量子力学典型例题分析解答

量子力学例题

第二章

一．求解一位定态薛定谔方程

1．试求在不对称势井中的粒子能级和波函数

[解] 薛定谔方程:

当, 故有

利用波函数在处的连续条件由处连续条件:

由处连续条件:

给定一个n 值,可解一个, 为分离能级. 2．粒子在一维势井中的运动

求粒子的束缚定态能级与相应的归一化定态波函数[解]体系的定态薛定谔方程为

当时

对束缚态

解为

在处连续性要求

将代入得

又

相应归一化波函数为:

归一化波函数为:

3分子间的范得瓦耳斯力所产生的势能可近似地表示为

求束缚态的能级所满足的方程

[解]束缚态下粒子能量的取值范围为

当时

当时

薛定谔方程为

令

解为

当时

令

解为

当时

薛定谔方程为

令

薛定谔方程为

解为

由

波函数满足的连续性要求,有

要使有非零解不能同时为零

则其系数组成的行列式必须为零

计算行列式,得方程

例题

主要类型: 1.算符运算; 2.力学量的平均值; 3.力学量几率分布.

一. 有关算符的运算

1.证明如下对易关系

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

[证]

(1)

(2)

(3)

一般地,若算符是任一标量算符,有(4)

一般地,若算符是任一矢量算符,可证明有(5)

=0

同理：。

2.证明哈密顿算符为厄密算符

[解]考虑一维情况

为厄密算符, 为厄密算符,为实数

为厄密算符为厄密算符

3已知轨道角动量的两个算符和共同的正交归一化本征函数完备集为,

取: 试证明: 也是和共同本征函数, 对应本征值

分别为: 。

[证]

。

是的对应本征值为的本征函数

是的对应本征值为的本征函数又:

可求出:

二.有关力学量平均值与几率分布方面

1.(1)证明是的一个本征函数并求出相应的本征值；(2)求x在态中的平均值

[解]

即

是的本征函数。本征值

2.设粒子在宽度为a的一维无限深势阱中运动，如粒子的状态由波函数

描写。求粒子能量的可能值相应的概率及平均值

【解】

宽度为a的一维无限深势井的能量本征函数

注意:是否归一化波函数

能量本征值

出现的几率 , 出现的几率能量平均值

另一做法

3 .一维谐振子在时的归一化波函数为

所描写的态中式中，式中是谐振子的能量本征函数，求（1）的数值；2）在态中能量的可能值，相应的概率及平均值；（3）时系统的波函数；（4）时能量的可能值相应的概率及平均值

[解](1) , 归一化，，

，

（2），

，；，；

，；

（3）时，

所以：

时，能量的可能值、相应的概率、平均值同（2）。

4．设氢原子处于状态

求氢原子的能量,角动量平方以及角动量z分量的可能值,这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。

[解] 能量本征值

能量本征

态

当n=2

时

本征值为的

，出现的几率为100％

可能值为出现的几率分别为：。

5 .在轨道角动量和共同的本征态下,试求下列期望值

(1).; (2).

[解]：

三测不准关系

1.粒子处于状态式中为常数,求粒子的动量的平均值,并计算测不准关系

[解]先归一化

(1)动量平均值

(2)

(3)

附:

常用积分式：

（1）

（2）

（3）

第四章例题1．力学量的矩阵表示

由坐标算符的归一化本征矢及动量算符构造成算符和

试分别：1）. 求和在态下的期望值；2）. 给出和的物理意义【解】（1）. 设态矢已归一化

（粒子位置几率密度）

（2）

（利用化到坐标表象）

又：,

上式

2.试证明：由任意一对以归一化的共轭右矢和左矢构成的投影算符

（1）. 是厄密算符，（2）. 有，（3）.的本征值为0和1

【证】（1）. 厄密算符的定义

为厄密算符

(2) 已归一化

（3）. 由的本征值方程

,

又：

即：

（本题主要考查厄密算符概念，本征值方程，狄拉克符号的应用）

3.分别在坐标表象，动量表象，能量表象中写出一维无限深势井中（宽度）基态粒子的波函数。（本题主要考查波函数在具体表象中的表示）

【解】所描述的状态，基态波函数

（1）. 在x表象：

（2）. 动量表象：

（3）. 能量表象

同样一个态在不同表象中的表示是不同的，不同的表象是从不同侧面来进行描述的.

4.取和的共同表象，在角动量空间中写出,,的矩阵（本题主要考查算符矩阵的求法）

【解】,的共同本征函数为

在空间

（1）. ,

同样

（2）

利用:

利用正交归一条件: