×10c ×35=3c ＝42，即c ＝14， 由余弦定理可得，45=100+196−b 22×10×14，整理可得，b ＝6√2．如图，在四棱锥P −ABCD 中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为梯形，AB // CD ，∠ABC ＝∠BCD ＝90∘，BC ＝CD =AB 2=2．（1）证明：BD ⊥PD ；（2）若△PAD 为正三角形，求二面角A −PB −C 的余弦值． 【答案】证明：∵ BC ＝CD ＝2，AB ＝4，又底面ABCD 为直角梯形， ∴ AD =2√2,BD =2√2,AD 2+BD 2=AB 2， ∴ BD ⊥AD ，∵ 侧面PAD ⊥底面ABCD ，∴ 由面面垂直性质可知，BD ⊥平面PAD ， 而PD 在平面PAD 内， ∴ BD ⊥PD ；如图所示，建立空间直角坐标系，D(0,0,0),A(2√2,0,0),B(0,2√2,0),C(−√2,√2,0)，则AP →=(−√2,0,√6),AB →=(−2√2,2√2,0)，PC →=(−2√2,√2,−√6),BC →=(−√2,−√2,0)，设平面PAB 的法向量为n →=(x,y,z)，则{−√2x +√6z =0−2√2x +2√2y =0，可取n →=(1,1,√33)，设平面PCB 的法向量为m →=(x,y,z)，则{−√2x +√2y −√6z =0−√2x +√2y =0，可取m →=(1,−1,−√3)，设二面角A −PB −C 的平面角为α，由图观察可知α为钝角， ∴ cos α=−|n →⋅m →||n →||m →|=−√10535．【考点】二面角的平面角及求法 直线与平面垂直 【解析】（1）先证明BD ⊥平面PAD ，再证明 BD ⊥PD ；（2）如图所示，建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角A −PB −C 的余弦值． 【解答】证明：∵ BC ＝CD ＝2，AB ＝4，又底面ABCD 为直角梯形， ∴ AD =2√2,BD =2√2,AD 2+BD 2=AB 2， ∴ BD ⊥AD ，∵ 侧面PAD ⊥底面ABCD ，∴ 由面面垂直性质可知，BD ⊥平面PAD ， 而PD 在平面PAD 内， ∴ BD ⊥PD ；如图所示，建立空间直角坐标系，D(0,0,0),A(2√2,0,0),B(0,2√2,0),C(−√2,√2,0)，则AP →=(−√2,0,√6),AB →=(−2√2,2√2,0)，PC →=(−2√2,√2,−√6),BC →=(−√2,−√2,0)，设平面PAB 的法向量为n →=(x,y,z)，则{−√2x +√6z =0−2√2x +2√2y =0，可取n →=(1,1,√33)，设平面PCB 的法向量为m →=(x,y,z)，则{−√2x +√2y −√6z =0−√2x +√2y =0，可取m →=(1,−1,−√3)，设二面角A −PB −C 的平面角为α，由图观察可知α为钝角， ∴ cos α=−|n →⋅m →||n →||m →|=−√10535．某学校为了解该校高三年级学生数学科学习情况，对广一模考试数学成绩进行分析，从中抽取了n 名学生的成绩作为样本进行统计（该校全体学生的成绩均在[60, 140），按照[60, 70)，[70, 80)，[80, 90)，[90, 100)，[100, 110)，[110, 120)，[120, 130)，[130, 140)的分组作出频率分布直方图如图1所示，样本中分数在[70, 90)内的所有数据的茎叶图如图2所示．根据上级统计划出预录分数线，有下列分数与可能被录取院校层次对照表为表( c )．（1）求n 和频率分布直方图中的x ，y 的值；（2）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为概率，若在该校高三年级学生中任取3 人，求至少有一人是可能录取为重本层次院校的概率；（3）在选取的样本中，从可能录取为重本和专科两个层次的学生中随机抽取3 名学生进行调研，用ξ表示所抽取的3 名学生中为重本的人数，求随机变量ξ的分布列和数学期望． 【答案】由题意可知，样本容量n =30.006×10=50⋯解得x =550×10=0.01⋯y =1−(0.04+0.06×2+0.1×2+0.2+0.3)10=0.014⋯成绩能被重点大学录取的人数为50×(0.014+0.01+0.006)×10＝15人，抽取的50人中成绩能被重点大学录取的频率是1550=310，故从该校高三年级学生中任取1人的概率为310⋯记该校高三年级学生中任取3人，至少有一人能被重点大学录取的事件为E ； 则P(E)=1−(1−310)3=6571000⋯成绩能被重点大学录取的人数为15人，成绩能被专科学校录取的人数为50×(0.004+0.006)+2＝7人，故随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3 所以，P(ξ=0)=C 73C 223=144，P(ξ=1)=C 72C151C 223=944，P(ξ=2)=C 71C152C 223=2144，P(ξ=3)=C 70C153C 223=1344⋯故随机变量ξ的分布列为随机变量ξ的数学期望E(ξ)=0×144+1×944+2×2144+3×1344=4522⋯ 【考点】离散型随机变量及其分布列 离散型随机变量的期望与方差 【解析】（1）由题意可知，样本容量n =30.006×10，再根据频率分布直方图的性质即可得出x ，y ． （2）成绩能被重点大学录取的人数为50×(0.014+0.01+0.006)×10人，抽取的50人中成绩能被重点大学录取的频率是1550，故从该校高三年级学生中任取1人的概率为310．记该校高三年级学生中任取3人，至少有一人能被重点大学录取的事件为E ；进而得出P(E)＝1−(1−310)3即可得出．（3）成绩能被重点大学录取的人数为15人，成绩能被专科学校录取的人数为50×(0.004+0.006)+2＝7人，可得随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3，再利用超几何分布列即可得出． 【解答】由题意可知，样本容量n =30.006×10=50⋯ 解得x =550×10=0.01⋯y =1−(0.04+0.06×2+0.1×2+0.2+0.3)10=0.014⋯成绩能被重点大学录取的人数为50×(0.014+0.01+0.006)×10＝15人，抽取的50人中成绩能被重点大学录取的频率是1550=310，故从该校高三年级学生中任取1人的概率为310⋯记该校高三年级学生中任取3人，至少有一人能被重点大学录取的事件为E ； 则P(E)=1−(1−310)3=6571000⋯成绩能被重点大学录取的人数为15人，成绩能被专科学校录取的人数为50×(0.004+0.006)+2＝7人，故随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3 所以，P(ξ=0)=C 73C 223=144，P(ξ=1)=C 72C151C 223=944，P(ξ=2)=C 71C152C 223=2144，P(ξ=3)=C 70C153C 223=1344⋯故随机变量ξ的分布列为随机变量ξ的数学期望E(ξ)=0×144+1×944+2×2144+3×1344=4522⋯已知A(x 0, 0)，B(0, y 0)两点分别在x 轴和y 轴上运动，且|AB|＝1，若动点P(x, y)满足OP →=2OA →+√3OB →．（1）求出动点P 的轨迹C 的标准方程；（2）设动直线l 与曲线C 有且仅有一个公共点，与圆x 2+y 2＝7相交于两点P 1，P 2（两点均不在坐标轴上），求直线OP 1，OP 2的斜率之积． 【答案】因为OP →=2OA →+√3OB →．即(x, y)＝2(x 0, 0)+√3(0, y 0)＝(2x 0, √3y 0) 所以x ＝2x 0，y =√3y 0；， 所以x 0=12x ，y 0=√33y ；又因为|AB|＝1，所以x 02+y 02＝1，即x 24+y 23=1．所以曲线C 的标准方程为x 24+y 23=1．当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y ＝kx +m ． 由方程组{y =kx +m x 24+y 23=1得(4k 2+3)x 2+8kmx +4m 2−12＝0．∵ 直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，∴ △1＝(8km)2−4(4k 2+3)(4m 2−12)＝0，即m 2＝4k 2+3．① 由方程组{y =kx +mx 2+y 2=7 得(k 2+1)x 2+2kmx +m 2−7＝0， 则△2＝(2km)2−4(k 2+1)(m 2−7)>0． 设P 1(x 1, y 1)，P(x 2, y 2)，则x 1+x 2=−2kmk 2+1，②x 1x 2=m 2−7k 2+1，③设直线OP 1，OP 2的斜率分别为k 1，k 2， 所以k 1k 2=y 1y 2x 1x 2=(kx 1+m)(kx 2+m)x 1x 2=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2x 1x 2；将①②③代入上式，得k 1k 2=−34．当直线l 的斜率不存在时，由题意知l 的方程为x ＝±2． 此时，圆x 2+y 2＝7与l 的交点P 1，P 2也满足k 1k 2=−34． 综上，直线OP 1，OP 2的斜率之积的斜率之积为定值−34．【考点】轨迹方程 【解析】（1）根据题意，由向量的坐标计算公式可得，进而分析x 0、y 0满足的条件，代入分析可得答案；（2）当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y ＝kx +m ；与椭圆联立判别式为0得m 2＝4k 2+3．①；与圆联立得x 1+x 2=−2kmk 2+1，②x 1x 2=m 2−7k 2+1，③与斜率之积相结合即可得到结论；当斜率不存在时也成立即可．【解答】因为OP →=2OA →+√3OB →．即(x, y)＝2(x 0, 0)+√3(0, y 0)＝(2x 0, √3y 0) 所以x ＝2x 0，y =√3y 0；， 所以x 0=12x ，y 0=√33y ； 又因为|AB|＝1，所以x 02+y 02＝1，即x 24+y 23=1．所以曲线C 的标准方程为x 24+y 23=1．当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y ＝kx +m ．由方程组{y=kx+mx24+y23=1得(4k2+3)x2+8kmx+4m2−12＝0．∵直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，∴△1＝(8km)2−4(4k2+3)(4m2−12)＝0，即m2＝4k2+3．①由方程组{y=kx+mx2+y2=7得(k2+1)x2+2kmx+m2−7＝0，则△2＝(2km)2−4(k2+1)(m2−7)>0．设P1(x1, y1)，P(x2, y2)，则x1+x2=−2kmk2+1，②x1x2=m2−7k2+1，③设直线OP1，OP2的斜率分别为k1，k2，所以k1k2=y1y2x1x2=(kx1+m)(kx2+m)x1x2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2x1x2；将①②③代入上式，得k1k2=−34．当直线l的斜率不存在时，由题意知l的方程为x＝±2．此时，圆x2+y2＝7与l的交点P1，P2也满足k1k2=−34．综上，直线OP1，OP2的斜率之积的斜率之积为定值−34．已知函数f(x)=ax−1+ln x（a∈R，a为常数）．（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若函数f(x)在(e, +∞)内有极值，试比较e a−1与a e−1的大小，并证明你的结论．【答案】定义域为(0, 1)∪(1, +∞)，f′(x)=1x −a(x−1)2=x2−(a+2)x+1x(x−1)2，设ℎ(x)＝x2−(a+2)x+1，△＝(a+2)2−4，当−4≤a<0时，△＝(a+2)2−4<0，此时ℎ(x)>0，从而f′(x)>0恒成立，故函数f(x)在(0, 1)上是增函数，在(1, +∞)上是增函数；当a<−4时，函数ℎ(x)＝x2−(a+2)x+1图象开口向上，对称轴x=a+22<0，又ℎ(0)＝1>0，所以此时ℎ(x)>0，从而f′(x)>0恒成立，故函数f(x)在(0, 1)上是增函数，在(1, +∞)上是增函数；当a>0时，△＝(a+2)2−4>0，设ℎ(x)＝x2−(a+2)x+1有两个不同的实根x1，x2，共中x1+x2＝a+2>0，x1x2＝1，令0<x1<1<x2，则x1=(a+2)−√a2+4a2，x2=(a+2)+√a2+4a2，令f′(x)>0，得0<x<x1或x>x2；令f′(x)<0，得x1<x<1或1<x<x2，故函数f(x)在(0, x1)上是增函数，在(x2, +∞)上是增函数，在(x1, 1)，(1, x2)上单调单调递减．当a >0时，函数f(x)在(0, (a+2)−√a 2+4a2)上是增函数，在((a+2)+√a 2+4a2, +∞)上是增函数，在((a+2)−√a 2+4a2, 1)是减函数，在(1, (a+2)+√a 2+4a2)上是减函数．当a ＝0时，函数f(x)在(0, 1)上是增函数，在(1, +∞)上是增函数； 要使y ＝f(x)在(e, +∞)上有极值，由（1）知a >0，①则ℎ(x)＝x 2−(a +2)x +1有一变号零点在区间(e, +∞)上，不妨设x 2>e ， 又因为x 1x 2＝1，∴ 0<x 1<1e <e <x 2，又ℎ(0)＝1， ∴ 只需ℎ(1e )<0，即1e 2−(a +2)1e+1<0，∴ a >e +1e−2，②联立①②可得：a >e +1e−2．从而e a−1与a e−1均为正数．要比较e a−1a e−1与的大小，同取自然底数的对数， 即比较(a −1)ln e 与(e −1)ln a 的大小，再转化为比较ln ee−1与ln aa−1的大小．构造函数φ(x)=ln xx−1(x >1)，则φ′(x)=1−1x−ln x (x−1)2，再设m(x)＝1−1x −ln x ，则m ′(x)=1−x x 2，从而m(x)在(1, +∞)上单调递减，此时m(x)<m(1)＝0，故φ′(x)<0在(1, +∞)上恒成立，则φ(x)=ln xx−1在(1, +∞)上单调递减．综上所述，当a ∈(e +1e −2, e)时，e a−1<a e−1；当a ＝e 时，e a−1＝a e−1；当a ∈(e, +∞)时，e a−1>a e−1． 【考点】利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数的极值 【解析】（1）求出f(x)的导数，通过讨论a 的取值范围，确定函数的单调区间即可．（2）由（1）知a >0，①则ℎ(x)＝x 2−(a +2)x +1有一变号零点在区间(e, +∞)上，不妨设x 2>e ，又因为x 1x 2＝1，所以0<x 1<1e <e <x 2，又ℎ(0)＝1，所以只需ℎ(1e)<0，得a >e +1e−2，②联立①②可得：a >e +1e−2．从而e a−1与a e−1均为正数．要比较e a−1a e−1与的大小⇒同取自然底数的对数，即比较(a −1)与(e −1)ln a 的大小⇒再转化为比较ln ee−1与ln aa−1的大小．构造函数φ(x)=ln xx−1(x >1)，求导，分析单调性，讨论a 的取值范围，进而得出结论． 【解答】定义域为(0, 1)∪(1, +∞)， f ′(x)=1x −a(x−1)2=x 2−(a+2)x+1x(x−1)2，设ℎ(x)＝x 2−(a +2)x +1，△＝(a +2)2−4，当−4≤a <0时，△＝(a +2)2−4<0，此时ℎ(x)>0，从而f′(x)>0恒成立， 故函数f(x)在(0, 1)上是增函数，在(1, +∞)上是增函数；当a <−4时，函数ℎ(x)＝x 2−(a +2)x +1图象开口向上，对称轴x =a+22<0，又ℎ(0)＝1>0，所以此时ℎ(x)>0，从而f′(x)>0恒成立，故函数f(x)在(0, 1)上是增函数，在(1, +∞)上是增函数；当a >0时，△＝(a +2)2−4>0，设ℎ(x)＝x 2−(a +2)x +1有两个不同的实根x 1，x 2，共中x 1+x 2＝a +2>0，x 1x 2＝1，令0<x 1<1<x 2，则x 1=(a+2)−√a 2+4a2，x 2=(a+2)+√a 2+4a2，令f′(x)>0，得0<x <x 1或x >x 2；令f′(x)<0，得x 1<x <1或1<x <x 2，故函数f(x)在(0, x 1)上是增函数，在(x 2, +∞)上是增函数，在(x 1, 1)，(1, x 2)上单调单调递减．当a >0时，函数f(x)在(0, (a+2)−√a 2+4a2)上是增函数，在((a+2)+√a 2+4a2, +∞)上是增函数，在((a+2)−√a 2+4a2, 1)是减函数，在(1, (a+2)+√a 2+4a2)上是减函数．当a ＝0时，函数f(x)在(0, 1)上是增函数，在(1, +∞)上是增函数； 要使y ＝f(x)在(e, +∞)上有极值，由（1）知a >0，①则ℎ(x)＝x 2−(a +2)x +1有一变号零点在区间(e, +∞)上，不妨设x 2>e ， 又因为x 1x 2＝1，∴ 0<x 1<1e <e <x 2，又ℎ(0)＝1，∴ 只需ℎ(1e )<0，即1e 2−(a +2)1e +1<0，∴ a >e +1e −2，② 联立①②可得：a >e +1e −2．从而e a−1与a e−1均为正数．要比较e a−1a e−1与的大小，同取自然底数的对数，即比较(a −1)ln e 与(e −1)ln a 的大小，再转化为比较ln e e−1与ln aa−1的大小． 构造函数φ(x)=ln xx−1(x >1)，则φ′(x)=1−1x−ln x (x−1)2，再设m(x)＝1−1x −ln x ，则m ′(x)=1−x x ，从而m(x)在(1, +∞)上单调递减，此时m(x)<m(1)＝0，故φ′(x)<0在(1, +∞)上恒成立，则φ(x)=ln xx−1在(1, +∞)上单调递减．综上所述，当a ∈(e +1e −2, e)时，e a−1<a e−1；当a ＝e 时，e a−1＝a e−1；当a ∈(e, +∞)时，e a−1>a e−1．（二）选考题：共10分，请考生在22、23两题中任选一题作答，若多做，则按所做的第一题记分，[极坐标与参数方程]已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=−t,y=4+t（t为参数），曲线C1的方程为x2+(y−1)2＝1．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l和曲线C1的极坐标方程；（2）曲线C2:θ=α(ρ>0,0<α<π2)分别交直线l和曲线C1于点A，B，求|OB||OA|的最大值及相应α的值．【答案】由{x=−t,y=4+t（t为参数），得y−4＝−x，∴直线l的普通方程为x+y−4＝0，∴直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ−4＝0，∵曲线C1的普通方程为x2+y2＝2y，∴由x=ρcosθ,y=ρsinθ，得C1的参数方程为ρ=2sinθ．直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ−4＝0，令θ＝a，则|OA|=4cosα+sinα，又|OB|=2sinα，∴|OB||OA|=12sinα−(sinα+cosα)=12sin2α+12sinαcosα=14(1−cos2α+sin2α)=√24sin(2α−π4)+14，∵0<α<π2，∴−π4<2α−π4<3π4，∴当2α−π4=π2，即α=3π8时，|OB||OA|取得最大值1+√24．【考点】圆的极坐标方程参数方程与普通方程的互化【解析】（1）先将直线l的参数方程化为普通方程，再化为极坐标方程；直接将C1的直角坐标方程转化为极坐标方程；（2）令θ＝a，由条件可得|OB||OA|=12sinα−(sinα+cosα)，然后利用三角函数的图象与性质，求出|OB||OA|的最大值及相应α的值．【解答】由{x=−t,y=4+t（t为参数），得y−4＝−x，∴直线l的普通方程为x+y−4＝0，∴直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ−4＝0，∵曲线C1的普通方程为x2+y2＝2y，∴由x=ρcosθ,y=ρsinθ，得C1的参数方程为ρ=2sinθ．直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ−4＝0，令θ＝a，则|OA|=4cosα+sinα，又|OB|=2sinα，∴|OB||OA|=12sinα−(sinα+cosα)=12sin2α+12sinαcosα=14(1−cos2α+sin2α)=√24sin(2α−π4)+14，∵0<α<π2，∴−π4<2α−π4<3π4，∴当2α−π4=π2，即α=3π8时，|OB||OA|取得最大值1+√24．[不等式选讲]已知函数f(x)＝|3x−a|+|3+x|．（1）若a＝3，解不等式f(x)≤6；（2）若不存在实数x，使得f(x)≤1−a−|6+2x|，求实数a的取值范围．【答案】a＝3，f(x)＝|3x−3|+|3+x|≤6，当x≤−3时，3−3x−3−x≤6，解得x≥−32，∴x∈⌀；当−3<x≤1时，3−3x+3+x≤6，解得x≥0，∴x∈[0, 1]；当x>1时，3x−3+3+x≤6，解得x≤32，∴x∈(1, 32]．综上所述，不等式的解集为[0, 32]．不存在实数x，使得f(x)≤1−a−|6+2x|，等价于f(x)>1−a−|6+2x|恒成立，即|3x−a|+|9+3x|>1−a恒成立．∵|3x−a|+|9+3x|≥|3x−a−9−3x|＝|a+9|，∴|a+9|>1−a当a<−9时，−a−9>1−a，解得a∈⌀；当a≥−9时，a+9>1−a，解得a>−4．∴a>−4时，不存在实数x，使得f(x)≤1−a−|6+2x|．【考点】绝对值不等式的解法与证明不等式恒成立的问题【解析】（1）运用绝对值的意义去绝对值，解不等式，求并集，可得所求集合；（2）由题意可得f(x)>1−a−|6+2x|恒成立，即|3x−a|+|9+3x|>1−a恒成立．运用绝对值不等式的性质可得左边的最小值，解绝对值不等式可得所求范围．【解答】a＝3，f(x)＝|3x−3|+|3+x|≤6，当x≤−3时，3−3x−3−x≤6，解得x≥−32，∴x∈⌀；当−3<x≤1时，3−3x+3+x≤6，解得x≥0，∴x∈[0, 1]；当x>1时，3x−3+3+x≤6，解得x≤32，∴x∈(1, 32]．综上所述，不等式的解集为[0, 32]．不存在实数x，使得f(x)≤1−a−|6+2x|，等价于f(x)>1−a−|6+2x|恒成立，即|3x−a|+|9+3x|>1−a恒成立．∵|3x−a|+|9+3x|≥|3x−a−9−3x|＝|a+9|，∴|a+9|>1−a 当a<−9时，−a−9>1−a，解得a∈⌀；当a≥−9时，a+9>1−a，解得a>−4．∴a>−4时，不存在实数x，使得f(x)≤1−a−|6+2x|．。
2024辽宁省沈阳市东北育才学校高三下学期六模数学试题及答案
2023-2024学年度东北育才学校高中部高三年级第六次模拟考试暨假期质量测试数学科试卷答题时间：120分钟 满分：150分 命题人：高三备课组一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中项是符合题目要求的．1. 若集合{}2560A x x x =--≤，(){}ln 214B x y x ==-，则()RA B ⋂=ð（ ）A. ()7,+∞B. ()6,+∞C. (]1,7-D. (]1,6-2.已知R x ∈，则“|1||1|2x x ++-≤”是“11x>”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3. 在()1nx -的二项展开式中，仅有第4项的二项式系数最大，则n =（ ）A. 5 B. 6 C. 7 D. 84.若()f x 是R 上周期为3的偶函数，且当302x <≤时，()4log f x x =，则132f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A. 12-B.12C. 2- D. 25. 若ππ,42α⎛⎫∈⎪⎝⎭，且2π1cos cos 222αα⎛⎫++=- ⎪⎝⎭．则tan α=（ ）6. 函数()()12cos 2023π1f x x x ⎡⎤=++⎣⎦-在区间[3,5]-上所有零点的和等于（ ）A. 2B. 4C. 6D. 87. 12,F F 是双曲线()2222:1,0x y E a b a b-=>的左、右焦点，点M 为双曲线E 右支上一点，点N 在x 轴上，满足1260F MN F MN ∠∠==o ，若()1235MF MF MN λλ+=∈R u u u u r u u u u r u u u u r，则双曲线E 的离心率为（ ）A.87B.65C.53D.728．设n S 是一个无穷数列{}n a 的前n 项和，若一个数列满足对任意的正整数n ，不等式11+<+n n S S n n 恒成立，则称数列{}n a 为和谐数列，有下列3个命题：①若对任意的正整数n 均有1+<n n a a ，则{}n a 为和谐数列；②若等差数列{}n a 是和谐数列，则n S 一定存在最小值；③若{}n a 的首项小于零，则一定存在公比为负数的一个等比数列是和谐数列．以上3个命题中真命题的个数有 （ ）个A ．3 B ．2 C ．1D ．0二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
【精准解析】辽宁省沈阳市东北育才学校高中部2020届高三第八次模拟考试数学(理)试题
2.若复数满足 (2 i) z 5 ，则在复平面内与复数 z 对应的点 Z 位于( )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
【答案】D
【解析】
【分析】 根据复数的除法运算求出复数 z ，再根据复数的几何意义可得答案.
安排分“数”在第一节和第二节两类，“礼”和“乐”相邻用捆绑法即可求解.
【详解】由题意知基本事件总数 n A66 720 ，
“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须相邻可以分两类安排：
-6-
① “数”排在第一位，“礼”和“乐”两门课程相邻排课，则礼，乐相邻的位置有 4 个，考
虑两者的顺序，有 2 种情况，
C. 系统抽样法､分层抽样法
D. 简单随机抽样法､分层抽样法
【答案】B
【解析】
【分析】
根据分层抽样和简单随机抽样的定义进行判断即可.
【详解】①四所学校，学生有差异，故①使用分层抽样；
②在同一所学校，且人数较少，所以可使用简单随机抽样.
故选：B.
【点睛】本题考查的是抽样方法的选取问题，属于基础题.
（1）系统抽样适用于总体容量较大的情况.将总体平均分成若干部分，按事先确定的规则在
东北育才学校高中部 2020 届高三第八次模拟考试数学试题（理科）
第Ⅰ卷（选择题共 60 分）
一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题
目要求的一项.）
1.已知集合 A {x | y x2 2}，集合 B {y | y x2 2} ，则有( )
国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”. 为弘扬中国传统文化，某
2020届辽宁省沈阳市东北育才学校高三第六次模拟数学(理)试题(解析版)
2020届辽宁省沈阳市东北育才学校高三第六次模拟数学（理）试题一、单选题1．在复平面内，已知复数z 对应的点与复数2i --对应的点关于实轴对称，则z i=（ ） A ．12i - B ．12i +C ．12i -+D ．12i --【答案】B【解析】由已知求得z ，代入zi，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】由题意，2z i =-+， 则22(2)()12z i i i i i i i-+-+-===+-． 故选：B ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2．已知集合(){},|20A x y x y =+=，(){},|10B x y x my =++=.若A B =∅I ，则实数m =（ ）A ．2-B ．12-C ．12D ．2【答案】C【解析】根据集合,A B 元素所表示的意义，以及集合,A B 关系，即可求解. 【详解】因为A B =∅I ，所以直线20x y +=与 直线10x my ++=平行，所以12m =. 故选:C . 【点睛】本题主要考查集合的概念与运算、解方程等基础知识，属于基础题. 3．在等比数列{}n a 中，已知36a =，35778a a a -+=，则5a =（ ） A ．12B ．18C ．24D ．36【答案】C【解析】根据题意，设{}n a 公比为q ，由等比数列的通项公式可得2466678q q -+=，解可得2q 的值，计算可得答案． 【详解】根据题意，等比数列{}n a 中，设其公比为q ，已知36a =，35778a a a -+=，则2466678q q -+=，解可得24q =或23q =-，舍；故25624a q ==，故选：C ． 【点睛】本题考查等比数列的通项公式，涉及等比数列的性质，属于基础题．4．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数为（ ）A ．()()()ln 1ln 1f x x x =--+B ．21()21x x f x +=-C ．()22xxf x -=+ D ．()22ln ()1f x x x=+【答案】A【解析】由程序框图可知，函数()f x 为奇函数且存在零点，然后逐一分析四个选项得答案． 【详解】由程序框图可知，函数()f x 为奇函数且存在零点． 对于A 、()ln(1)ln(1)f x x x =--+，定义域为(1,1)-，且[]()ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)()f x x x x x f x -=+--=---+=-，函数为奇函数，又(0)0f =，函数存在零点；对于B 、21()21x x f x +=-，∵在定义域内210x +>恒成立，∴()f x 不存在零点；对于C 、()220xxf x -=+>恒成立，()f x 不存在零点；对于D 、22l ()(1n )f x x x =+，定义域为R ，()()f x f x -=，函数为偶函数．∴可以输出的函数为()ln(1)ln(1)f x x x =--+， 故选：A ． 【点睛】本题考查程序框图，考查函数奇偶性的判定与零点的判定，是中档题．5．一组数据的平均数为m ，方差为n ，将这组数据的每个数都加上(0)a a >得到一组新数据，则下列说法正确的是（ ） A ．这组新数据的平均不变 B ．这组新数据的平均数为am C ．这组新数据的方差为2a n D ．这组新数据的方差不变【答案】D【解析】考查平均数和方差的性质，基础题． 【详解】设这一组数据为()1,n X a a =L ，由()()E X g E X a +=+，()()D X a D X +=， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查方差的性质，考查了运算能力，属于容易题.6．直线0x y m -+=与圆22210x y x +--=有两个不同交点的一个必要不充分条件是( ) A ．01m <<B ．40m -<<C ．1m <D ．31m -<<【答案】C【解析】求出圆的标准方程，利用直线和圆相交的条件求出m 的取值范围，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】圆的标准方程为22(x 1)y 2-+=，圆心为()1,0，半径r =若直线与圆有两个不同的交点，则圆心到直线的距离d =<即1m 2+<，得21m 2-<+<，得3m 1-<<， 则3m 1-<<的一个必要不充分条件是m 1<， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用直线和圆相交的等价条件求出m 的取值范围是解决本题的关键．7．2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数（注：素数也叫做质数）猜想的一个弱化形式.孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数p 使得2p +是素数，素数对(),2p p +称为孪生素数，从20以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率为（ ） A ．114B ．17C ．314D ．13【答案】B【解析】根据题意共包含2828C =个基本事件，4种情况满足条件，得到答案.【详解】依题意，20以内的素数共有8个，从中选两个共包含2828C =个基本事件，而20以内的孪生素数有(3,5),(5,7),(11,13),(17,19)共四对，包含4个基本事件， 所以从20以内的素数中任取两个，其中能构成字生素数的概率为28417P C ==. 故选：B . 【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力.8．设抛物线2:2(0)C ypx p =>的焦点为F ，抛物线C 与圆22:(3)3C x y +-='交于MN 两点，若6MN =，则p =（ ）A ．22B ．3 C ．2D ．3【答案】B【解析】由圆的方程可得过原点，而抛物线的顶点为原点，所以抛物线与圆的取值一个交点为原点O ，设另一个交点M 的坐标，由MN 的值可得M 的坐标与p 的关系，两个方程联立可得M 的纵坐标，代入MN 的值可得p 的值． 【详解】由题意可得圆C '的圆心为：(0,3)，半径为3，过原点O ，而抛物线的顶点在原点，即抛物线与圆的其中一个交点为O 与N 重合， 如图：设M 坐标200,2y y p ⎛⎫⎪⎝⎭，由题意6MN =可得4200264y y p +=，①， 联立抛物线与圆的方程(2002200233y x px y ⎧=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩可得：42000234y y y p=+②， ①②联立可得：03y =29364p +=，0p >，解得：32p =， 故选：B ． 【点睛】考查抛物线与圆相交求交点，及相交弦长的应用，属于中档题．9．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，14AA =，2AB =，点E ，F 分别为棱1BB ，1CC 上两点，且114BE BB =，112CF CC =，则（ ） A ．1D E AF ≠，且直线1D E ，AF 异面B ．1D E AF ≠，且直线1D E ，AF 相交C ．1DE AF =，且直线1D E ，AF 异面 D ．1D E AF =，且直线1D E ，AF 相交【答案】A【解析】作图，通过计算可知D 1E ≠AF ，取点M 为BC 的中点，则AMFD 1共面，显然点E 不在面AMFD 1内，由此直线D 1E ，AF 异面． 【详解】 ∵2222111111712D E D B B E AF AC CF D E =+==+=≠，，如图，取点M 为BC 的中点，则AD 1∥MF ， 故AMFD 1共面，点E 在面AMFD 1面外， 故直线D 1E ，AF 异面． 故选：A ．【点睛】本题主要考查异面直线的判定及空间中线段的距离求解，属于基础题．10．已知奇函数()2cos()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><≤满足44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ω的取值可能是（ ） A ．4 B ．6C ．8D ．12【答案】B【解析】由()f x 是奇函数知2ϕπ=,可得()2sin f x x ω=-,由44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知()f x 关于4x π=对称, 即可得出,24k k Z ππωπ=+∈,进而解得24,k k Z ω=+∈,根据选项即可的出答案. 【详解】由()f x 是奇函数得2ϕπ=，所以()2cos 2sin 2f x x x πωω⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，又因为44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得()f x 关于4x π=对称，所以,24k k Z ππωπ=+∈，解得24,k k Z ω=+∈.所以当1k =时，得6ω=. 故选:B . 【点睛】本题考查了三角函数的图象和性质,着重考查在已知cos()y A x ωϕ=+的奇偶性,对称轴时求ωϕ，的问题,难度较易.11．直线2x =与双曲线221169x y -=的渐近线交于,A B 两点，设P 为双曲线上任意一点，若OP aOA bOB =+u u u r u u u r u u u r（,,a b R O ∈为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（ ）A ．2ab =B ．224a b +≥C ．2a b -≥D ．2a b +≥【答案】D【解析】不妨设332,,2,,(,)22A B P x y ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，计算得到1ab =，再利用均值不等式得到答案. 【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为34y x =?，联立直线2x =，解得32y =±，∴不妨设332,,2,,(,)22A B P x y ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵OP aOA bOB =+u u u r u u u r u u u r ， ∴3322,22x a b y a b =+=-， ∵P 为双曲线C 上的任意一点，∴2233(22)221169a b a b ⎛⎫- ⎪+⎝⎭-=，∴1ab =， ∴222()244a b a b ab ab +=++=…（a b =时等号成立），可得||2a b +…， 故选：D . 【点睛】本题考查了双曲线和不等式的综合应用，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.12．已知函数21()ln (1)(0)2f x x ax a x a a =-+-+>的值域与函数()()f f x 的值域相同，则a 的取值范围为（ ） A ．(]0,1 B ．()1,+∞C ．40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】求导得到()f x 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减，得到max 3()(1)12f x f a ==-，计算得到答案.【详解】1(1)(1)()1,1ax x f x ax a x x x+-'=-+-=>时，()0f x '<；01x <<，()0f x '>， ∴()f x 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减，max 3()(1)12f x f a ==-，即()f x 的值域为3,12a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.令()f x t =，则3[()]()12y f f x f t t a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭…， ∵()f t 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减，要使()y f t =的值域为3,12a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦， 则3411,23a a -厖，∴a 的取值范围是4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭， 故选：D . 【点睛】本题考查了根据函数值域求参数，意在考查学生的综合应用能力.二、填空题13．已知1nx ⎛+ ⎝的展开式的所有项的系数和为64，则其展开式中的常数项为_______. 【答案】15【解析】令1x =，可以求出n ，利用二项展开式的通项公式，求出常数项。
辽宁省沈阳市东北育才学校高中部2020届高三第六次模拟考试理科综合试题
2020届高三第六次模拟考试理科综合试题命题人：物理备课组、化学备课组、生物备课组（考试时间：150分钟试卷满分：300分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，将答案直接在线上点击选项即可。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上相应位置，整张答题纸完整拍照上传即可。
4．考试结束后，将答案上传结束，点击提交。
可能用到的原子量:H1 B11 C12 N14 O16 Na23 Ga70第Ⅰ卷1.蛋白质和核酸是生物体内普遍存在的大分子物质，下列有关蛋白质和核酸结构和功能的说法正确的是（）A.有些蛋白质具有信息传递功能，比如生长素和性激素B.线粒体内膜的蛋白质种类和含量多于线粒体外膜C.人体细胞内的DNA和RNA都是储存遗传信息的物质D.原核细胞没有染色体，但是有DNA和蛋白质共同组成的染色质2.下列关于生物学实验的叙述，正确的是（）A.用光学显微镜观察染色后的洋葱鳞片叶内表皮细胞，可以观察到染色体B.观察DNA和RNA在细胞中的分布实验中，使用盐酸的作用是将细胞分离C.探究酵母菌细胞呼吸方式的实验中，两个实验组的结果都是事先未知的D.纸层析法分离叶绿体中的色素时，要用毛细吸管吸取滤液在滤纸条上连续重复画线3.科研人员研究发现,肿瘤细胞能释放一种叫“微泡”的泡状结构,这些“微泡”在离开肿瘤组织时携带一种特殊的“癌症蛋白”。
当“微泡”与血管上皮细胞融合时,它所携带的“癌症蛋白”就会触发促进新血管异常形成的机制,使这些新生血管向着肿瘤方向生长。
下列与此相关的叙述中不合理的是（）A．“癌症蛋白”的形成需要内质网以及高尔基体进行加工B．“癌症蛋白”的作用影响了血管上皮细胞基因的选择性表达C．“微泡”和血管上皮细胞能够融合,与细胞膜的流动性有关D．新生血管向着肿瘤方向生长后,上皮细胞的细胞周期会延长4.小麦高产与低产是由两对同源染色体上的两对等位基因（A1和a1、A2和a2）控制，且含显性基因越多产量越高。
2020年6月辽宁省沈阳市东北育才学校2020届高三毕业班第八次高考模拟考试数学(理)试题及答案
绝密★启用前辽宁省沈阳市东北育才学校2020届高三毕业班第八次高考模拟考试数学(理)试题2020年6月考试时间：120分钟 试卷满分：150分第Ⅰ卷（选择题共60分）一、 选择题（共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题列出的四个选项中，选出符 合题目要求的一项.）1.已知集合2{|2}A x y x ==-，集合2{|2}B y y x ==-，则有 A.A B = B.A B =∅ C.A B A = D.A B A =2.若复数满足(2)5i z +=，则在复平面内与复数z 对应的点Z 位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.某地区甲、乙、丙、丁四所高中分别有120、150、180、150名高三学生参加某次数学调研考试. 为了解学生能力水平,现制定以下两种卷面分析方案,方案①：从这600名学生的试卷中抽取一个容量为200的样本进行分析；方案②：丙校参加调研考试的学生中有30名数学培优生,从这些培优生的试卷中抽取10份试卷进行分析．完成这两种方案宜采用的抽样方法依次是A.分层抽样法、系统抽样法B.分层抽样法、简单随机抽样法C.系统抽样法、分层抽样法D.简单随机抽样法、分层抽样法4.“θ为第一或第四象限角”是“cos 0θ>”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,()4123S a a =+,则公比q 的值为A.2B.3C.5D.26.如图,在平行四边形ABCD 中,E 为BC 的中点,F 为DE 的中点,若34AF xAB AD =+,则x =A.34B.23C.12D.147.人们通常以分贝（符号是dB ）为单位来表示声音强度的等级,其中0dB 是人能听到的等级最低的声音. 一般地,如果强度为x 的声音对应的等级为()f x dB ,则有12()10lg 110x f x -=⨯,则90dB 的声音与60dB 的声音强度之比A.100B.1000C.1100D.110008．如图,在以下四个正方体中,使得直线与平面垂直的个数是① ② ③ ④A.1B.2C.3D.49.已知圆2216x y +=与抛物线22(0)y px p =>的准线l 交于A ,B 两点,且||AB =P 为该抛物线上一点,PQ l ⊥,垂足为点Q ,点F 为该抛物线的焦点.若PQF ∆是等边三角形,则PQF ∆的面积为A. B.4C. D.210.生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人,这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系,具体包括“礼、乐、射、御、书、数”. 为弘扬中国传统文化,某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座,每艺安排一节,连排六节,则满足“数”必须排在前两节,“礼”和“乐”必须相邻安排的概率为 A.710 B.760 C.2760 D.476011.已知P 为双曲线22:13x C y -=上位于右支上的动点,过P 作两渐近线的垂线,垂足分别为A ,B ,则||AB 的最小值为 A.8116 B.278 C.94 D.3212.已知函数()()sin f x x ωϕ=+（0ω>,π2ϕ<）满足ππ()()44f x f x -=-+, π()()2f x f x --=,且在区间π(0,)8上是单调函数,则ω的值可能是 A.3 B.4 C.5D.6第Ⅱ卷（非选择题共90分） ABCDE。
2020年4月辽宁省沈阳市东北育才学校2020届高三年级第六次模拟考试文科数学答案
令 ,则 ,
令 ,因为 , （1） ,则 为增函数．
故存在 , ,使 ,即 ,
当 时, , 为增函数,当 时, , 为减函数．
所以 ,
而 , ,所以 ,所以整数 的最小值为2．
22.解：（1）由 ,得曲线 ．
直线 的极坐标方程展开为 ,故 的直角坐标方程为 ．
（2）显然 的坐标为 ,不妨设过点 的直线方程为 为参数）,
得 , .
面积可表示为
令 ,则 ,上式可化为 ,
当且仅当 ,即 时等号成立,
因此 面积的最大值为 ,此时直线 的方程为 .
21.解：（1）定义域为 , ,
①当 时 恒成立, 在 上是增函数,无极值,
②当 时令 , ,令 , ,
所以函数 在 上为增函数,在 , 为减函数,
所以当 时,有极大值,极大值为 ,无极小值,
代入 得 ,设 , 对应的参数为 ,
所以 为定值．
23.解：（1）若 时, ,
当 时,原不等式可化为 解得 ,所以 ,
当 时,原不等式可化为 得 ,所以 ,
当 时,原不等式可化为 解得 ,所以 ,
综上述：不等式的解集为 ；
（2）当 , 时,由 得 ,
即 ,
故 得 ,
又由题意知： ,
即 ，
故 的范围为 ， ．
绝密★启用前
辽宁省沈阳市东北育才学校
2020届高三年级第六次模拟考试
文科数学试题参考答案
2020年4月
1-6CACCBD
7-12ADCADB
13.
14.
15.得第七组的频率为：
．
（2）用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分为：
精品解析：辽宁省沈阳市东北育才学校高中部2020届高三第八次模拟考试数学(理)试题(解析版)
东北育才学校高中部2020届高三第八次模拟考试数学试题（理科）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1.已知集合2{|2}A x y x ==-，集合2{|2}B y y x ==-，则有( )A. A B =B. A B =∅IC. A B A ⋃=D. A B A =I【答案】C 【解析】 【分析】首先根据二次函数的定义域和值域，分别求得集合A ，B ，判断两集合的关系，最后分析选项得出结果. 【详解】2{|2}A x y x R ==-=，2{|2}[2,)B y y x ==-=-+∞，所以B A ⊆， 故A B A ⋃=， 故选：C.【点睛】该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有二次函数的定义域和值域，两集合的关系，属于基础题目.2.若复数满足(2)5i z +=，则在复平面内与复数z 对应的点Z 位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求出复数z ，再根据复数的几何意义可得答案. 【详解】由(2)5i z +=得52z i =+5(2)1052(2)(2)5i i i i i --===-+-，所以复数z 对应的点Z 的坐标为(2,1)-，其位于第四象限. 故选：D.【点睛】本题考查了复数的除法运算，考查了复数的几何意义，属于基础题.3.某地区甲､乙､丙､丁四所高中分别有120，150，180，150名高三学生参加某次数学调研考试，为了解学生能力水平，现制定以下两种卷面分析方案:方案①；从这600名学生的试卷中抽取一个容量为200的样本进行分析:方案②:丙校参加调研考试的学生中有30名数学培优生，从这些培优生的试卷中抽取10份试看进行分析．完成这两种方案宜采用的抽样方法依次是（ ） A. 分层抽样法､系统抽样法 B. 分层抽样法､简单随机抽样法 C. 系统抽样法､分层抽样法 D. 简单随机抽样法､分层抽样法【答案】B 【解析】 【分析】根据分层抽样和简单随机抽样的定义进行判断即可. 【详解】①四所学校，学生有差异，故①使用分层抽样； ②在同一所学校，且人数较少，所以可使用简单随机抽样. 故选：B.【点睛】本题考查的是抽样方法的选取问题，属于基础题.（1）系统抽样适用于总体容量较大的情况.将总体平均分成若干部分，按事先确定的规则在各部分中抽取，在起始部分抽样时采用简单随机抽样；（2）分层抽样适用于已知总体是由差异明显的几部分组成的.将总体分成互不交叉的层，然后分层进行抽取，各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样；（3）简单随机抽样适用于样本容量较小的情况，从总体中逐个抽取. 4.“θ为第一或第四象限角”是“cos 0θ>”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据x 轴正半轴上的角的余弦值也大于0以及充分条件、必要条件的定义可得答案.【详解】当θ为第一或第四象限角时，cos 0θ>，所以“θ为第一或第四象限角”是“cos 0θ>”的充分条件，当cos 0θ>时，θ为第一或第四象限角或x 轴正半轴上的角，所以“θ为第一或第四象限角”不是“cos 0θ>”的必要条件，所以“θ为第一或第四象限角”是“cos 0θ>”的充分不必要条件. 故选：A【点睛】本题考查了三角函数的符号规则，考查了充分必要条件的概念，属于基础题. 5.已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，()4123S a a =+，则公比q 的值为（ ） A. 2 B.3C.5D.2【答案】D 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式求和公式即可得出． 【详解】解：4123()S a a =+Q ，1q ≠． ∴411(1)3(1)1a q a q q -=+-，10a ≠Q 213q ∴+=化为：22q =，解得2q =． 故选：D ．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为DE 的中点，若34AF xAB AD =+u u u r u u u r u u u r，则x =( )A.34B.23C.12D.14【答案】C 【解析】 【分析】以,AB AD u u u r u u u r 为基底，利用向量的中点公式，以及三角形法则即可表示出AF u u u r， 由34AF xAB AD =+u u u r u u u r u u u r ，根据平面向量基本定理，可知对应项系数相等，即求解．【详解】因为F 为DE 的中点，所以()12AF AD AE =+u u u r u u ur u u u r， 而1122AE AB BE AB BC AB AD =+=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，即有11132224AF AD AB AD AB AD ⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，又34AF xAB AD =+u u u r u u u r u u u r ，所以12x =．故选：C ．【点睛】本题主要考查平面向量基本定理的应用，以及向量的中点公式，三角形法则的应用，属于基础题． 7.人们通常以分贝（符号是dB ）为单位来表示声音强度的等级，其中0dB 是人能听到的等级最低的声音. 一般地，如果强度为x 的声音对应的等级为()f x dB ，则有12()10lg 110xf x -=⨯，则90dB 的声音与60dB 的声音强度之比( ) A. 100 B. 1000C.1100D.11000【答案】B 【解析】 【分析】设90dB 与60dB 的声音强度分别为12,x x ，根据1()90f x =，2()60f x =计算即可求解. 【详解】设90dB 的声音与60dB 的声音强度分别为12,x x ，则1()90f x =，即11210lg90110x -=⨯，解得3110x -=. 由2()60f x =，即21210lg 60110x -=⨯，解得6210x -=. 因此所求强度之比为316210100010x x --==. 故选：B【点睛】本题考查了对数的运算法则，对数函数的应用，考查函数在实际问题中的应用，属于容易题. 8.如图，在以下四个正方体中，使得直线AB 与平面CDE 垂直的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】①根据ABC V 是正三角形，利用异面直线所成角结合线面垂直的定义判断；②根据正方形对角线相互垂直，利用线面垂直的判定定理判断；③根据AB 与CE 的夹角为60o ，再由线面垂直的定义判断；④易知CE ⊥平面ABD ，得到AB CE ^，同理AB ED ⊥，再利用线面垂直的判定定理判断.【详解】①因为ABC V 是正三角形，所以AB 与AC 的夹角为60o，又因为//AC ED ，所以AB 与ED的夹角为60o ，故错误；②因为正方形对角线相互垂直，所以AB CE ^，,AB ED ED CE E ⊥⋂=，AB ⊥平面CDE ，故正确； ③由①知AB 与CE 的夹角为60o ，故错误；④因为,,CE AD CE BD BD AD D ⊥⊥⋂=，所以CE ⊥平面ABD，则AB CE ^，同理AB ED ⊥，又ED CE E ⋂=，所以AB ⊥平面CDE ，故正确.故选：B【点睛】本题主要考查直线与平面垂直的判定与性质，还考查了空间想象和逻辑推理的能力，属于中档题.9.已知圆2216x y +=与抛物线22(0)y px p =>的准线l 交于A ，B 两点，且||AB =P 为该抛物线上一点，PQ l ⊥于点Q ，点F 为该抛物线的焦点.若PQF △是等边三角形，则PQF △的面积为（ ） A. B. 4C. D. 2【答案】A 【解析】 【分析】首先由条件可得出2p =，然后由PQF △是等边三角形，焦点F 到准线l 的距离为2可得出PQF △的边长为4，然后算出答案即可.【详解】由AB =()0,0到l 1=，即12p=，即2p = 所以抛物线的方程为24y x =因为PQF △是等边三角形，焦点F 到准线l 的距离为2所以PQF △的边长为4所以144sin 602PQF =⨯⨯⨯︒=△S 故选：A【点睛】设圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d ，弦长为AB ，则有2222AB r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭10.生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”. 为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须相邻安排的概率为( ) A.710B.760C.2760D.4760【答案】B 【解析】 【分析】由题意基本事件总数66720n A ==，其中“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须相邻安排分“数”在第一节和第二节两类，“礼”和“乐”相邻用捆绑法即可求解.【详解】由题意知基本事件总数66720n A ==，“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须相邻可以分两类安排：①“数”排在第一位，“礼”和“乐”两门课程相邻排课，则礼，乐相邻的位置有4个，考虑两者的顺序，有2种情况，剩下的3个全排列，安排在其他三个位置，有336A =种情况，故有42648⨯⨯=种②“数”排第二位， “礼”和“乐”两门课程相邻排课，则礼，乐相邻的位置有3个，考虑两者的顺序，有2种情况，剩下的3个全排列，安排在其他三个位置，有336A =种情况，则有32636⨯⨯=种情况，由分类加法原理知满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须相邻安排共有483684+=种情况， 所以满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排的概率为84772060P ==. 故选：B【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．11.已知P 为双曲线22:13x C y -=上位于右支上的动点，过P 作两渐近线的垂线，垂足分别为A ，B ，则||AB 的最小值为( )A.8116B.278C.94D.32【答案】D 【解析】 【分析】由题意，,,,P A B O 四点共圆，求||AB 的最小值，只需要求出圆的直径的最小值，从而求得结果.【详解】由题意，,,,P A B O 四点共圆， 要使取||AB 的最小值，只需圆的直径OP 最小，即P 为右顶点时满足条件，且OP =，因为2213x y -=的渐近线为3y x =±，所以60AOB ∠=︒， 所以有sin 60AB =︒32AB =，故选：D.【点睛】该题考查的是有关双曲线的问题，涉及到的知识点有双曲线的性质，四点共圆的条件，弦的最值，属于简单题目.12.已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0>ω，||2ϕπ<）满足44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2f x f x π⎛⎫--= ⎪⎝⎭，且在0,8π⎛⎫⎪⎝⎭上是单调函数，则ω的值可能是（ ） A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C 【解析】 【分析】通过给出的等式，可以判断出函数的对称性，进而能求出周期，结合选项，作出判断．【详解】函数()()sin f x x ωϕ=+ 满足44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 关于(,0)4π对称，同时又满足()2f x f x π⎛⎫--= ⎪⎝⎭，所以函数又关于4πx =-对称，设周期为T ,21()()4442n T n Z πππ-=--=∈,而221()T n n Z πωω=⇒=-∈显然ω是奇数， 当ω=3时，()sin(3)f x x ϕ=+，()f x 关于(,0)4π对称，33()44k k Z k ππϕπϕπ+=∈⇒=-而2πϕ<，4πϕ=，()sin(3)4f x x π=+ 5(0,)(3)(,)8448x x ππππ∈⇒+∈，显然不单调；当ω=5时，()sin(5)f x x ϕ=+，()f x 关于(,0)4π对称，55()44k k Z k ππϕπϕπ+=∈⇒=-，而2πϕ<，4πϕ=-，()sin(5)4f x x π=-， 3(0,)(5)(,)8448x x ππππ∈⇒-∈-，显然单调，故本题选C ．【点睛】本题考查了正弦函数的对称性、周期,熟记推到周期和对称轴的表达式是关键.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（共4小题，每题5分，共20分，将答案填在答题纸上.）13.等差数列{}n a 中，10a =，公差0d ≠，n S 是其前n 项和，若10k a S =，则k =________. 【答案】46 【解析】 【分析】利用等差数列的基本量计算． 【详解】由题意10110910452S a d d ⨯=+=，1(1)(1)k a a k d k d =+-=-，所以(1)45k d d -=，又0d ≠，所以46k =． 故答案为：46．【点睛】本题考查等差数列的基本量计算，用首项1a 和公差d 表示项与前n 项和是解题的基本方法．14.已知实数x ，y 满足约束条件404x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩的最小值为________.【答案】13 【解析】 【分析】画出可行域，则22(1)x y ++表示可行域内的点(),x y 到定点()1,0P -的距离.数形结合可求距离的最小值.【详解】画出可行域，如图所示22(1)x y ++(),x y 到定点()1,0P -的距离. 解方程组40x y x y +=⎧⎨-=⎩，得22x y =⎧⎨=⎩，设()2,2M .由图可知，(2222min(1)(21)213x y MP ++==++=13【点睛】本题考查简单的线性规划，属于基础题.15.圆锥SD （其中S 为顶点，D 为底面圆心）的侧面积与底面积的比是2:1，若圆锥的底面半径为3，则圆锥SD 的内切球的表面积为________. 【答案】12π 【解析】 【分析】首先求出母线l ，设内切球的半径为R ，则利用轴截面，根据等面积可得R ，即可求出该圆锥内切球的表面积．【详解】解：依题意，圆锥SD （其中S 为顶点，D 为底面圆心）的侧面积与底面积的比是2:1，所以()()2:2:1rl rππ=，因为3r =，所以6l =设内切球的半径为R ，则利用轴截面，根据等面积可得2211663(666)22R ⨯⨯-=⨯++，3R ∴=，∴该圆锥内切球的表面积为()24312ππ⨯=，故答案为：12π【点睛】本题考查该圆锥内切球的表面积，考查学生的计算能力，确定内切球的半径是关键，属于中档题． 16.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，人们把函数[]y x =，x ∈R 称为高斯函数，其中[]x 表示不超过x 的最大整数. 设{}[]x x x =-，则函数(){}21f x x x x =--的所有零点之和为________.【答案】1- 【解析】 【分析】令()0f x =，显然0x ≠，可得出{}121x x=+，将问题转化为函数{}2y x =与函数11y x =+的图象交点的横坐标之和，可知两个函数的图象都关于点()0,1，数形结合可得出结果.【详解】()01f =-Q ，令()0f x =，可得{}121x x=+， 则函数()y f x =的零点，即为函数{}2y x =与函数11y x=+的图象交点的横坐标，作出函数{}2y x =与函数11y x=+的图象如下图所示：由图象可知，两函数除以交点()1,0-之外，其余的交点关于点()0,1对称， 所以，函数()y f x =的所有零点之和为1-.故答案为：1-.【点睛】本题考查函数的零点之和，一般转化为两函数的交点问题，解题时要注意函数图象对称性的应用，考查数形结合思想的应用，属于中等题.三、解答题 （本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在 ①22cos cos 20B B +=，②cos 1b A acosB +=+，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决相应问题.已知在锐角ABC n 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC ∆的面积为S ，若2224S b c a =+-，b ，求ABC n 的面积S 的大小.【答案】32+ 【解析】 【分析】先根据2224S b c a =+-，b =，222cos 2b c aA bc+-=求出4A π=，若选择①，根据二倍角的余弦公式求出3B π=，根据正弦定理求出2a =，根据两角和的正弦公式求出sin B ，再根据三角形的面积公式求出面积即可；若选择②,根据余弦定理角化边可得1c =，再根据三角形的面积公式求出面积即可.【详解】因为2224S b c a =+-，222cos 2b c aA bc+-=，1sin 2S bc A =，所以2sin 2cos bc A bc A =.显然cos 0A ≠，所以tan 1A =，又(0,)A π∈，所以4A π=.若选择①，由22cos cos 20B B +=得,21cos 4B = 又(0,)2B π∈,∴3B π=，由sin sin a bA B=，得sin 2sin b A a B ===.又sin sin[()]sin()C A B A B π=-+=+1sin cos cos sin 22224A B A B +=+=+=，所以13sin 22S ab C +==.若选择②,cos 1bcos A a B +=+，则222222222222cos cos 12222b c a a c b b c a a c b b A a B b a c bc ac c c+-+-+-+-+=+=+==所以113sin 1)2222S bc A +==⨯=. 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式，考查了两角和的正弦公式，属于中档题. 18.《山东省高考改革试点方案》规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成．将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A 、B +、B 、C +、C 、D +、D 、E 共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%．选考科目成绩计入考生总成绩时，将A 至E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[91,100]、[81,90]、[71,80]、[61,70]、[51,60]、[41,50]、[31,40]、[21,30]八个分数区间，得到考生的等级成绩．某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布(60,169)N ．（1）求物理原始成绩在区间(47,86)的人数；（2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X 表示这3人中等级成绩在区间[61,80]的人数，求X 的分布列和数学期望． （附：若随机变量()2~,N ξμσ，则()0.682P μσξμσ-<<+=，(22)0.954P μσξμσ-<<+=，(33)0.997P μσξμσ-<<+=）【答案】（Ⅰ）1636人；（Ⅱ）见解析． 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据正态曲线的对称性，可将区间()47,86分为()47,60和()60,86两种情况，然后根据特殊区间上的概率求出成绩在区间()47,86内的概率，进而可求出相应的人数；（Ⅱ）由题意得成绩在区间[61,80]的概率为25，且23,5X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，由此可得X 的分布列和数学期望． 【详解】（Ⅰ）因为物理原始成绩()260,13N ξ~， 所以(4786)(4760)(6086)P P P ξξξ<<=<<+≤<11(60136013)(6021360213)22P P ξξ=-<<++-⨯≤<+⨯ 0.6820.95422=+0.818=．所以物理原始成绩在（47，86）的人数为20000.8181636⨯=（人）． （Ⅱ）由题意得，随机抽取1人，其成绩在区间[61,80]内的概率为25． 所以随机抽取三人，则X 的所有可能取值为0,1,2,3，且23,5X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭， 所以()332705125P X ⎛⎫===⎪⎝⎭ ， ()2132354155125P X C ⎛⎫==⋅⋅=⎪⎝⎭， ()2232336255125P X C ⎛⎫==⋅⋅=⎪⎝⎭，()32835125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭．所以X 的分布列为所以数学期望()26355E X =⨯=． 【点睛】（1）解答第一问的关键是利用正态分布的三个特殊区间表示所求概率的区间，再根据特殊区间上的概率求解，解题时注意结合正态曲线的对称性．（2）解答第二问的关键是判断出随机变量服从二项分布，然后可得分布列及其数学期望．当被抽取的总体的容量较大时，抽样可认为是等可能的，进而可得随机变量服从二项分布．19.如图，在四边形ABCD 中，,,BC CD BC CD AD BD =⊥⊥，以BD 为折痕把ABD △折起，使点A 到达点P 的位置，且PC BC ⊥.（1）证明：PD ⊥平面BCD ；（2）若M 为PB 的中点，二面角P BC D --等于60°，求直线PC 与平面MCD 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析（23【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理和性质定理即可证明；（2）由题意知，60PCD ∠=︒，取BD 的中点O ，连接,OM OC ，易知,,OM OC BD 两两垂直，以O 为原点建立如图所示的坐标系O xyz -，设1OB =，平面MCD 的一个法向量为(,,)n x y z =r ，求出向量n r ，则向量,PC n u u u r r所成角的余弦值的绝对值即为所求.【详解】（1）证明：因为,,BC CD BC PC PC CD C ⊥⊥=∩， 所以BC ⊥平面PCD ，又因为PD ⊂平面PCD ，所以BC PD ⊥. 又因为,PD BD BD BC B ⊥=∩， 所以PD ⊥平面BCD .（2）因为,PC BC CD BC ⊥⊥，所以PCD ∠是二面角P BC D --的平面角，即60PCD ∠=︒， 在Rt PCD V 中，tan 603PD CD CD =︒=，取BD 的中点O ，连接,OM OC ，因为,BC CD BC CD =⊥,所以OC BD ⊥,由（1）知，PD ⊥平面BCD ，OM 为PBD △的中位线，所以,OM BD OM OC ⊥⊥，即,,OM OC BD 两两垂直， 以O 为原点建立如图所示的坐标系O xyz -，设1OB =，则66),(1,0,0),(0,1,0),,(6),(1,1,0)P C D M CP CD ⎛=-=- ⎝⎭u u ur u u u r ， 6CM ⎛=- ⎝⎭u u u u r ，设平面MCD 的一个法向量为(,,)n x y z =r ， 则由0,0,n CD n CM ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u u v v 得0,60,2x y x z -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩令2z =，得3,3,2)n =r ， 所以3cos ,4||||CP n n CP CP n ⋅〈〉==u u u r rr u u u r u u u r r ， 所以直线PC 与平面MCD 3【点睛】本题考查线面垂直的判定定理和性质定理、二面角的平面角的判定和利用空间向量法求线面角的正弦值；考查空间想象能力、运算求解能力和转化与化归能力；熟练掌握线面垂直的判定定理和性质定理是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.20.已知函数()()ln f x x ax a R =+∈，()2e x g x x x =+-.（1）求 函数()f x 的单调区间；（2）定义：对于函数()f x ，若存在0x ，使()00f x x =成立，则称0x 为函数()f x 的不动点. 如果函数()()()F x f x g x =-存在两个不同的不动点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）当0a ≥时，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞；当0a <时，()f x 的单调递增区间为1(0,)a-，单调递减区间为1(,)a-+∞ ；（2）1a e >+.【解析】 【分析】（1）先确定函数的定义域，再求导，讨论a 的取值，得到函数的单调区间； （2）依题意可得()()2ln 0xF x x x ax x ex =-++->，()F x 存在两个不动点，所以方程()0F x =有两个实数根，即2ln e x x x a x-+=有两个解， 令()()2n 0e l x x xh x x x +-=>，利用导数研究函数的单调性、极值，即可求出参数的取值范围；【详解】解：（1）()f x 的定义域为()()()110,0ax f x a x x x++∞=+='>，， 对于函数1y ax =+，①当0a ≥时，10y ax =+>在0x >恒成立.()0f x '∴>在()0,∞+恒成立.()f x ∴在()0,∞+为增函数；② 当0a <时，由()0f x '>，得10x a<<-； 由()0f x '<，得1x a>-； ()f x ∴在1(0,)a -为增函数，在1(,)a-+∞减函数.综上，当0a ≥时，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞当0a <时，()f x 的单调递增区间为1(0,)a -，单调递减区间为1(,)a-+∞ （2）()()()()2ln 0xF x f x g x x x ax x ex =-=-++->，()F x Q 存在两个不动点，∴方程()0F x =有两个实数根，即2ln e x x x a x-+=有两个解， 令()()2n 0e l x x x h x x x +-=>，()()()()()()2211ln 1ln 11e e x x x x x x x x x h x x x++-+-+++-='=， 令()0h x '=，得1x =，当()0,1x ∈时，()()0h x h x '<，单调递减；当()1,x ∈+∞时，()()0h x h x '>，单调递增；()()1e 1h x h ∴≥=+， 设()ln I x x x =-,则'1()1I x x=-,max ()(1)10I x I =≤-<,即0x >时,ln x x < 将ln x x <两边取指数,则e x x <当0x +→时,2211()1x e x x x x h x x x x x+-+->>=+-→+∞当x →+∞时 , 2()x x xh x x x+->=→+∞当1a e >+时，()F x 有两个不同的不动点【点睛】本题考查了函数的单调性的求法，利用导数研究函数的零点，属于中档题．21.已知长度为4的线段的两个端点,A B 分别在x 轴和y 轴上运动，动点P 满足3BP PA =uu u v uu u v，记动点P 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）设曲线C 与y 轴的正半轴交于点D ，过点D 作互相垂直的两条直线，分别交曲线C 于点M ，N 两点，连接MN ，求DMN ∆的面积的最大值.【答案】（1）2219x y +=；（2）278.【解析】 【分析】（1）设动点P 和点A ，B 的坐标，利用向量数乘关系结合||4AB =容易求得方程；（2）联立直线与曲线方程，利用弦长公式可得|DM |=，|DN |=则221162()1||||12829()DMNk k S DM DN k k∆+==++，设1k t k +=，则2t ≥，再利用基本不等式计算可得；【详解】（1）解：设()()(),,,0,0,P x y A m B n .3BP PA =u Q u u v u u u v，()()(),,33,3x y n m x y m x y \-=--=--，即333x m xy n y=-⎧⎨-=-⎩.434m x n y⎧=⎪∴⎨⎪=⎩. 又||4AB =，2216m n ∴+=. 从而221616169x y +=.∴曲线C 的方程为2219x y +=.（2）由题意可知，直线DM 的斜率存在且不为0.故可设直线DM 的方程为1y kx =+，由对称性，不妨设0k >，由221990y kx x y =+⎧⎨+-=⎩，消去y 得22(19)180k x kx ++=，则|DM |， 将式子中的0k >换成1k -，得：|DN |=. 1|DM ||DN |2DMNS ∆==342162()9829k k k k +=++221162()1829()k k k k +=++， 设1k t k+=，则2t ≥. 故2162964DMNt S t ∆==+162276489t t=+，取等条件为649t t =即83t =， 即183k k +=，解得k =时，DMN S 取得最大值278. 【点睛】本题考查了曲线方程的求法，直线与圆锥曲线的综合，基本不等式的应用，属于中档题．请考生在第22，23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分. 选修4－4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为32cos ,22sin x y αα=+⎧⎨=-+⎩（α为参数）. 以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线L 的极坐标方程为()704πθρ=≥.（1）求曲线C 的极坐标方程与射线L 的直角坐标方程；（2）若射线L 与曲线C 交于A ，B 两点，求22OA OB OB OA ⋅+⋅.【答案】（1）26cos 4sin 90ρρθρθ-++=，()0y x x =-≥；（2）【解析】 【分析】（1）消参即可容易求得曲线C 的普通方程，结合公式即可由极坐标方程求得直角坐标方程； （2）联立74πθ=与26cos 4sin 90ρρθρθ-++=，即可求得12ρρ，12ρρ+，则问题得解. 【详解】（1）由32cos ,22sin ,x y αα=+⎧⎨=-+⎩得()()22324x y -++=，即226490x y x y +-++=，故曲线C 的极坐标方程为26cos 4sin 90ρρθρθ-++=. 射线L 的直角坐标方程为()0y x x =-≥. （2）将74πθ=代入26cos 4sin 90ρρθρθ-++=，得2649022ρρρ-⨯-⨯+=，即290ρ-+=，则12ρρ+=129ρρ=，所以()()221212OA OB OB OA OA OB OA OB ρρρρ⋅+⋅=⋅⋅+=+=【点睛】本题考查极坐标方程，参数方程和直角坐标方程之间的相互转化，ρ的几何意义，根与系数的关系，属于中档题.选修4-5: 不等式选讲23.已知0a ≠，函数()1f x ax =-，()2g x ax =+. （1）若()()f x g x <，求x 的取值范围；（2）若()()2107af xg x +≥⨯-对x ∈R 恒成立，求a 的最大值与最小值之和.【答案】（1）当0a >时，不等式解集为1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭；当0a <时，不等式解集为1,2a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭；（2）1.【解析】 【分析】（1）两边平方求解绝对值不等式，对参数a 进行分类讨论，则问题得解；（2）利用绝对值三角不等式，即可容易求得()()f x g x +的最小值，再求解绝对值不等式，即可求得a 的最大值和最小值，利用对数运算，求解即可.【详解】（1）因为()()f x g x <，所以12ax ax -<+， 两边同时平方得22222144a x ax a x ax -+<++， 即63ax >-， 当0a >时，12x a >-；当0a <时，12x a<-. 故当0a >时，不等式解集为1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭；当0a <时，不等式解集为1,2a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭（2）因()()()()12123f x g x ax ax ax ax +=-++≥--+=，当且仅当()()120ax ax -+≤时取得等号. 所以()()f x g x +的最小值为3，所以21073a⨯-≤，则321073a -≤⨯-≤， 解得lg 2lg5a ≤≤，故a 的最大值与最小值之和为lg 2lg5lg101+==.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，涉及绝对值三角不等式，对数运算，属综合中档题.。
2020年辽宁沈阳浑南区沈阳东北育才学校高三一模理科数学试卷-学生用卷
2020年辽宁沈阳浑南区沈阳东北育才学校高三一模理科数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模理科第1题5分2020~2021学年10月天津河西区天津市第四中学高一上学期月考第6题4分2019~2020学年甘肃兰州城关区甘肃省兰州第一中学高二下学期期末第1题5分2019~2020学年10月福建厦门思明区福建省厦门双十中学高三上学期月考第1题5分2017~2018学年11月河北邯郸临漳县临漳县第一中学高三上学期月考文科第1题5分若集合A={x|x⩾0}，且A∩B=B，则集合B可能是（）．A. {1,2}B. {x|x⩽1}C. {−1,0,1}D. R2、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模理科第2题5分2015年山东高三一模复数z=|(√3−i)i|+i5 (i为虚数单位)，则复数z的共轭复数为()A. 2−iB. 2+iC. 4−iD. 4+i3、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模理科第3题5分2017~2018学年辽宁高二上学期期末文科2017~2018学年河北邯郸邯山区河北省邯郸市第二中学高二上学期期中2017~2018学年辽宁沈阳皇姑区辽宁省实验中学高二上学期期末文科2017~2018学年辽宁高二上学期期末文科下列函数中，最小值为4的是()A. y=log3x+4log x3B. y=e x+4e−xC. y=sinx+4sin x(0<x<π)D. y=x+4x4、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模理科第4题5分“cos2α=−√32”是“α=kπ+5π12，k∈Z”的（）．A. 必要非充分条件B. 充分非必要条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件5、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模理科第5题5分设n=∫π20(5sinx+cosx)dx，则(x−1x)n的展开式中的常数项为（）．A. 20B. −20C. 120D. −1206、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模理科第6题5分2020~2021学年11月宁夏银川兴庆区宁夏回族自治区银川一中高三上学期月考理科第2题5分2020~2021学年12月陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高二上学期月考理科第4题3分2017年江西鹰潭高三一模文科第5题5分2020~2021学年11月宁夏银川兴庆区宁夏回族自治区银川一中高三上学期月考文科第2题5分下列命题中错误的是（）．A. 若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“p∨(¬q)”为真命题B. 命题“若a+b≠7，则a≠2或b≠5”为真命题C. 命题“若x2−x=0，则x=0或x=1”的否命题为“若x2−x=0，则x≠0且x≠1”D. 命题p:∃x>0，sinx>2x−1，则¬p为∀x>0，sinx⩽2x−17、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模理科第7题5分已知函数f (x )=√1−x +√x +3的最大值为M ,最小值为m ,则m M 的值为( )A. √22B. √32C. 12D. √538、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模理科第8题5分2018年河南开封高三一模文科第10题5分函数y =xln |x |的图象大致是( )．A.B.C.D.9、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模理科第9题5分函数y =f (x )为偶函数，且在[0,+∞)上单调递减，则y =f (2−x 2)的一个单调递增区间为（ ）．A. (−∞,0]B. [0,+∞)C. [0,√2]D. [√2,+∞)10、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模理科第10题5分2018~2019学年辽宁沈阳浑南区东北育才高中（本部）高一上学期期中第10题5分函数f (x )=e x +e −x e x −e −x ，若a =f (−12)，b =f (ln 2)，c =f (ln 13)，则有（ ）．A. c >b >aB. b >a >cC. c >a >bD. b >c >a11、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模理科第11题5分若矩阵(a 1b 1a 2b 2a 3b 3a 4b 4)满足下列件列：①每行中的四个数均为集合{1,2,3,4}中不同元素；②四列中有且只有两列的上下两数是相同的，则满足①②条件矩阵的个数为（ ）．A. 48B. 72C. 144D. 26412、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模理科第12题5分已知函数f(x)={|ln x |,x >0x +2,x ⩽0，若存在实数x 1，x 2，x 3，且x 1<x 2<x 3，使f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)，则x 1f(x 2)的取值范围是（ ）．A. [−2,0]B. [−1,0]C. [−23,0]D. [−12,0]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模理科第13题5分求值：0.064−13−(−59)+[(−2)3]−43+16−0.75+0.0112=．14、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模理科第14题5分甲、乙、丙、丁四名同学组成一个4×100米接力队，老师要安排他们四人的出场顺序，以下是他们四人的要求：甲：我不跑第一棒和第二棒；乙：我不跑第一棒和第四棒：丙：我也不跑第一棒和第四棒；丁：如果乙不跑第二棒，我就不跑第一棒．老师听了他们四人的对话，安排了一种合理的出场顺序，满足了他们的所有要求，据此我们可以断定在老师安排的出场顺序中跑第三棒的人是．15、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模理科第15题5分2019~2020学年高一上学期期中已知函数f(x)满足f(−1+x)=f(1+x)，且f(1+x)=f(1−x)，(x∈R)，当x∈[0,1]时，f(x)=2x−1，若曲线y=f(x)与直线y=k(x−1)有5个交点，则实数k的取值范围是．16、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模理科第16题5分已知函数f(x)=x3−2ex2，g(x)=lnx−ax（a∈R），若f(x)⩾g(x)对任意x∈(0,+∞)恒成立，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共60分）17、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模理科第17题设p ：实数a 满足不等式(13)a−3⩾1，q ：函数f(x)=19x 3+3−a 2x 2+3x 无极值点．(1) 若¬p ∧q 为假命题，¬p ∨q 为真命题，求实数a 的取值范围．(2) 若p ∧q 为真命题，并记为r ，且t:a >m +12或a <m ，若t 是¬r 的必要不充分条件，求m 的取值范围．18、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模理科第18题已知函数f(x)=a x −a −x (a >0且a ≠0)，它的反函数图象过点(154,2). (1) 求实数a 的值．(2) 若2m 2+1)2t f(2t)+15mf(t)⩾0，对于∀t ∈[1,3]恒成立，求m 实数取值范围．19、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模理科第19题已知向量a →=(sinx,−√3)，b →=(1,cosx )，且函数f (x )=a →⋅b →．(1) 若a →⊥b →，求tan2x 的值．(2) 在△ABC 中，AC =2且f (B )=0，求△ABC 面积的最大值．20、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模理科第20题已知函数f(x)=ln x x −x ．(1) 求函数f (x )的单调区间．(2) 设0<t <1，求f(x)在区间[t,1t ]上的最小值．21、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模理科第21题已知函数f (x )=−ae x +x +a ．(1) 讨论函数f (x )的单调性;(2) 若函数f (x )恰好有2个零点，求实数a 的取值范围．四、选做题（本大题共2小题，每小题10分，共20分。
2020年辽宁省沈阳市育才中学高三数学理联考试题含解析
2020年辽宁省沈阳市育才中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 将函数f（x）=sin2x﹣cos2x的图象向左平移φ（0＜φ＜）个单位长度后得到函数y=g （x）的图象，若g（x）≤|g（）|对x∈R恒成立，则函数y=g（x）的单调递减区间是（）A．[kπ+，kπ+]（k∈Z）B．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）C．[kπ+，kπ+]（k∈Z）D．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）参考答案：C【考点】三角函数的化简求值；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】首先通过三角函数的恒等变换，变换成正弦型函数，进一步利用平移变换，最后根据正弦型函数的单调性求得结果．【解答】解：f（x）=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣）的图象向左平移φ（0＜φ＜）个单位，得到g（x）=2sin（2x+2φ﹣）．∵g（x）≤|g（）|对x∈R恒成立，∴g（）=±1，即2sin（2×+2φ﹣）=±1，∴φ=kπ+，（k∈Z）∵0＜φ＜，∴φ=，∴g（x）=2sin（2x+）．令2x+∈[2kπ+，2kπ+π]，（k∈Z）则x∈[kπ+，kπ+]（k∈Z）故选：C．【点评】本题考查的知识要点：三角函数的恒等变换，函数图象的平移变换问题，及函数单调区间问题，属于基础题型．2. 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=，则下列结论中错误的个数是 ( )(1) AC⊥BE；(2) 若P为AA1上的一点,则P到平面BEF的距离为；(3) 三棱锥A-BEF的体积为定值；(4) 在空间与DD1，AC，B1C1都相交的直线有无数条；(5) 过CC1的中点与直线AC1所成角为40°并且与平面BEF所成角为50°的直线有2条.A.0B.1C.2D.3参考答案：A【知识点】单元综合G12对于（1），∵AC⊥平面BB1D1D，又BE?平面BB1D1D，∴AC⊥BE．故（1）正确．对于（2），∵AA1∥BB1，AA1?平面BB1DD1，BB1?平面BB1DD1，∴AA1∥平面BB1DD1，即AA1∥平面BEF，又∵正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，A1到平面BEF的距离为A1到B1D1的距离，∴若P为AA1上的一点，则P到平面BEF的距离为，故（2）正确；对于（3）∵S△BEF= ×1=，设AC，BD交于点O，AO⊥平面BB1D1D，AO=，∴V A-BEF=××=，故（3）正确；对于（4）在正方体中，AA1∥DD1，AD∥B1C1，则AC，AA1，AD相交于A点，故空间中与DD1，AC，B1C1都相交的直线有无数条．故（4）正确；对于（5）由于过CC1的中点与直线AC1所成角为40°的直线有2条．并且这两条直线与平面BEF所成角为50°，故（5）正确；【思路点拨】根据题意，依次分析：如图可知BE?平面BB1D1D，AC⊥BE，进而判断出（1）正确；根据AA1∥BB1，判断出AA1∥平面BB1DD1，即AA1∥平面BEF，计算出A1到平面BEF的距离，即可判断出（2）项；设AC，BD交于点O，AO⊥平面BB1D1D，可分别求得S△BEF和AO，则三棱锥A-BEF的体积可得判断（3）项正确；再利用正方体中线线，线面的位置关系，即可判定（4）和（5）项正确．3. 曲线y＝e x在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为()A . e2 B．2e2 C．e2 D.参考答案：D4. 函数的部分图象如上图所示，则将的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式为（）A． B.C. D. 参考答案：B略5. ，满足约束条件，若取得最大值的最优解不唯一，则实数的值为（）A．或 B．或 C．或 D．或参考答案：D略6. 命题：若，则与的夹角为钝角。
辽宁省沈阳市东北育才学校2020届高三第六次模拟考试理科数学考试试卷2020.3.21(无答案)
东北育才学校2020届高三第六次模拟考试(理)数学试题命题人:高三数学备课组使用时间: 2020.3.21一、选择题:木大题共12小题，每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题日要求的. 1.在复平面内，已知复数z 对应的点与复数-2- i 对应的点关于实轴对称,则z i= A.1-2iB.1+2iC. -1+2iD. -1-2i2.已知集合A={(x,y)|2x+y=0}, B={(x,y)|x+my+1=0}. 若A ∩B=∅,则实数m= A. -21.2B -1.2C D.23.在等比数列{}n a 中，已知33576,78,a a a a =-+=则5a = A.12B.18C.24D.364.某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数为 A. f(x)=ln(1-x)-ln(1 +x)21.()21x x B f x +=-.()22x x C f x -=+22.()ln(1)D f x x x =+5.一组数据的平均数为m ，方差为n,将这组数据的每个数都加上a(a> 0)得到一组新数据，则下列说法正确的是A.这组新数据的平均不变B.这组新数据的平均数为amC.这组新数据的方差为2a nD.这组新数据的方差不变6.直线x-y+m=0与圆22210x y x +--=有两个不同交点的一个必要不充分条件是 A.0<m<1B. -1≤m≤1C. -1<m<1D. -2<m<07.2013年华人数学家张益唐证明了李生素数(注:素数也叫做质数)猜想的一个弱化形式.孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述:存在无穷多个素数P 使得p+2是素数,素数对(p,p+2)称为李生素数,从20以内的素数中任取两个,其中能构成孪生素数的概率为1.14A1.7B3.14C1.3D 8.设抛物线C:22(0)y px p =>的焦点为F,抛物线C 与圆22:(3)3C x y '+-=交于MN 两点,若||6,MN =则P=2.A.b B.2C.3D9.在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，14,AA =AB=2.点E,F 分别为棱11,BB CC 上两点，且BE=二BB 1111,42BE BB CF CC ==,则 1.,A D E AF ≠且直线1D E ，AF 异面 1.,B D E AF ≠且直线1D E ，AF 相交 1.,C D E AF =且直线1,D E AF 异面 1.,D D E AF =且直线1DE ，AF 相交10.己知奇函数f(x)= 2cos(ωx+φ)(ω>0,0 <φ≤π)满足()().44f x f x ππ+=-则ω的取值可能是A.4B.6C.8D.1211.直线x=2与双曲线221169xy -=的渐近线交干A,B 两点，设P 为双曲线上任意一点，若(a,b ∈R ，O 为坐标原点),则下列不等式恒成立的是A. |ab|=222.4B a b +≥C. |a-b|≥2D. |a+b|≥212.己知函数21()ln (1)(0)2f x x ax a x a a =-+-+>的值域与函数f(f(x))的值域相同，则a 的取值范围为A. (0,1]B. (1,+∞)4.(0,]3C4.[,)3D +∞二、填空题:本大共4小题.每小题5分。
2020届辽宁省沈阳市东北育才学校高三上学期第一次高考模拟考试数学(理)试题(解析版)
绝密★启用前辽宁省沈阳市东北育才学校2020届高三年级上学期第一次高考模拟考试数学(理)试题(解析版)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1.若集合{}|0A x x =≥，且，则集合B 可能是（ ）A. {}1,2B. {}|1x x ≤C. {}1,0,1-D. R 【答案】A【解析】试题分析：由A B B ⋂=知B A ⊆，故选A考点：集合的交集．2.复数5(3)z i i i =+（i 为虚数单位）,则复数z 的共轭复数为（ ）A. 2i -B. 2i +C. 4i -D. 4i +【答案】A【解析】 试题分析：5(3)2z i i i i =-=-,所以复数z 的共轭复数为2i +,故选B. 考点：复数的运算与相关概念.3.下列函数中,最小值为4的是（ ）A. 3log 4log 3x y x =+B. 4x x y e e -=+C. 4sin sin y x x =+（0πx <<）D. 4y x x =+【答案】B【解析】【分析】对于A 可以直接利用基本不等式求解即可；对于B 根据基本不等式成立的条件满足时,运用基本不等式即可求出最小值; 对于C 最小值取4时sinx=2,这不可能；对于D,取特殊值x=﹣1时,y=﹣5显然最小值不是4.【详解】A y=log 3x+4log x 3,当log 3x ＞0,log x 3＞0,∴y=log 3x+4log x 3≥4,此时x=9,当log 3x ＜0,log x 3＜0故不正确；B y=e x +4e ﹣x≥4,当且仅当x=ln2时等号成立．正确. 4 sin sin C y x x =+（0x π<<）,y=4 sin sin y x x =+≥4,此时sinx=2,这不可能,故不正确； ④4y x x=+,当x=﹣1时,y=﹣5显然最小值不是4,故不正确； 故选：B 【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求函数的值域,解题的关键是最值能否取到,属于中档题．在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误.4.“cos 2α=”是“5,12k k Z παπ=+∈”的( ) A. 必要非充分条件 B. 充分非必要条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件 【答案】A【解析】【分析】由cos 22α=-,可得5522,,612k k k z ππαπαπ=±=±∈,利用充分条件与必要条件的定义可得结果.【详解】因为cos 2α=,所以5522,,612k k k z ππαπαπ=±=±∈,即cos 2α=不能推出5,12k k Z παπ=+∈,。
辽宁省沈阳市东北育才学校高中部2020届高三第六次模拟考试理科综合答案
生物科答案
BCDACA
29.（10 分，每空 2 分）
（1）水分和无机盐
（2）光合作用的正常进行 光合色素或光合作用相关的酶或类囊体薄膜
（3）夏季 适时补光及遮阴
30.（9 分，除特殊注明外，每空 1 分）
（1）体液 促性腺激素释放 （2）①明显增加
浓度Biblioteka （负）反馈②低于 抑制抗原-抗体杂交
7.A 8.B 9.B 10.D 11.C 26．（14 分）每空 2 分
化学参考答案及评分细则 12.C 13D
27．(14 分) （1）第二周期 IA 族（1 分） （2）A （1 分）
（3）2Al＋2OH－＋2H2O=2AlO2－＋3H2↑ （2 分）
（4）溶解 LiFePO4，将 Fe2+氧化为 Fe3+（2 分）
(3)150
（2 分）
【解析】(1)①由原理图连线如图：
②由闭合电路欧姆定律可知，两情况下的电流相同，所以灵敏电流计 G 的内阻 Rg＝200Ω；
(2)由表头改装成大量程的电流表原理可知，当开关接 b 时，表头与 R2 串联再与 R1 并联，
此种情形比开关接 c 时电路总电流更大，故开关应接 b； 200×10－3
（3）逐层加盐，随着层数的加高增加盐量，接近瓶口表面的盐要铺厚一些（3 分）
溶解于水(不存在于腐乳块中) （4）毛霉产生的蛋白酶继续发挥作用 60
38.（15 分，除特殊注明外，每空 2 分）
（1）细胞核 （2）ES 细胞具有发育的全能性 （3）基因表达载体 B 和 C
HindⅢ和 PstⅠ或 EcoRⅠ和 PstⅠ （3 分） （4）绿
则有 v/2=L1/t ①--------- 2’
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且 f ( x) ln(1 x) ln(1 x) ln(1 x) ln(1 x) f (x) ，函数为奇函数，又
f (0) 0 ，函数存在零点；
对于
B、
f
(x)
2x 2x
1 ，∵在定义域内 1
【答案】D 【解析】 【分析】 考查平均数和方差的性质，基础题．
【详解】设这一组数据为 X a1,an ，由 E(X a) E(X ) a ， D( X a) D( X ) ，
故选：D．
【点睛】本题主要考查方差的性质，考查了运算能力，属于容易题.
6.直线 x y m 0 与圆 x2 y2 2x 1 0 有两个不同交点的一个必要不充分条件是 (
A. f (x) ln 1 x ln 1 x
C. f (x) 2x 2x
【答案】A
B.
f
(x)
2x 2x
1 1
D. f (x) x2 ln 1 x2
-2-
【解析】 【分析】 由程序框图可知，函数 f (x) 为奇函数且存在零点，然后逐一分析四个选项得答案． 【详解】由程序框图可知，函数 f (x) 为奇函数且存在零点．
【点睛】本题考查程序框图，考查函数奇偶性的判定与零点的判定，是中档题．
5.一组数据的平均数为 m，方差为 n，将这组数据的每个数都加上 a(a 0) 得到一组新数据，
则下列说法正确的是（ ） A. 这组新数据的平均不变
B. 这组新数据的平均数为 am
C. 这组新数据的方差为 a2n
D. 这组新数据的方差不变
1
A.
14
1
B.
7
【答案】B
3
C.
14
1
D.
3
【解析】
【分析】
根据题意共包含 C82 28 个基本事件，4 种情况满足条件，得到答案.
【详解】依题意，20 以内的素数共有 8 个，从中选两个共包含 C82 28 个基本事件，
-4-
而 20 以内的孪生素数有 (3,5),(5,7),(11,13),(17,19) 共四对，包含 4 个基本事件，
-3-
)
A. 0 m 1
B. 4 m 0
C. m 1
D.
3 m 1
【答案】C
【解析】
【分析】
求出圆的标准方程，利用直线和圆相交的条件求出 m 的取值范围，结合充分条件和必要条件
的定义进行判断即可．
【详解】圆的标准方程为 (x 1)2 y2 2 ，圆心为 1, 0 ，半径 r 2 ，
若直线与圆有两个不同的交点，
则圆心到直线的距离 d 1 m 2 ， 2
即 1 m 2 ，得 2 1 m 2 ，得 3 m 1，
则 3 m 1的一个必要不充分条件是 m 1 ，
故选 C．
【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用直线和圆相交的等价条件求出 m 的
取值范围是解决本题的关键．
2.已知集合 A x, y | 2x y 则实数 m
（） A. 2 【答案】C 【解析】 【分析】
B. 1 2
1
C.
2
D. 2
根据集合 A, B 元素所表示的意义，以及集合 A, B 关系，即可求解.
【详解】因为 A B ，所以直线 2x y 0 与 直线 x my 1 0 平行，所以 m 1 .
计算可得答案．
【详解】根据题意，等比数列an 中，设其公比为 q，
已知 a3 6 ， a3 a5 a7 78 ，则 6 6q2 6q4 78 ，解可得 q2 4 或 q2 3 ，舍； 故 a5 6q2 24 ， 故选：C．
【点睛】本题考查等比数列的通项公式，涉及等比数列的性质，属于基础题． 4.某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数为（ ）
2x
1
0
恒成立，∴
f
(x)
不存在零点；
对于 C、 f (x) 2x 2x 0 恒成立， f (x) 不存在零点；
对于 D、 f (x) x2 ln(1 x2 ) ，定义域 为R， f (x) f (x) ，函数为偶函数．
∴可以输出的函数为 f (x) ln(1 x) ln(1 x) ， 故选：A．
2 故选:C.
【点睛】本题主要考查集合的概念与运算、解方程等基础知识，属于基础题.
3.在等比数列an 中，已知 a3 6 ， a3 a5 a7 78 ，则 a5 （ ）
A. 12
B. 18
C. 24
D. 36
【答案】C
-1-
【解析】 【分析】
根据题意，设an 公比为 q，由等比数列的通项公式可得 6 6q2 6q4 78 ，解可得 q2 的值，
7.2013 年华人数学家张益唐证明了孪生素数（注：素数也叫做质数）猜想的一个弱化形式.
孪生素数猜想是希尔伯特在 1900 年提出的 23 个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素
数 p 使得 p 2 是素数，素数对 p, p 2 称为孪生素数，从 20 以内的素数中任取两个，其
中能构成孪生素数的概率为（ ）
B. 1 2i
C. 1 2i
D. 1 2i
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知求得 z，代入 z ，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． i
【详解】由题意， z 2 i ，
则
z i
2 i
i
(2 i)(i) i2
1
2i
．
故选：B．
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
2019-2020 学年辽宁省沈阳市东北育才学校高三（下）第六次模拟数学试卷（理科）（3 月份）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1.在复平面内，已知复数 z 对应的点与复数 2 i 对应的点关于实轴对称，则 z （ ） i
A. 1 2i
所以从 20 以内的素数中任取两个，其中能构成字生素数的概率为 P
4 C82
1
.
7
故选：B.
【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力.
8.设抛物线 C : y2 2 px( p 0) 的焦点为 F，抛物线 C 与圆 C : x2 ( y 3)2 3 交于 MN 两
点，若 MN 6 ，则 p （ ）